第二节不等式的证明与常见不等式第二节不等式的证明与常见不等式最新考纲展示1了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明2.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法一、比较法1求差比较法知道abab0，abab0，因此要证明ab，只要证明 即可，这种方法称为求差比较法ab0二、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法，即“由因寻果”的方法三、分析法从所要证明的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法结论四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的这种方法称为放缩法五、反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明六、二维形式的柯西不等式1定理1(二维形式的柯西不等式)：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立2定理2(柯西不等式的向量形式)：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立七、一般形式的柯西不等式定理：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立以上不等式称为一般形式的柯西不等式八、排序不等式1定理(排序不等式 sequence inequality，又称排序原理)：设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排序，则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和2排序不等式可简记为： 反序和乱序和顺序和2分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”一、不等式的证明方法1设ta2b，sab21，则s与t的大小关系是()AstBstCst Dst解析：stab21a2bb22b1(b1)20，st，故选A.答案：A2用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为()Aa，b，c全为0Ba，b，c至少有一个为0Ca，b，c至少有一个不为0Da，b，c至多有一个不为0解析：“a，b，c全为0”的反面应是“a，b，c中至少有一个不为0”，故选C.答案：C答案：C4若x，y，z是正数且满足xyz(xyz)1，则(xy)(yz)的最小值为_答案：2答案：a2b2(xy)2 考情分析不等式的证明问题是高考的重点也是难点问题，它经常与其他知识相结合考查学生分析问题解决问题的能力，下面举例说明不等式的证明方法不等式的证明方法( (高频研析高频研析) )角度一比较法证明不等式1求证：当xR时，12x42x3x2.证明：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2x2(x21)20，12x42x3x2.规律方法比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差；变形；判断差的符号；下结论其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断符号个别题目也可用柯西不等式来证明柯西不等式的应用柯西不等式的应用(师生共研师生共研)规律方法柯西不等式的一般结构为(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题排序不等式的应用排序不等式的应用(师生共研师生共研)规律方法(1)利用排序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的大小顺序的两个不等式(2)在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分类讨论