连续介质力学 地震科学系地震科学系：盛书中 E-mail: ssz2008fzxy.edu.cn各章节内容提要各章节内容提要例题详解例题详解复 习 弹性力学，外力，体力，面力，线应变，切应变，位移，连续性，完全弹性，均匀性，各项同性，理想弹性体，平面应力问题，平面应变问题，主应力，应力主面，应力主向，圣维南原理及其内含，逆解法，半逆解法，主要边界，次要边界，轴对称，完全接触，光滑接触，摩擦接触，局部脱离，孔口应力集中，差分法，泛函，变分法，位移变分/虚位移，体应变，体积力，挠度,剪切强度，脆性破裂的最大剪切应力理论（库伦霍普金斯理论），安德逊理论。 1、弹性力学的内容弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、弹性力学中的几个基本物理量：体力体力分布在物体体积内的力、记号为 、 、 ，量纲为L-2MT-2，以坐标 正向为正。第一章第一章 内容提要内容提要第一章第一章 内容提要内容提要面力面力 分布在物体表面上的力，记号为 。量纲为L-1MT-2 ，以坐 标正向为正。应力应力 单位截面面积上的内力，记号 ，量纲为L-1MT-2，以正 面正向为正，负面负向为正；反之 为负。第一章第一章 内容提要内容提要 形变形变用线应变 和切应变 表示， 量纲为1，线应变以伸长为正，切 应变以直角减小为正。位移位移一点位置的移动，记号为 、， 量纲为L，以坐标正向为正。第一章第一章 内容提要内容提要 3 3、弹性力学中的基本假定、弹性力学中的基本假定 理想弹性体假定连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。 小变形假定。 4 4、弹性力学问题的研究方法、弹性力学问题的研究方法 已知：物体的边界形状，材料性质，体力,边界上的面力或约束。 求解：应力、形变和位移。第一章第一章 内容提要内容提要 解法：在弹性体区域V 内， 根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。 在弹性体边界s上， 根据面力条件，建立应力边界条件， 根据约束条件，建立位移边界条件。 然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。第一章第一章 内容提要内容提要1、平面问题包括平面应力问题和平面应变问题。它们的特征是： 平面应力问题，（1） 只有平面应力 存在；（2）应力和应变均只是x,y的函数。第二章第二章 内容提要内容提要 平面应变问题，（1） 只有平面应变 存在；（2） 应力、应变和位移只是x,y的函数。 平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板，而平面应变问题对应的弹性体通常为常截面长柱体。这两类平面问题的平衡微分方程、几何方程、应力和位移边界条件都完全相同，只有物理方程的系数不同。 如果将平面应力问题的物理方程作 的变换，便可得到平面应变问题的物理方程。2、平面问题的基本方程和边界条件（平面应力问题） 平面问题中共有八个未知函数，即 。它们必须满足区域内的基本方程：（1）平衡微分方程 （2）几何方程（3）物理方程和边界条件：（1）应力边界条件（2）位移边界条件（在 上）3、按位移求解平面问题（平面应力问题） 位移分量u和v必须满足下列全部条件：（1）用位移表示的平衡微分方程（2）用位移表示的应力边界条件（在 上）（3）位移边界条件4、按应力求解平面问题（平面应力问题）， 应力分量必须满足下列全部条件： （1）平衡微分方程（2）相容方程（3）应力边界条件（假设全部为应力边界条 件，）（在 上）（4）若为多连体，还须满足位移单值条件。5、在常体力情况下，按应力求解可进一步简化为按应力函数求解。必须满足下列全部条件：（1）相容方程（2）应力边界条件（假设全部为应力边界 条件，）。（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 求出应力函数后，可以按下式求出应力分量，（在 上）求主应力及其方向的公式（p14：2-6、b）最大剪切应力公式相容方程公式 （2-23）由应力函数求应力（2-24）几何方程（2-8）物理方程（2-12、2-16、2-17）边界条件（2-15）&2-8节实例要求重点掌握1.按应力函数 求解时， 必须满足： (1) 区域A内的相容方程，（2） 上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）（3）多连体的位移单值条件。2.在半逆解法中寻找应力函数 时，通常采用下列方法来假设应力分量的函数形式 （1）由材料力学解答提出假设，（2）由边界受力情况提出假设，（3）用量纲分析方法提出假设。第三章第三章 内容提要内容提要 3. 在校核应力边界条件时，必须注意以 下几点（见（四）。 4. 学习本章的重点，是掌握弹性力学问 题按应力求解的方法。要求读者在掌 握这些基本理论之后，能阅读和理解 弹性力学文献，并将已有的解答应用 到工程实践中去。5. 对于工程实际问题，由于边界形状和受 力、约束条件较为复杂，难以得出微分方 程的函数式解答。因此，并不要求读者去求解新的解答，只要求能掌握基本理论，并能应用弹性力学近似解法（见后面几章）去解决工程实际问题。1.极坐标中的基本方程和边界条件（1）平衡微分方程第四章第四章 内容提要内容提要（2）几何方程（3）物理方程（平面应力问题）当物体的边界面为 面或 面时，位移或应力边界条件都非常简单。2.从直角坐标系到极坐标系的物理量的变换 式变量转换：函数转换：矢量转换：导数转换：一阶导数（二阶和高阶导 数可以类推）：拉普拉斯算子应力转换：3.极坐标中按应力函数 求解， 应满足：（1）区域内的相容方程（2）边界上的应力边界条件（假设全部为 应力边界条件）。（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 当不记体力时，应力分量的表达式为记记参考习题参考习题4-8复习复习4.轴对称应力和相应的位移应力函数： 应力：位移（平面应力问题）： 1.1.导数的差分公式导数的差分公式 抛物线差分公式,线性向前差分公式, 线性向后差分公式,第五章第五章 内容提要内容提要&5-3&5-3节内容重点掌握！节内容重点掌握！边界条件 2.2.应力函数应力函数 的差分解法的差分解法相容方程应力公式 3.3.变分法是研究泛函及其极值的求解方变分法是研究泛函及其极值的求解方法。法。弹性力学中的位移变分法弹性力学中的位移变分法，是取位 移函数为宗量，由总势能处于极小值的 条件来导出变分方程，然后进行求解的。 以下列出平面应力问题的有关变分公式 及方程。4.4.弹性体的功和能弹性体的功和能总势能外力功外力势能形变(内力)势能 5.5.在虚位移上弹性体的功和能在虚位移上弹性体的功和能 虚位移虚位移( (位移变分位移变分) ) ,是在约束条件允许下，在平衡状态附近的微小位移增量。 虚位移状态 其中u，v为实际平衡状态下的位移。当虚位移发生时，当虚位移发生时，外力的虚功外力势能的变分形变势能的变分 6.6.变分方程变分方程在封闭系统中，假定没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中，形变势能的增加应等于外力势能的减少，即上式也可以改用下列各形式表示和解释。位移变分方程位移变分方程虚功方程虚功方程最小势能原理最小势能原理 其中 。或者表示为，位移变分方程的又一形式位移变分方程的又一形式 7.7.位移变分法位移变分法 瑞利里茨法瑞利里茨法：设定位移试函数， 预先满足 上的约束边界条件，再满足瑞利里茨变分方程， 伽辽金法伽辽金法：设定位移势函数预先满足 上的约束边界条件和 上的应力边界条 件，再满足伽辽金变分方程， 1. 直角坐标系(x,y,z)中的一般空间问题，其基本方程及边界条件具有对等性，可将下标、导数和物理量等按（ x,y,z ）轮换的方式得出其余表达式。 平衡微分方程， 几何方程，第七章第七章 内容提要内容提要 物理方程：（1）应变用应力表示， （2）应力用应变表示，。 应力边界条件， （在 上 ） 位移边界条件，。 （在 上 ） 2. 一点的应力状态斜面应力， 3. 柱坐标系（ ）中的空间轴对称问题（ 不具有对称性） 平衡微分方程， 几何方程 物理方程：（1）应变用应力表示， （2）应变用应力表示，例：表示出下图中正的面力和体力第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 （5）位移变分方程的又一形式位移变分方程的又一形式 式(l) 中 可化为 位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件！应用分部积分公式 和格林公式 （其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将 进行转换。在 上，虚位移 ， 对 其余几项进行同样的转换，并代入式( ) ,可得又一形式的位移变分方程又一形式的位移变分方程：例如，对第一项计算，(s)因 ， 都是任意的独立的变分，为了满足上式, 必须（在A中）(v)（在 上）(w) 由此可见，从位移变分方程可以导由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。方程和应力边界条件。例题例题2 2用差分法计算图中A和B点的应力分量。FaBxy3aaaA.71（Z向厚度 ）F6524234解：为反映对称性，取A为基点。令 边界点的应力函数值： 边界点的导数值： 由上式及 求出边界外一行虚结点的 值： 对1点列差分方程：代入各 值，解出 。 再求出应力分量： 例题例题4 4 试证明，在同样的应变分量 ， 和 下，平面应变情况下单位厚度的形变 势能大于平面应力情况下的形变势能。例题例题 对于平面应变情况，只需将上式中 ， 变换为解：平面应力情况下，单位厚度的形变 势能是：例题例题 (a)代入，得显然，方括号内将式中的 ， 都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式， 例题例题 (c) 从式可见，在平面应变情况下，形变势能 中的第一、二、三项均大于平面应力情况下的值，而第四项 不变。因此，平面应变的形变势能 大于平面应力的形变势能U 。例题例题