B B- -样条曲线曲面样条曲线曲面 BzierBzier曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面具具具具有有有有许许许许多多多多优优优优点点点点，如如如如凸凸凸凸包包包包性性性性、保保保保型型型型性性性性等等等等，但但但但也也也也存存存存在在在在不足之处：不足之处：不足之处：不足之处： 其其其其一一一一是是是是缺缺缺缺少少少少局局局局部部部部性性性性，修修修修改改改改某某某某一控制顶点将影响整条曲线；一控制顶点将影响整条曲线；一控制顶点将影响整条曲线；一控制顶点将影响整条曲线； 其其其其二二二二是是是是控控控控制制制制多多多多边边边边形形形形与与与与曲曲曲曲线线线线的的的的逼逼逼逼近近近近程程程程度度度度较较较较差差差差，次次次次数数数数越越越越高高高高，逼近程度越差；逼近程度越差；逼近程度越差；逼近程度越差； 其其其其三三三三是是是是当当当当表表表表示示示示复复复复杂杂杂杂形形形形状状状状时时时时，无无无无论论论论采采采采用用用用高高高高次次次次曲曲曲曲线线线线还还还还是是是是多多多多段段段段拼拼拼拼接接接接起起起起来来来来的的的的低低低低次次次次曲曲曲曲线线线线，都都都都相相相相当复杂当复杂当复杂当复杂。 以以以以B B样样样样条条条条基基基基函函函函数数数数代代代代替替替替BernsteinBernstein基基基基函函函函数数数数而而而而获获获获得得得得的的的的B B样样样样条条条条( (Basic-splineBasic-spline) )曲线曲面克服了上述缺点。曲线曲面克服了上述缺点。曲线曲面克服了上述缺点。曲线曲面克服了上述缺点。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条基函数样条基函数 B B样条基函数：样条基函数：给定参数给定参数给定参数给定参数u u轴上的节点分割轴上的节点分割轴上的节点分割轴上的节点分割 U Un,kn,k=u ui i ( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,n+kn+k) )， 称称称称由由由由下下下下列列列列递递递递推推推推关关关关系系系系所所所所确确确确定定定定的的的的B Bi,ki,k( (t t) )为为为为U Un,kn,k上上上上的的的的k k阶阶阶阶( (或或或或k k-1-1次次次次)B)B样条基函数：样条基函数：样条基函数：样条基函数： deBooxdeBoox-Cox-Cox递推公式：递推公式：递推公式：递推公式：( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n) ) u u u ui i, ,u ui i+1+1) )时，时，时，时，B Bi,1i,1( (u u)=1)=1； u u其它时，其它时，其它时，其它时，B Bi,1i,1( (u u)=0)=0。 在上面的递推式中，若遇到在上面的递推式中，若遇到在上面的递推式中，若遇到在上面的递推式中，若遇到0/00/0则取值为则取值为则取值为则取值为0 0。 常称常称常称常称u ui i为节点为节点为节点为节点，U Un,kn,k为节点向量为节点向量为节点向量为节点向量。 若若若若u uj j-1-1 u uj j= =u uj j+1+1= = =u uj j+r-1+r-1 0)0；u u其它时，其它时，其它时，其它时，B Bi,ki,k( (u u)=0)=0。 反反反反过过过过来来来来，对对对对每每每每一一一一个个个个区区区区间间间间( (u ui i, ,u ui i+k+k) )，至至至至多多多多只只只只有有有有k k个个个个基基基基函函函函数数数数在在在在其其其其上非零上非零上非零上非零，它们是：，它们是：，它们是：，它们是：B Bi-k+1,ki-k+1,k( (u u) )，B Bi-k+2,ki-k+2,k( (u u) )，B Bi,ki,k( (u u) )。 权性权性： B Bi,ki,k( (u u)1()1(i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n) ) 连续性连续性：B Bi,ki,k( (u u) )在在在在r r重节点处至少为重节点处至少为重节点处至少为重节点处至少为k-1-rk-1-r次连续次连续次连续次连续( (C Ck-1-rk-1-r) )。 线性无关性线性无关性：B Bi,ki,k( (u u)( )(i i=0,1,=0,1, ,n n) )线性无关。线性无关。线性无关。线性无关。 分分段段多多项项式式：B Bi,ki,k( (u u) )在在在在每每每每个个个个长长长长度度度度非非非非零零零零的的的的区区区区间间间间 u uj j, ,u uj j+1+1) )上上上上都都都都是是是是次次次次数不高于数不高于数不高于数不高于k k-1-1的多项式的多项式的多项式的多项式，它在，它在，它在，它在整个参数轴上是分段多项式整个参数轴上是分段多项式整个参数轴上是分段多项式整个参数轴上是分段多项式。u uu ui iu ui+1i+1u ui+2i+2B Bi,1i,1(u)(u)u uB Bi,1i,1(u)(u)的图像的图像的图像的图像u ui iu ui+1i+1u ui+2i+2B Bi,2i,2(u)(u)u uB Bi,2i,2(u)(u)的图像的图像的图像的图像u ui iu ui+1i+1u ui+3i+3B Bi,3i,3(u)(u)u ui+2i+2B Bi,3i,3(u)(u)的图像的图像的图像的图像B样条曲线曲面 B样条基函数 基函数性质 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线定义样条曲线定义 给给给给定定定定n n+1+1个个个个控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点 P Pi i ( (i i=0,1,=0,1, ,n n) )，P P0 0P P1 1P Pn n称称称称控控控控制制制制多多多多边边边边形形形形及及及及参数节点向量：参数节点向量：参数节点向量：参数节点向量：U Un,kn,k=u ui i ，( (i i=0,1,=0,1, ,n n+ +k k) )，( (u ui i u ui i+1+1) )。 称如下形式的参数曲线称如下形式的参数曲线称如下形式的参数曲线称如下形式的参数曲线P P( (u u) )为为为为k k阶阶阶阶( (k k-1-1次次次次)B)B样条曲线：样条曲线：样条曲线：样条曲线： 其其其其中中中中，B Bi,ki,k( (u u) )为为为为k k阶阶阶阶( (k k-1-1次次次次)B)B样样样样条条条条基基基基函函函函数数数数。B Bi,ki,k( (u u) )双双双双下下下下标标标标中中中中下标下标下标下标k k表示表示表示表示k k阶阶阶阶( (k k-1-1次次次次) )数、数、数、数、下标下标下标下标i i表示序号表示序号表示序号表示序号。u uP(u)P(u)u uu ui iu ui+1i+1u un+k+1n+k+1u u0 0u u1 1u un+kn+k节点向量节点向量节点向量节点向量控制顶点控制顶点控制顶点控制顶点B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条支撑区间 B样条区间定义 B样条定义域 B样条区间示例 支撑区间示例 B样条定义实例 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线：支撑区间样条曲线：支撑区间 第第第第i i个个个个k k次次次次B B样条样条样条样条B Bi,k+1i,k+1( (u u) )的的的的支承区间支承区间支承区间支承区间 u ui i, ,u ui i+k+1+k+1 递递递递推推推推公公公公式式式式说说说说明明明明：欲欲欲欲确确确确定定定定第第第第i i个个个个k k次次次次B B样样样样条条条条B Bi,k+1i,k+1( (u u) )，需需需需要要要要用到用到用到用到u ui i, ,u ui i+1+1, , ,u ui i+k+1+k+1共共共共k k+2+2个参数节点个参数节点个参数节点个参数节点。 B Bi,k+1i,k+1( (u u) )第第第第一一一一个个个个下下下下标标标标是是是是其其其其支支支支承承承承区区区区间间间间左左左左端端端端节节节节点点点点u ui i的的的的下下下下标标标标，表表表表示该示该示该示该B B样条在参数轴上的位置。与该样条在参数轴上的位置。与该样条在参数轴上的位置。与该样条在参数轴上的位置。与该B B样条次数样条次数样条次数样条次数k k无关；无关；无关；无关； 右端节点右端节点右端节点右端节点u ui i+k+1+k+1的下标与次数的下标与次数的下标与次数的下标与次数k k有关。有关。有关。有关。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条支撑区间 B样条区间定义 B样条定义域 B样条区间示例 支撑区间示例 B样条定义实例 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线：区间定义样条曲线：区间定义 支承区间的节点区间数支承区间的节点区间数支承区间的节点区间数支承区间的节点区间数( (含零长度区间含零长度区间含零长度区间含零长度区间) )与次数与次数与次数与次数k k有关。有关。有关。有关。 k k次次次次B B样条的支承区间包含样条的支承区间包含样条的支承区间包含样条的支承区间包含k k+1+1个节点区间个节点区间个节点区间个节点区间。 在在在在参参参参数数数数u u轴轴轴轴上上上上任任任任一一一一点点点点u u u ui i, ,u ui i+1+1 处处处处，就就就就至至至至多多多多只只只只有有有有k k+1+1个非零的个非零的个非零的个非零的k k次次次次B B样条样条样条样条， 其它的其它的其它的其它的k k次次次次B B样条在该处为零。样条在该处为零。样条在该处为零。样条在该处为零。 即：即：即：即：该参数区间内的曲线只与该参数区间内的曲线只与该参数区间内的曲线只与该参数区间内的曲线只与k k+1+1个控制顶点有关个控制顶点有关个控制顶点有关个控制顶点有关。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条支撑区间 B样条区间定义 B样条定义域 B样条区间示例 支撑区间示例 B样条定义实例 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线：分段曲线样条曲线：分段曲线 曲曲曲曲线线线线方方方方程程程程中中中中n n+1+1个个个个控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点 P Pi i( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n) )要要要要用用用用到到到到n n+1+1个个个个k k次次次次B B样条基函数样条基函数样条基函数样条基函数B Bi,k+1i,k+1( (u u)( )(i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n) )。 它们每个都是它们每个都是它们每个都是它们每个都是k k次次次次B B样条。样条。样条。样条。 B B样条曲线是一个分段曲线：样条曲线是一个分段曲线： 定定定定义义义义一一一一条条条条k k次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的n n+1+1个个个个k k次次次次B B样样样样条条条条由由由由节节节节点点点点矢矢矢矢量量量量U Un,kn,k=u ui i( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n+ +k k) )所决定。所决定。所决定。所决定。 它们支承区间所含节点的并集它们支承区间所含节点的并集它们支承区间所含节点的并集它们支承区间所含节点的并集。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条支撑区间 B样条区间定义 B样条定义域 B样条区间示例 支撑区间示例 B样条定义实例 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线：定义域样条曲线：定义域 一一一一条条条条k k次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线段段段段由由由由k k+1+1个个个个控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点定定定定义义义义，在在在在不不不不含含含含重重重重节点情况下，每增加一个顶点，曲线的段数就加节点情况下，每增加一个顶点，曲线的段数就加节点情况下，每增加一个顶点，曲线的段数就加节点情况下，每增加一个顶点，曲线的段数就加1 1。 即：即：即：即：n n+1+1个顶点定义的个顶点定义的个顶点定义的个顶点定义的k k次次次次B B样条曲线有样条曲线有样条曲线有样条曲线有n n- -k k+1+1段。段。段。段。 曲曲曲曲线线线线定定定定义义义义在在在在由由由由顺顺顺顺序序序序n n- -k k+2+2个个个个节节节节点点点点构构构构成成成成的的的的n n- -k k+1+1个个个个节节节节点点点点的的的的区区区区间上。间上。间上。间上。 并并并并非非非非节节节节点点点点矢矢矢矢量量量量所所所所包包包包含含含含的的的的n n+ +k k+1+1个个个个区区区区间间间间都都都都是是是是曲曲曲曲线线线线段段段段区区区区间间间间的的的的定定定定义义义义域域域域，其其其其中中中中每每每每一一一一曲曲曲曲线线线线段段段段的的的的两两两两端端端端各各各各k k个个个个节节节节点点点点区区区区间不能作为该曲线段的定义区间。间不能作为该曲线段的定义区间。间不能作为该曲线段的定义区间。间不能作为该曲线段的定义区间。 故：故：故：故：一条一条一条一条k k次次次次B B样条曲线定义域应为：样条曲线定义域应为：样条曲线定义域应为：样条曲线定义域应为：u u u uk k, ,u un+1n+1 。 . . 可可可可首首首首先先先先确确确确定定定定n n- -k k+2+2个个个个节节节节点点点点，其其其其首首首首尾尾尾尾节节节节点点点点所所所所限限限限定定定定的的的的参参参参数数数数区区区区间间间间就就就就是是是是B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的定定定定义义义义域域域域；然然然然后后后后，从从从从首首首首尾尾尾尾节节节节点点点点各各各各向向向向外外外外延延延延伸伸伸伸k k个个个个节节节节点点点点，共共共共n n+ +k k+2+2个个个个节节节节点点点点，构构构构成成成成节节节节点点点点矢矢矢矢量量量量，以以以以定义定义定义定义n n+1+1个个个个B B样条基函数。样条基函数。样条基函数。样条基函数。 . . 由由由由该该该该区区区区间间间间 u ui i, ,u ui i+1+1 左左左左右右右右节节节节点点点点各各各各向向向向外外外外扩扩扩扩展展展展k k个个个个节节节节点点点点得得得得到到到到所要求节点系列。所要求节点系列。所要求节点系列。所要求节点系列。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条支撑区间 B样条区间定义 B样条定义域 B样条区间示例 支撑区间示例 B样条定义实例 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线：区间示例样条曲线：区间示例u u u ui i, ,u ui i+1+1 上的上的k k次次B B样条曲线与样条曲线与k k+1+1个顶点有关个顶点有关( (k k=3=3，与顶点，与顶点P Pi-3i-3，P Pi-2i-2，P Pi-1i-1，P Pi i有关有关) )P P( (u ui+1i+1) )B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条支撑区间 B样条区间定义 B样条定义域 B样条区间示例 支撑区间示例 B样条定义实例 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义P P( (u ui i) )B B样条曲线：支撑区间示例样条曲线：支撑区间示例u uu ui iu ui+1i+1u ui+2i+2u ui+3i+3u ui+4i+4u u移移动动顶顶点点P Pi i至至多多影影响响B B样样条条基基函函数数的的支支承承区区间间 u ui i, ,u ui i+k+1+k+1 上上的的那那些些曲线段曲线段( (k k=3=3，影响，影响P Pi i前后前后k k个顶点个顶点P Pi-3i-3，P Pi-2i-2，P Pi-1i-1和和P Pi+1i+1，P Pi+2i+2 ，P Pi+3i+3) )。P Pi-2i-2P Pi-3i-3i+2i+2P Pi-1i-1P Pi+1i+1P PP Pi ii+3i+3P PP P i iP(u)P(u)B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条支撑区间 B样条区间定义 B样条定义域 B样条区间示例 支撑区间示例 B样条定义实例 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线定义实例样条曲线定义实例 给定控制顶点给定控制顶点给定控制顶点给定控制顶点 P Pi i( (i i=0,1,=0,1,8),8)定义一三次定义一三次定义一三次定义一三次B B样条曲线。样条曲线。样条曲线。样条曲线。 即即即即n n=8,=8,k k=3=3。 节点矢量：节点矢量：节点矢量：节点矢量：U U=u u0 0, , u u1 1, , ,u un+k+1n+k+1=u u0 0, , u u1 1, , ,u u1212 ； 曲线定义域：曲线定义域：曲线定义域：曲线定义域：u u u uk k, ,u un+1n+1=u u3 3, ,u u9 9 ； 当定义域当定义域当定义域当定义域 u u3 3, ,u u9 9 内不含重节点时，曲线的段数内不含重节点时，曲线的段数内不含重节点时，曲线的段数内不含重节点时，曲线的段数= =n n- -k k+1=6+1=6； 定义在定义在定义在定义在u u u u6 6, ,u u7 7( (i i=6)=6)上曲线段的四个控制点为：上曲线段的四个控制点为：上曲线段的四个控制点为：上曲线段的四个控制点为： ( (P Pi-ki-k, ,P Pi-k+1i-k+1, , ,P Pi i)=()=(P P3 3, ,P P4 4, ,P P5 5, ,P P6 6) ) 。 该曲线段两端点与分别与其中前后该曲线段两端点与分别与其中前后该曲线段两端点与分别与其中前后该曲线段两端点与分别与其中前后k k=3=3个顶点有关。个顶点有关。个顶点有关。个顶点有关。 移移移移动动动动顶顶顶顶点点点点P P3 3至至至至多多多多影影影影响响响响定定定定义义义义在在在在区区区区间间间间 u u3 3, ,u u7 7 的的的的那那那那些些些些曲曲曲曲线线线线段段段段形状产生影响，对曲线其它部分的形状不产生影响。形状产生影响，对曲线其它部分的形状不产生影响。形状产生影响，对曲线其它部分的形状不产生影响。形状产生影响，对曲线其它部分的形状不产生影响。 移移移移动动动动顶顶顶顶点点点点P P7 7应应应应该该该该对对对对定定定定义义义义在在在在区区区区间间间间 u u7 7, ,u u1111 内内内内的的的的那那那那些些些些曲曲曲曲线线线线段段段段的的的的形形形形状状状状产产产产生生生生影影影影响响响响，但但但但因因因因( (u u9 9, ,u u1111 落落落落在在在在定定定定义义义义域域域域以以以以外外外外，故故故故仅仅仅仅影影影影响响响响在在在在 u u7 7, ,u u9 9 所所所所含含含含两两两两个个个个节节节节点点点点区区区区间间间间上上上上的的的的那那那那部部部部分分分分的的的的形形形形状状状状产产产产生影响，而不影响其它部分形状。生影响，而不影响其它部分形状。生影响，而不影响其它部分形状。生影响，而不影响其它部分形状。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条支撑区间 B样条区间定义 B样条定义域 B样条区间示例 支撑区间示例 B样条定义实例 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线性质样条曲线性质(1)(1)(1)(1) 局局局局部部部部性性性性：k k次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线在在在在区区区区间间间间 u ui i, ,u ui i+1+1)( )(k k i i n n) )上上上上一一一一点点点点P P( (u u) )至至至至多多多多与与与与k k+1+1个个个个控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点P Pi-ki-k, ,P Pi-k+1i-k+1, , ,P Pi i有有有有关关关关，与与与与其其其其它它它它顶顶顶顶点无关。点无关。点无关。点无关。 修改控制顶点修改控制顶点修改控制顶点修改控制顶点P Pi i只影响曲线区间只影响曲线区间只影响曲线区间只影响曲线区间 u ui i, ,u ui i+1+1) )中的部分。中的部分。中的部分。中的部分。 凸凸凸凸包包包包性性性性：曲曲曲曲线线线线段段段段P P( (u u) )在在在在参参参参数数数数区区区区间间间间 u ui i, ,u ui i+1+1)( )(k k i i n n) )上上上上的的的的部部部部分分分分位位位位于于于于k k个个个个控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点P Pi-ki-k, ,P Pi-k+1i-k+1, , ,P Pi i的的的的凸凸凸凸包包包包chchi i之之之之内内内内。整整整整条条条条曲线则位于各凸包曲线则位于各凸包曲线则位于各凸包曲线则位于各凸包chchi i的并集的并集的并集的并集chchi i ( (i i= =k k, ,k k+1,+1, ,n n) )之内之内之内之内。 直线再生性：直线再生性：直线再生性：直线再生性： 由由由由凸凸凸凸包包包包性性性性：若若若若k k+1+1个个个个控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点P Pi-ki-k, ,P Pi-k+1i-k+1, , ,P Pi i落落落落在在在在一一一一条条条条直直直直线上，则区间线上，则区间线上，则区间线上，则区间 u ui i, ,u ui i+1+1 内的曲线是直线段。内的曲线是直线段。内的曲线是直线段。内的曲线是直线段。 分段参数多项式曲线分段参数多项式曲线分段参数多项式曲线分段参数多项式曲线 曲曲曲曲线线线线P P( (u u) )在在在在参参参参数数数数区区区区间间间间 u ui i, ,u ui i+1+1)( )(k k i i n n) )上上上上是是是是次次次次数数数数不不不不高高高高于于于于k k的的的的多多多多项项项项式式式式曲曲曲曲线线线线，P P( (u u) )在在在在参参参参数数数数区区区区间间间间 u ui i, ,u ui i+1+1)( )(k k i i n n) )上上上上是是是是关关关关于于于于参参参参数数数数u u的分段多项式曲线。的分段多项式曲线。的分段多项式曲线。的分段多项式曲线。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条性质2 B样条性质3 B样条性质4 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线性质样条曲线性质(2)(2)(2)(2)P P3 3P P4 4P P5 5P P2 2P P1 1P P0 0k=3k=3k=3k=3k=2k=2k=1k=1 连连连连续续续续性性性性：P P( (u u) )在在在在r r重重重重节节节节点点点点u ui i( (k k i i n n) )处处处处至至至至少少少少是是是是C Ck-1-rk-1-r的的的的；整整整整条曲线的连续性不低于条曲线的连续性不低于条曲线的连续性不低于条曲线的连续性不低于k-1-rk-1-rmaxmax。 其中其中其中其中r rmaxmax表示节点表示节点表示节点表示节点u ui i的重数的最大值。例如：的重数的最大值。例如：的重数的最大值。例如：的重数的最大值。例如：r rmaxmax=1=1， 当当当当k k=1=1时时时时，曲曲曲曲线线线线P P( (u u) )是是是是C C-1-1即即即即不不不不连连连连续续续续的的的的，它它它它退退退退化化化化为为为为离离离离散散散散的控制顶点；的控制顶点；的控制顶点；的控制顶点； 当当当当k k=2=2时，曲线时，曲线时，曲线时，曲线P P( (u u) )是是是是C C的，即为控制多边形本身；的，即为控制多边形本身；的，即为控制多边形本身；的，即为控制多边形本身； 当当当当k k=3=3时，曲线时，曲线时，曲线时，曲线P P( (u u) )是是是是C C1 1的。的。的。的。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条性质2 B样条性质3 B样条性质4 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线性质样条曲线性质(3)(3) 仿射不变性：仿射不变性：仿射不变性：仿射不变性： 对于任意的仿射变换对于任意的仿射变换对于任意的仿射变换对于任意的仿射变换A A，曲线的表示形式不变。，曲线的表示形式不变。，曲线的表示形式不变。，曲线的表示形式不变。 即：即：即：即： 并且某些几何性质保持不变。并且某些几何性质保持不变。并且某些几何性质保持不变。并且某些几何性质保持不变。 导数函数：导数函数：导数函数：导数函数： 它是一条它是一条它是一条它是一条k k-1-1阶的阶的阶的阶的B B样条曲线。样条曲线。样条曲线。样条曲线。 磨光性质：磨光性质：磨光性质：磨光性质： 同同同同一一一一组组组组控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点定定定定义义义义的的的的B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线，随随随随着着着着次次次次数数数数的的的的增增增增加，越来越光滑。加，越来越光滑。加，越来越光滑。加，越来越光滑。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条性质2 B样条性质3 B样条性质4 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线性质样条曲线性质(4)(4)(4)(4) 平面曲线的保型性：平面曲线的保型性：平面曲线的保型性：平面曲线的保型性： 假假假假如如如如B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点 P Pk k( (k k=0,1,2,=0,1,2, ,n n) )位位位位于于于于一一一一张平面之内，则该张平面之内，则该张平面之内，则该张平面之内，则该B B样条曲线是平面曲线。样条曲线是平面曲线。样条曲线是平面曲线。样条曲线是平面曲线。 它具有两个性质：它具有两个性质：它具有两个性质：它具有两个性质： 保保保保凸凸凸凸性性性性：如如如如果果果果其其其其控控控控制制制制多多多多边边边边形形形形是是是是凸凸凸凸的的的的，则则则则该该该该B B样样样样条条条条曲线也是凸的。曲线也是凸的。曲线也是凸的。曲线也是凸的。 变变变变差差差差缩缩缩缩减减减减性性性性：平平平平面面面面内内内内任任任任一一一一直直直直线线线线与与与与B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的交交交交点各数不多于该直线与曲线控制多边形的交点数。点各数不多于该直线与曲线控制多边形的交点数。点各数不多于该直线与曲线控制多边形的交点数。点各数不多于该直线与曲线控制多边形的交点数。 特特特特别别别别地地地地，当当当当出出出出现现现现顺顺顺顺序序序序k k+1+1个个个个顶顶顶顶点点点点相相相相重重重重时时时时，所所所所定定定定义义义义的的的的那那那那段段段段曲曲曲曲线线线线就就就就退退退退化化化化为为为为那那那那个个个个重重重重合合合合点点点点；而而而而前前前前后后后后邻邻邻邻段段段段又又又又因因因因k k+1+1个个个个顶顶顶顶点点点点形形形形成成成成共共共共线线线线而而而而形形形形成成成成两两两两直直直直线线线线段段段段，从从从从而而而而在在在在退退退退化化化化点点点点处处处处形形形形成成成成尖角尖角尖角尖角。 参参参参数数数数曲曲曲曲线线线线在在在在这这这这样样样样的的的的非非非非正正正正则则则则点点点点处处处处，参参参参数数数数连连连连续续续续性性性性和和和和几几几几何何何何连连连连续续续续性性性性( (光光光光滑滑滑滑度度度度) )可可可可能能能能出出出出现现现现不不不不一一一一致致致致，因因因因此此此此，不不不不提提提提倡采用重顶点方法构造尖角倡采用重顶点方法构造尖角倡采用重顶点方法构造尖角倡采用重顶点方法构造尖角。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条性质2 B样条性质3 B样条性质4 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线的重节点样条曲线的重节点 在在在在B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线定定定定义义义义域域域域内内内内的的的的重重重重节节节节点点点点重重重重复复复复度度度度每每每每增增增增加加加加1 1，曲曲曲曲线线线线段段段段数数数数减减减减1 1，样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线在在在在该该该该重重重重节节节节点点点点处处处处的的的的可可可可微微微微性性性性或或或或参参参参数数数数连连连连续续续续阶阶阶阶降降降降1 1。 k k次次次次B B样条曲线在重复度为样条曲线在重复度为样条曲线在重复度为样条曲线在重复度为r r的节点处是的节点处是的节点处是的节点处是C Ck-1k-1r r连续的。连续的。连续的。连续的。 一条位置连续的曲线，一条位置连续的曲线，一条位置连续的曲线，一条位置连续的曲线， 内节点内节点内节点内节点所取的最大重复度等于曲线的次数所取的最大重复度等于曲线的次数所取的最大重复度等于曲线的次数所取的最大重复度等于曲线的次数k k； 端节点端节点端节点端节点的最大重复度为的最大重复度为的最大重复度为的最大重复度为k k+1+1。 可在可在可在可在B B样条曲线内部构造样条曲线内部构造样条曲线内部构造样条曲线内部构造尖点尖点尖点尖点与与与与尖角尖角尖角尖角。 当当当当在在在在曲曲曲曲线线线线参参参参数数数数定定定定义义义义域域域域内内内内有有有有重重重重复复复复度度度度为为为为k k的的的的节节节节点点点点时时时时，k k次次次次B B样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线插值插值插值插值于相应的控制顶点于相应的控制顶点于相应的控制顶点于相应的控制顶点( (尖点尖点尖点尖点与与与与尖角尖角尖角尖角) )。 与设置与设置与设置与设置k k重顶点重顶点重顶点重顶点达到插值顶点不同之处在于：达到插值顶点不同之处在于：达到插值顶点不同之处在于：达到插值顶点不同之处在于： 不不不不致致致致引引引引起起起起曲曲曲曲线线线线在在在在该该该该点点点点处处处处切切切切矢矢矢矢消消消消失失失失，保保保保持持持持曲曲曲曲线线线线的正则性的正则性的正则性的正则性。 这这这这一一一一性性性性质质质质也也也也决决决决定定定定了了了了“ “两两两两条条条条或或或或多多多多条条条条分分分分离离离离的的的的B B样样样样条条条条曲曲曲曲线可以采用一个统一的方程表示线可以采用一个统一的方程表示线可以采用一个统一的方程表示线可以采用一个统一的方程表示” ”。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 重节点的影响 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义重节点对重节点对B B样条曲线的影响样条曲线的影响 当当当当端节点重复度为端节点重复度为k k时时， k k次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的端端端端点点点点将将将将与与与与相相相相应应应应的的的的控控控控制制制制多多多多边边边边形形形形的的的的端端端端顶顶顶顶点相重点相重点相重点相重，并，并，并，并在端点处与控制多边形相切在端点处与控制多边形相切在端点处与控制多边形相切在端点处与控制多边形相切。 当当当当端节点重复度为端节点重复度为k k+1+1时时， k k次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线就就就就具具具具有有有有和和和和k k次次次次BzierBzier曲曲曲曲线线线线相相相相同同同同的的的的端端端端点点点点几几几几何性质。何性质。何性质。何性质。 若若若若k k次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线在在在在定定定定义义义义域域域域内内内内相相邻邻两两节节点点都都具具有有重重复复度度k k， 可可可可生生生生成成成成定定定定义义义义在在在在该该该该节节节节点点点点区区区区间间间间上上上上那那那那段段段段B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的BzierBzier曲线。曲线。曲线。曲线。 若若端端节节点点重重复复度度为为k k+1+1的的k k次次B B样样条条曲曲线线的的定定义义域域仅仅有有一一个非零节点区间个非零节点区间， 所定义的该所定义的该所定义的该所定义的该k k次次次次B B样条就是样条就是样条就是样条就是k k次次次次BzierBzier曲线。曲线。曲线。曲线。 由由由由此此此此可可可可知知知知：BzierBzier曲曲曲曲线线线线是是是是B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的特特特特例例例例，B B样样样样条条条条方方方方法法法法是是是是BzierBzier方法的合适的强有力推广。方法的合适的强有力推广。方法的合适的强有力推广。方法的合适的强有力推广。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 重节点的影响 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线类型：按顶点划分样条曲线类型：按顶点划分(1)(1) 周期闭曲线和开曲线：周期闭曲线和开曲线：周期闭曲线和开曲线：周期闭曲线和开曲线： 曲线按其曲线按其曲线按其曲线按其是否首未端点相重是否首未端点相重是否首未端点相重是否首未端点相重区分为区分为区分为区分为闭曲线闭曲线闭曲线闭曲线和和和和开曲线开曲线开曲线开曲线。 闭曲线又以闭曲线又以闭曲线又以闭曲线又以端点连接情况端点连接情况端点连接情况端点连接情况分为分为分为分为周期的周期的周期的周期的和和和和非周期的非周期的非周期的非周期的。 非非非非周周周周期期期期闭闭闭闭曲曲曲曲线线线线可可可可以以以以看看看看作作作作是是是是开开开开曲曲曲曲线线线线的的的的特特特特殊殊殊殊情情情情况况况况，同同同同样样样样地按开曲线处理。地按开曲线处理。地按开曲线处理。地按开曲线处理。 B B样条样条样条样条周期混合函数周期混合函数周期混合函数周期混合函数是指：是指：是指：是指： 给定给定给定给定n n和和和和k k值，所有的混合函数有相同形状。值，所有的混合函数有相同形状。值，所有的混合函数有相同形状。值，所有的混合函数有相同形状。 每每每每个个个个后后后后继继继继混混混混合合合合函函函函数数数数仅仅仅仅仅仅仅仅是是是是前前前前面面面面函函函函数数数数的的的的一一一一个个个个移移移移动动动动结果：结果：结果：结果： B Bi,ki,k( (u u)=)=B Bi+1,ki+1,k( (u u+ +u u)= )= B Bi+2,ki+2,k( (u u+2+2u u) ) 其中其中其中其中u u是相邻节点值间的区间。是相邻节点值间的区间。是相邻节点值间的区间。是相邻节点值间的区间。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 按顶点划分 按节点划分 按节点划分 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线类型：按顶点划分样条曲线类型：按顶点划分(2)(2) 一一一一般般般般，B B样样条条曲曲线线的的次次数数k k取取2 2到到控控制制点点个个数数n n+1+1之之间间的的任一整数任一整数。 实际上，也可设实际上，也可设实际上，也可设实际上，也可设k k的值为零和的值为零和的值为零和的值为零和1 1：零次和一次零次和一次零次和一次零次和一次B B样条曲线：样条曲线：样条曲线：样条曲线： k k=0=0，节点矢量：，节点矢量：，节点矢量：，节点矢量：U U=u u0 0, ,u u1 1,u un+1n+1 ； 基函数：基函数：基函数：基函数：B Bi,0i,0( (u u)=1()=1(u u u ui i, ,u ui i+1+1) )； B Bi,0i,0( (u u)=0()=0(u u其它其它其它其它) )( (i i=0,1,=0,1,n n-1)-1)； 曲线方程：曲线方程：曲线方程：曲线方程： P P( (u u)=)=P Pi i( (i i=0,1,2,=0,1,2,n n-1)-1)，u u u ui i, ,u ui i+1+1) )； P P( (u u)=)=P Pn n( (u u u un n, ,u un+1n+1) )，u u其它其它其它其它。 它它它它表表表表明明明明零零零零次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线就就就就是是是是控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点点点点点列列列列自自自自身身身身，与与与与所所所所取节点向量分布情况无关。取节点向量分布情况无关。取节点向量分布情况无关。取节点向量分布情况无关。 k k=1=1时时时时，只只只只要要要要曲曲曲曲线线线线定定定定义义义义域域域域的的的的内内内内节节节节点点点点不不不不相相相相重重重重，一一一一次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线恒为控制多边形自身。线恒为控制多边形自身。线恒为控制多边形自身。线恒为控制多边形自身。 对对对对首首首首尾尾尾尾顶顶顶顶点点点点相相相相重重重重的的的的封封封封闭闭闭闭控控控控制制制制多多多多边边边边形形形形，不不不不论论论论两两两两端端端端节节节节点点点点是是是是否否否否为为为为二二二二重重重重节节节节点点点点或或或或为为为为周周周周期期期期情情情情况况况况，所所所所定定定定义义义义的的的的B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线都都都都就是该封闭多边形。就是该封闭多边形。就是该封闭多边形。就是该封闭多边形。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 按顶点划分 按节点划分 按节点划分 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线类型：按节点划分样条曲线类型：按节点划分(1)(1) 均匀样条曲线均匀样条曲线均匀样条曲线均匀样条曲线( (uniform B-spline uniform B-spline curvecurve) )： 节点向量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，节点向量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，节点向量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，节点向量中节点为沿参数轴均匀或等距分布， 所有节点区间长度所有节点区间长度所有节点区间长度所有节点区间长度i i=(=(u ui i+1+1- -u ui i)=)=常数常数常数常数0, 0, i i=0,1,2,=0,1,2,n n+ +k k。 这样的节点向量定义了均匀这样的节点向量定义了均匀这样的节点向量定义了均匀这样的节点向量定义了均匀B B样条基。样条基。样条基。样条基。 准均匀样条曲线准均匀样条曲线准均匀样条曲线准均匀样条曲线( (quasi-uniform B-splinequasi-uniform B-spline curve curve) )： 节点向量中节点向量中节点向量中节点向量中两端节点两端节点两端节点两端节点具有重复度具有重复度具有重复度具有重复度k k+1+1， 即：即：即：即：u u0 0= =u u1 1=u uk k, ,u un+1n+1= =u un+2n+2=u un+k+1n+k+1， 所有所有所有所有内节点内节点内节点内节点均匀分布，具有重复度均匀分布，具有重复度均匀分布，具有重复度均匀分布，具有重复度1 1。 定定定定 义义义义 域域域域 u u u ui i, ,u ui i+1+1 内内内内 节节节节 点点点点 区区区区 间间间间 长长长长 度度度度 i i= =常常常常 数数数数 0, 0, i i= =k k, ,k k+1,+1,k k+2,+2,n n，与与与与均均均均匀匀匀匀B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线定定定定义义义义域域域域内内内内节节节节点点点点分分分分布相同，差别仅在于两端节点。布相同，差别仅在于两端节点。布相同，差别仅在于两端节点。布相同，差别仅在于两端节点。 这样的节点向量定义了准均匀这样的节点向量定义了准均匀这样的节点向量定义了准均匀这样的节点向量定义了准均匀B B样条基。样条基。样条基。样条基。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 按顶点划分 按节点划分 按节点划分 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线类型：按节点划分样条曲线类型：按节点划分(2)(2) 分段分段BzierBzier曲线曲线( (piecewise Bzierpiecewise Bzier curve curve) )： 节节节节点点点点向向向向量量量量中中中中两两两两端端端端节节节节点点点点重重重重复复复复度度度度为为为为k k+1+1，所所所所有有有有内内内内节节节节点点点点的的的的重复度为重复度为重复度为重复度为k k。 即：即：即：即：i i= =kk时，时，时，时，i i= =常数常数常数常数00；i i= =kk+ +j j时，时，时，时，i i=0=0 ( (i i=0,=0,n n-1),-1), =1,=1,k k/ /n n； 选选选选用用用用该该该该类类类类型型型型有有有有个个个个限限限限制制制制条条条条件件件件：控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点数数数数减减减减1 1必必必必须须须须等等等等于次数的正整数倍，即于次数的正整数倍，即于次数的正整数倍，即于次数的正整数倍，即n n/ /k k= =正整数。正整数。正整数。正整数。 这样的节点向量定义了分段这样的节点向量定义了分段这样的节点向量定义了分段这样的节点向量定义了分段BernsteinBernstein基。基。基。基。 非均匀非均匀B B样条曲线样条曲线( (non-uniform B-splinenon-uniform B-spline curve curve) )： 任任任任意意意意分分分分布布布布的的的的节节节节点点点点向向向向量量量量U U=u u0 0, , u u1 1,u un+k+1n+k+1 只只只只要要要要在在在在数数数数学学学学上上上上成成成成立立立立( (其其其其中中中中节节节节点点点点序序序序列列列列非非非非递递递递减减减减，两两两两端端端端节节节节点点点点重重重重复复复复度度度度 k k+1+1，内节点重复度，内节点重复度，内节点重复度，内节点重复度 k k) )都可选取都可选取都可选取都可选取。 这样的节点向量定义了非均匀这样的节点向量定义了非均匀这样的节点向量定义了非均匀这样的节点向量定义了非均匀B B样条基。样条基。样条基。样条基。 前三种类型都可作为特例被包含在这种类型中。前三种类型都可作为特例被包含在这种类型中。前三种类型都可作为特例被包含在这种类型中。前三种类型都可作为特例被包含在这种类型中。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 按顶点划分 按节点划分 按节点划分 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线离散生成样条曲线离散生成 deBoordeBoor-Cox-Cox算算算算法法法法：从从从从给给给给定定定定参参参参数数数数区区区区间间间间 u uk k-1-1, ,u un+1n+1 中中中中划划划划分分分分出出出出的的的的一个参数一个参数一个参数一个参数u u u uj j, ,u uj j+1+1 计算计算计算计算B B样条曲线型值点样条曲线型值点样条曲线型值点样条曲线型值点P P( (u u) )的过程。的过程。的过程。的过程。 利用计算出的型值点的折线来作为利用计算出的型值点的折线来作为利用计算出的型值点的折线来作为利用计算出的型值点的折线来作为B B样条的近似。样条的近似。样条的近似。样条的近似。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 离散生成过程 离散生成意义 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线离散生成过程样条曲线离散生成过程三次三次B B样条曲线的样条曲线的deBoordeBoor-Cox-Cox算法过程算法过程r=0r=3r=2r=1型值点型值点B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 离散生成过程 离散生成意义 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线离散生成的几何意义样条曲线离散生成的几何意义计算过程的几何意义计算过程的几何意义计算过程的几何意义计算过程的几何意义 j j :1- :1- j jB样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 离散生成过程 离散生成意义 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线节点插入：目的样条曲线节点插入：目的 插入节点算法是插入节点算法是插入节点算法是插入节点算法是B B样条方法技术中最重要的技术之一。样条方法技术中最重要的技术之一。样条方法技术中最重要的技术之一。样条方法技术中最重要的技术之一。 它它它它既既既既有有有有重重重重要要要要的的的的理理理理论论论论价价价价值值值值，又又又又在在在在曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面设设设设计计计计中中中中有有有有广广广广泛的用途。泛的用途。泛的用途。泛的用途。 通过插入节点：通过插入节点：通过插入节点：通过插入节点： 能很简单地证明能很简单地证明能很简单地证明能很简单地证明B B样条曲线的变差减少性质；样条曲线的变差减少性质；样条曲线的变差减少性质；样条曲线的变差减少性质； 可可可可以以以以进进进进一一一一步步步步改改改改善善善善B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的局局局局部部部部性性性性质质质质，提提提提高高高高对对对对B B样样样样条曲线形状控制的潜在灵活性；条曲线形状控制的潜在灵活性；条曲线形状控制的潜在灵活性；条曲线形状控制的潜在灵活性； 可以求出可以求出可以求出可以求出B B样条曲线上的点；样条曲线上的点；样条曲线上的点；样条曲线上的点； 可可可可以以以以生生生生成成成成曲曲曲曲线线线线的的的的BzierBzier点点点点，得得得得到到到到B B样样样样条条条条的的的的分分分分段段段段BzierBzier表示；表示；表示；表示； 可以实现对曲线的分割；可以实现对曲线的分割；可以实现对曲线的分割；可以实现对曲线的分割； 在在在在生生生生成成成成曲曲曲曲面面面面时时时时，可可可可以以以以使使使使不不不不相相相相同同同同的的的的节节节节点点点点向向向向量量量量统统统统一一一一起起起起来来来来；等等。等等。等等。等等。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 节点插入原理 单节点插入 单节点插入示意 重节点插入 节点插入总结 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线节点插入：原理样条曲线节点插入：原理 设已给一设已给一设已给一设已给一条条条条k k次次次次B B样条曲线：样条曲线：样条曲线：样条曲线： 其中：其中：其中：其中：B B样条基由节点向量样条基由节点向量样条基由节点向量样条基由节点向量U U=u ui i( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n+ +k k+1)+1)完全确定。完全确定。完全确定。完全确定。 现现现现欲欲欲欲在在在在曲曲曲曲线线线线定定定定义义义义域域域域某某某某个个个个节节节节点点点点区区区区间间间间插插插插入入入入一一一一个个个个节节节节点点点点u u u ui i, ,u ui i+1+1 ，于于于于是得到新的节点向量：是得到新的节点向量：是得到新的节点向量：是得到新的节点向量： U U1 1=u u0 0, ,u u1 1, , ,u ui i, ,u u, ,u ui i+1+1, , , u un+k+1n+k+1) )， 重新编号后成为：重新编号后成为：重新编号后成为：重新编号后成为： 这个新的节点向量决定了一组新的这个新的节点向量决定了一组新的这个新的节点向量决定了一组新的这个新的节点向量决定了一组新的B B样条基。样条基。样条基。样条基。 原原原原 来来来来 的的的的 B B样样样样 条条条条 曲曲曲曲 线线线线 就就就就 可可可可 以以以以 用用用用 这这这这 组组组组 新新新新 的的的的 B B样样样样 条条条条 基基基基 与与与与 未未未未 知知知知 新新新新 顶顶顶顶 点点点点 表示出来：表示出来：表示出来：表示出来： 控制顶点增加了一个，曲线形状及连续性保持不变。控制顶点增加了一个，曲线形状及连续性保持不变。控制顶点增加了一个，曲线形状及连续性保持不变。控制顶点增加了一个，曲线形状及连续性保持不变。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 节点插入原理 单节点插入 单节点插入示意 重节点插入 节点插入总结 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线节点插入：单节点样条曲线节点插入：单节点 新控制顶点计算公式称为新控制顶点计算公式称为新控制顶点计算公式称为新控制顶点计算公式称为BohemBohem节点插入算法节点插入算法节点插入算法节点插入算法 实质上它是实质上它是实质上它是实质上它是deBoordeBoor算法的第一级递推。算法的第一级递推。算法的第一级递推。算法的第一级递推。 式式式式中中中中r r表表表表示示示示所所所所插插插插入入入入节节节节点点点点u u在在在在老老老老节节节节点点点点向向向向量量量量U U中中中中的的的的重重重重复复复复度度度度，若若若若u uj j u u u uj j+1+1，则，则，则，则r r=0=0。 若重复度为正整数若重复度为正整数若重复度为正整数若重复度为正整数r r k k，则有则有则有则有u u= =u uj j= =u uj j-1-1=u uj j+r-1+r-1。 当当当当r r=0=0时时时时，涉涉涉涉及及及及节节节节点点点点u uj j-k+1-k+1u uj j+k+k和和和和控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点P Pj j-k-kP Pj j，生生生生成成成成k k个新控制顶点替代个新控制顶点替代个新控制顶点替代个新控制顶点替代k k-1-1个老控制顶点个老控制顶点个老控制顶点个老控制顶点P Pj j-k+1-k+1 ,P Pj j-1-1。 当当当当00r r k k时，时，时，时，U Uj j+k+1+k+1= =U Uj j。 而而而而后后后后，通通通通过过过过插插插插入入入入节节节节点点点点使使使使k k+1+1个个个个节节节节点点点点向向向向量量量量U Uj j都都都都统统统统一一一一成成成成公公公公共共共共的的的的节节节节点点点点向量向量向量向量U U 。 这这这这k k+1+1条条条条k k+1+1次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线相相相相应应应应由由由由插插插插入入入入节节节节点点点点生生生生成成成成的的的的新新新新控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点( (包括未改变的老顶点包括未改变的老顶点包括未改变的老顶点包括未改变的老顶点) ) 来定义。来定义。来定义。来定义。 最最最最后后后后，根根根根据据据据这这这这些些些些顶顶顶顶点点点点得得得得到到到到原原原原k k次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线升升升升阶阶阶阶为为为为k k+1+1次次次次B B样样样样条条条条曲线的新控制顶点：曲线的新控制顶点：曲线的新控制顶点：曲线的新控制顶点：B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条升阶原理 控制顶点生成 B样条升阶示例 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线的升阶示例样条曲线的升阶示例P11P1P3P2P12P13P14P15=P0P10=uu2u4u1u0u5u6u3U: :升阶前的节点向量、控制升阶前的节点向量、控制顶点与升阶后的控制顶点顶点与升阶后的控制顶点uu2u4u1u0u5u6u3u1u4uu2u1u0u5u6u3u2u4u5uu2u1u0u5u6u3u4u6u0u3U1: :U2: :U3=U确定：确定：U1,U2,U3,d1i,d2i,d3i由由4个控制顶点定义的二次样条曲线的升阶个控制顶点定义的二次样条曲线的升阶P31=P30=P20=P10P32=P21=P12=P11P13=P22=P23=P33P34=P35=P24=P14B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条升阶原理 控制顶点生成 B样条升阶示例 B样条曲线分裂 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线的分裂样条曲线的分裂 曲曲曲曲线线线线的的的的分分分分裂裂裂裂是是是是( (splitsplit) )将将将将一一一一条条条条曲曲曲曲线线线线分分分分成成成成两两两两条条条条或或或或多多多多条条条条独独独独立立立立地地地地表示的曲线。表示的曲线。表示的曲线。表示的曲线。 一般参数曲线的分裂可通过域参数变换来实现。一般参数曲线的分裂可通过域参数变换来实现。一般参数曲线的分裂可通过域参数变换来实现。一般参数曲线的分裂可通过域参数变换来实现。 但参数变换不能实现采取同样基的表示形式。但参数变换不能实现采取同样基的表示形式。但参数变换不能实现采取同样基的表示形式。但参数变换不能实现采取同样基的表示形式。 曲曲曲曲线线线线分分分分割割割割( (s subdivisionubdivision) )是是是是将将将将一一一一条条条条曲曲曲曲线线线线分分分分成成成成由由由由两两两两个个个个或或或或多多多多个个个个线段线段线段线段组成的组成的组成的组成的曲线。曲线。曲线。曲线。 对于对于对于对于B B样条曲线，分裂与分割既有区别又有联系。样条曲线，分裂与分割既有区别又有联系。样条曲线，分裂与分割既有区别又有联系。样条曲线，分裂与分割既有区别又有联系。 B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线是是是是组组组组合合合合曲曲曲曲线线线线，分分分分割割割割采采采采用用用用在在在在曲曲曲曲线线线线定定定定义义义义域域域域内内内内插插插插入入入入节节节节点点点点的的的的方方方方法法法法来来来来实实实实现现现现：所所所所插插插插入入入入节节节节点点点点不不不不应应应应是是是是原原原原来来来来已已已已有有有有的的的的节节节节点点点点，而而而而且且且且只只只只需需需需插插插插入入入入一一一一次次次次，不不不不必必必必重重重重复复复复；曲曲曲曲线线线线经经经经分分分分割割割割后后后后，不不不不论论论论怎怎怎怎样移动控制顶点，仍保持至少为位置连续的整条曲线。样移动控制顶点，仍保持至少为位置连续的整条曲线。样移动控制顶点，仍保持至少为位置连续的整条曲线。样移动控制顶点，仍保持至少为位置连续的整条曲线。 分分分分裂裂裂裂也也也也由由由由在在在在定定定定义义义义域域域域内内内内插插插插入入入入节节节节点点点点来来来来实实实实现现现现，但但但但所所所所插插插插节节节节点点点点可可可可以以以以是是是是，也也也也可可可可不不不不是是是是已已已已有有有有节节节节点点点点( (严严严严格格格格地地地地说说说说，BzierBzier曲曲曲曲线线线线分分分分割割割割实实实实际际际际上上上上应看作是分裂应看作是分裂应看作是分裂应看作是分裂) )，且需插入节点直至重复度，且需插入节点直至重复度，且需插入节点直至重复度，且需插入节点直至重复度k k。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条分裂原理 B样条分裂示例 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线的分裂原理样条曲线的分裂原理 不不不不失失失失一一一一般般般般性性性性，考考考考虑虑虑虑由由由由控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点P Pi i( (i i=0,1,=0,1, ,n n) )定定定定义义义义的的的的k k次次次次B B样样样样条条条条曲曲曲曲线，在线，在线，在线，在u us s u ui i, ,u ui i+1+1 处分裂成两部分。处分裂成两部分。处分裂成两部分。处分裂成两部分。 u us s作为节点插入节点作为节点插入节点作为节点插入节点作为节点插入节点 当重复插入该节点当重复插入该节点当重复插入该节点当重复插入该节点u us s，直至具有重复度为，直至具有重复度为，直至具有重复度为，直至具有重复度为k k时，节点向量成为时，节点向量成为时，节点向量成为时，节点向量成为 U U=u u0 0, ,u u1 1, , ,u ui i, ,u us s, ,u us s, ,u ui i+1+1, , ,u un+k+1n+k+1 ，u us s u ui i, ,u ui i+1+1 ， u ui i具有重复度具有重复度具有重复度具有重复度r r，即：，即：，即：，即：u ui i= =u ui i-1-1= = =u ui i-r+1-r+1，u us s被重复插入被重复插入被重复插入被重复插入k k- -r r次。次。次。次。 如果如果如果如果u us s( (u ui i, ,u ui i-r+1-r+1) )，u us s就要被重复插入就要被重复插入就要被重复插入就要被重复插入k k次。次。次。次。 所所所所以以以以确确确确切切切切地地地地说说说说：r r是是是是指指指指所所所所插插插插节节节节点点点点u us s在在在在原原原原节节节节点点点点向向向向量量量量中中中中具具具具有有有有的的的的重重重重复复复复度度度度。如果。如果。如果。如果r r=0=0表示它在已有节点中不存在。表示它在已有节点中不存在。表示它在已有节点中不存在。表示它在已有节点中不存在。 当当当当重重重重复复复复插插插插入入入入u us s至至至至重重重重复复复复度度度度为为为为k k时时时时得得得得到到到到的的的的一一一一个个个个顶顶顶顶点点点点P Pi-ri-rk k-r-r就就就就是是是是曲曲曲曲线线线线上上上上参数为参数为参数为参数为u us s的一点的一点的一点的一点P P( (u us s) )。 这样，样条曲线将由这样，样条曲线将由这样，样条曲线将由这样，样条曲线将由n n+ +k k- -r r+1+1个控制顶点定义。个控制顶点定义。个控制顶点定义。个控制顶点定义。 不论怎样移动控制顶点，曲线仍保持位置连续。不论怎样移动控制顶点，曲线仍保持位置连续。不论怎样移动控制顶点，曲线仍保持位置连续。不论怎样移动控制顶点，曲线仍保持位置连续。 如如如如果果果果再再再再插插插插入入入入一一一一次次次次u us s，它它它它就就就就具具具具有有有有重重重重复复复复度度度度k k+1+1，得得得得到到到到两两两两相相相相重重重重顶顶顶顶点点点点分分分分别就是前后两段的端点。别就是前后两段的端点。别就是前后两段的端点。别就是前后两段的端点。 曲曲曲曲线线线线在在在在该该该该点点点点处处处处的的的的位位位位置置置置连连连连续续续续性性性性是是是是暂暂暂暂时时时时的的的的，一一一一旦旦旦旦移移移移动动动动其其其其中中中中之之之之一一一一，就就就就会会会会使使使使两两两两相相相相重重重重顶顶顶顶点点点点分分分分离离离离，虽虽虽虽仍仍仍仍可可可可用用用用同同同同一一一一方方方方程程程程表表表表示示示示，但但但但位位位位置置置置连续性已不存在。连续性已不存在。连续性已不存在。连续性已不存在。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条分裂原理 B样条分裂示例 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线的分裂例子样条曲线的分裂例子 例：例：例：例：n=3,k=2,r=1n=3,k=2,r=1。 需要将需要将需要将需要将1/21/2插入两次，相应得顶点：插入两次，相应得顶点：插入两次，相应得顶点：插入两次，相应得顶点：P P 0 0, ,P P 1 1, , P P 2 2, ,P P 3 3, ,P P 4 4, ,P P 5 5， 其中：其中：其中：其中：P P 2 2P P 3 3 。 分分分分裂裂裂裂后后后后的的的的两两两两子子子子曲曲曲曲线线线线分分分分别别别别由由由由控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点P P 0 0, ,P P 1 1, ,P P 2 2与与与与节节节节点点点点向向向向量量量量(0,0,0,1/2, (0,0,0,1/2, 1/2,1/2)1/2,1/2)，及控制顶点，及控制顶点，及控制顶点，及控制顶点P P 3 3, ,P P 4 4, ,P P 5 5及节点向量及节点向量及节点向量及节点向量(1/2,1/2,1/2, 1,1,1)(1/2,1/2,1/2, 1,1,1)定义。定义。定义。定义。 作域参数变换，可使两节点向量都成为作域参数变换，可使两节点向量都成为作域参数变换，可使两节点向量都成为作域参数变换，可使两节点向量都成为(0,0,0,1,1,1)(0,0,0,1,1,1)。P1P3P2P0u0100111/2P10P12P15P14P11P13=u0100111/21/21/2B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条分裂原理 B样条分裂示例 B样条曲线组合三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线的组合样条曲线的组合 B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的组组组组合合合合( (compositioncomposition) )：将将将将两两两两条条条条或或或或多多多多条条条条单单单单独独独独表表表表示示示示又又又又顺顺顺顺序序序序连连连连接接接接的的的的B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线用用用用统统统统一一一一的的的的B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线方方方方程程程程表表表表示示示示，可可可可当当当当作作作作一一一一整条整条整条整条B B样条曲线来处理样条曲线来处理样条曲线来处理样条曲线来处理。步骤如下：。步骤如下：。步骤如下：。步骤如下： 使使使使组组组组合合合合前前前前mm条条条条B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的节节节节点点点点向向向向量量量量T Tj j中中中中两两两两端端端端节节节节点点点点都都都都具具具具有有有有重复重复重复重复度度度度k kj j+1+1。 如如如如果果果果不不不不是是是是这这这这样样样样，则则则则通通通通过过过过插插插插入入入入节节节节点点点点使使使使定定定定义义义义域域域域首首首首末末末末节节节节点点点点具具具具有有有有重重重重复复复复度度度度k kj j+1+1，而而而而扔扔扔扔掉掉掉掉除除除除此此此此之之之之外外外外的的的的那那那那些些些些老老老老节节节节点点点点，重重重重新新新新从零起编号。从零起编号。从零起编号。从零起编号。 同同同同时时时时，使使使使插插插插值值值值于于于于曲曲曲曲线线线线首首首首末末末末端端端端点点点点的的的的两两两两顶顶顶顶点点点点分分分分别别别别成成成成为为为为控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点中中中中的的的的首首首首末末末末顶顶顶顶点点点点，扔扔扔扔掉掉掉掉不不不不在在在在这这这这首首首首末末末末顶顶顶顶点点点点之之之之间间间间的的的的那那那那些些些些老顶点。老顶点。老顶点。老顶点。 确定组合后确定组合后确定组合后确定组合后B B样条曲线的次数样条曲线的次数样条曲线的次数样条曲线的次数k k：k k= =MaxMax( (k k1 1, ,k k2 2, , , ,k kmm) )。 将将将将凡凡凡凡次次次次数数数数低低低低于于于于k k的的的的各各各各B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线都都都都升升升升阶阶阶阶到到到到k k次次次次，得得得得到到到到相相相相应应应应的的的的新控制顶点：新控制顶点：新控制顶点：新控制顶点： 其中：其中：其中：其中： 及新节点向量及新节点向量及新节点向量及新节点向量：B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合 B样条组合过程三次B样条曲线B样条曲面定义B B样条曲线的组合样条曲线的组合 确定组合后确定组合后确定组合后确定组合后B B样条曲线的控制顶点样条曲线的控制顶点样条曲线的控制顶点样条曲线的控制顶点P Pi i( (i i=0,1,=0,1, ,n n) )， 视视视视各各各各样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线在在在在空空空空间间间间的的的的实实实实际际际际分分分分布布布布，按按按按控控控控制制制制多多多多边边边边形形形形积积积积累累累累边边边边长长长长或或或或按按按按积积积积累累累累弦弦弦弦长长长长或或或或按按按按直直直直实实实实弧弧弧弧长长长长之之之之比比比比，分分分分划划划划各各各各样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线在在在在组组组组合合合合后后后后的的的的整整整整条条条条样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线定定定定义义义义域域域域u u u uk k, ,u un+1n+1=0,1=0,1中中中中占占占占有有有有的相应区间。的相应区间。的相应区间。的相应区间。 然然然然后后后后，作作作作相相相相应应应应的的的的域域域域参参参参数数数数变变变变换换换换，使使使使各各各各局局局局部部部部参参参参数数数数域域域域变变变变换换换换到到到到整整整整条条条条样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的整整整整体体体体参参参参数数数数域域域域的的的的相相相相应应应应区区区区间间间间上上上上。就就就就得得得得到到到到各各各各样样样样条条条条曲线在整体参数下的节点向量：曲线在整体参数下的节点向量：曲线在整体参数下的节点向量：曲线在整体参数下的节点向量： 组合后的整条组合后的整条组合后的整条组合后的整条B B样条曲线有了良好的参数化。样条曲线有了良好的参数化。样条曲线有了良好的参数化。样条曲线有了良好的参数化。 确定组合后的节点向量确定组合后的节点向量确定组合后的节点向量确定组合后的节点向量U U=u u0 0, ,u u1 1, , ,u un+k+1n+k+1 。B样条曲线曲面 B样条基函数 B样条曲线定义 B样条曲线性质 B样条曲线节点 B样条曲线类型 B样条曲线生成 B样条节点插入 B样条曲线升阶 B样条曲线分裂 B样条曲线组合 B样条组合过程三次B样条曲线B样条曲面定义三次均匀三次均匀B B样条曲线样条曲线 对于参数节点向量对于参数节点向量对于参数节点向量对于参数节点向量U Un,kn,k=u ui i( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n+ +k k)( )(u ui i u ui i+1+1) )， 若节点间间隔均匀，若节点间间隔均匀，若节点间间隔均匀，若节点间间隔均匀， 即：存在即：存在即：存在即：存在00，u ui i+1+1- -u ui i= =( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n+ +k k-1)-1)， 则则则则称称称称定定定定义义义义在在在在该该该该节节节节点点点点向向向向量量量量上上上上的的的的B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线为为为为均均均均匀匀匀匀节节节节点点点点上上上上的的的的B B样样样样条条条条曲线曲线曲线曲线或或或或均匀均匀均匀均匀B B样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线。相应的基函数称为。相应的基函数称为。相应的基函数称为。相应的基函数称为均匀均匀均匀均匀B B样条基函数样条基函数样条基函数样条基函数。 不失一般性，令不失一般性，令不失一般性，令不失一般性，令00，u u0 0=0=0，得到节点向量：，得到节点向量：，得到节点向量：，得到节点向量： U Un,kn,k=u ui i| |u ui i= =i i( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n+ +k k) )， 若记若记若记若记U Un,kn,k上的上的上的上的B B样条基函数为样条基函数为样条基函数为样条基函数为N Ni,ki,k( (u u) )，则其递推公式为：，则其递推公式为：，则其递推公式为：，则其递推公式为： 当当当当u u i i, ,i i+1)+1)时，时，时，时，N Ni,1i,1( (u u)=1)=1； 当当当当u u其它时，其它时，其它时，其它时，N Ni,1i,1( (u u)=0)=0。 N Ni,ki,k( (u u) )具有如下平移性质：具有如下平移性质：具有如下平移性质：具有如下平移性质：N Ni,ki,k( (u u)=)=N N0,k0,k( (u u- -i i) ) 即即即即：只只只只要要要要将将将将N N0,k0,k( (u u) )的的的的图图图图像像像像右右右右移移移移i i个个个个单单单单位位位位, ,便便便便得得得得到到到到N Ni,ki,k( (u u) )的的的的图像。图像。图像。图像。 这样，就可以从的性质推知任意这样，就可以从的性质推知任意这样，就可以从的性质推知任意这样，就可以从的性质推知任意N Ni,ki,k( (u u) )的性质。的性质。的性质。的性质。B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质三次均匀三次均匀B B样条曲线矩阵表示样条曲线矩阵表示 值值得得注注意意的的是是：当当选选择择均均匀匀B B样样条条作作为为造造型型工工具具时时，事事实实上上就就放放弃弃了了利利用用参参数数节节点点控控制制曲曲线形状的能力。线形状的能力。 任一区间任一区间任一区间任一区间 i i, ,i i+1+1上的三次均匀上的三次均匀上的三次均匀上的三次均匀B B样条曲线的矩阵表示为：样条曲线的矩阵表示为：样条曲线的矩阵表示为：样条曲线的矩阵表示为： P P( (u u)=)=G GBiBi MMB B T Ti i 其中：其中：其中：其中：G GBiBi=P Pi-3i-3, ,P Pi-2i-2, ,P Pi-1i-1, ,P Pi i, , T Ti i=1,(=1,(u u- -i i),(),(u u- -i i) )2 2,( ,(u u- -i i) )3 3 T TB样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质三次非均匀三次非均匀B B样条曲线样条曲线 对对对对于于于于参参参参数数数数节节节节点点点点向向向向量量量量U Un,kn,k=u ui i( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,n n+ +k k)( )(u ui i u ui i+1+1) )，若若若若参参参参数数数数节节节节点点点点分分分分布布布布不不不不均均均均匀匀匀匀，则则则则称称称称定定定定义义义义在在在在该该该该节节节节点点点点向向向向量量量量上上上上的的的的B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线为为为为非非非非均均均均匀匀匀匀B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线，相相相相应应应应基基基基函函函函数数数数称称称称为为为为非非非非均均均均匀匀匀匀B B样样样样条基函数条基函数条基函数条基函数。 由由由由于于于于节节节节点点点点分分分分布布布布不不不不均均均均匀匀匀匀，基基基基函函函函数数数数不不不不再再再再具具具具有有有有平平平平移移移移性性性性质质质质( (基基基基函数的图像各不相同函数的图像各不相同函数的图像各不相同函数的图像各不相同) )， 在在在在生生生生成成成成曲曲曲曲线线线线时时时时，每每每每个个个个基基基基函函函函数数数数都都都都要要要要单单单单独独独独计计计计算算算算，其其其其计计计计算算算算量比均匀量比均匀量比均匀量比均匀B B样条大得多。样条大得多。样条大得多。样条大得多。 但同时，得以自由调节节点的值来控制曲线形状。但同时，得以自由调节节点的值来控制曲线形状。但同时，得以自由调节节点的值来控制曲线形状。但同时，得以自由调节节点的值来控制曲线形状。 假定三次假定三次假定三次假定三次B B样条曲线的形式为：样条曲线的形式为：样条曲线的形式为：样条曲线的形式为： 下面讨论利用节点和控制顶点的下面讨论利用节点和控制顶点的下面讨论利用节点和控制顶点的下面讨论利用节点和控制顶点的B B样条曲线形状控制。样条曲线形状控制。样条曲线形状控制。样条曲线形状控制。B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质控制顶点的应用控制顶点的应用(1)(1) 由由由由B B样条局部性已大致看出控制顶点对曲线的影响。样条局部性已大致看出控制顶点对曲线的影响。样条局部性已大致看出控制顶点对曲线的影响。样条局部性已大致看出控制顶点对曲线的影响。 设设设设曲曲曲曲线线线线的的的的控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点( (P Pi-3i-3, ,P Pi-2i-2, ,P Pi-1i-1, ,P Pi i) )及及及及凸凸凸凸包包包包为为为为chchi i。在在在在区区区区间间间间 u ui i, ,u ui i+1+1) )中，三次中，三次中，三次中，三次B B样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线P P( (u u) )只与控制顶点有关。只与控制顶点有关。只与控制顶点有关。只与控制顶点有关。 当当当当控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点位位位位于于于于一一一一直直直直线线线线上上上上时时时时，P P( (u u) )在在在在 u ui i, ,u ui i+1+1 中中中中的的的的部部部部分分分分也也也也为直线段。为直线段。为直线段。为直线段。 当当当当P Pi-3i-3= =P Pi-2i-2= =P Pi-1i-1= =P Pi i时时时时，P P( (u u) )在在在在 u ui i, ,u ui i+1+1 中中中中的的的的部部部部分分分分退退退退化化化化为为为为一一一一个个个个点点点点P(uP(ui i) )。 同时，由于凸包同时，由于凸包同时，由于凸包同时，由于凸包chchi-1i-1落在直线段落在直线段落在直线段落在直线段P Pi-4i-4P Pi-1i-1之内之内之内之内所以，所以，所以，所以，P P( (u u) )在在在在 u ui i-1-1, ,u ui i 中的部分落在中的部分落在中的部分落在中的部分落在P Pi-4i-4P Pi i上。上。上。上。 类似地，类似地，类似地，类似地，P P( (u u) )在在在在 u ui i+2+2, ,u ui i+1+1 中的部分落在中的部分落在中的部分落在中的部分落在P Pi-2i-2P Pi+1i+1上。上。上。上。Pi-3PiPi-1i+1PPi-2Pi-4P(ui)P(ui+1)P(ui+2)P(ui)i+1PPi-4Pi-5i+2PPi-2PiPi-1Pi-3=B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质控制顶点的应用控制顶点的应用(2)(2) 当当当当P Pi-2i-2= =P Pi-1i-1= =P Pi i，u ui i+1+1的重数的重数的重数的重数33，则，则，则，则P P( (u ui i+1+1)=)=P Pi i 。 凸凸凸凸包包包包chchi i和和和和chchi+1i+1分分分分别别别别在在在在直直直直线线线线段段段段P Pi-3i-3P Pi-1i-1和和和和P Pi-2i-2P Pi+1i+1上上上上，且且且且曲曲曲曲线在线在线在线在u u= =u ui i+1+1处连续，所以，处连续，所以，处连续，所以，处连续，所以，chchi i chchi+1i+1= =P Pi i。 P P( (u ui i+1+1) )chchi i，P P( (u ui i+1+1) )chchi+1i+1，得到，得到，得到，得到P P( (u ui i+1+1)= )= P Pi i。P(ui+2)P(ui-1)i+1PPi-3Pi-4i+2PPi-1PiPi-2=P(ui+1) 若若若若P Pi-2i-2, ,P Pi-1i-1, ,P Pi i共共共共线线线线，且且且且节节节节点点点点u ui i+1+1的的的的重重重重数数数数22，则则则则曲曲曲曲线线线线与与与与直直直直线线线线段段段段P Pi-2i-2P Pi i相切。相切。相切。相切。Pi-1Pi-2Pi-3PiPi+1P(ui+1)P(ui+1)Pi-2PiPi+1Pi-1Pi-3B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质节点的应用节点的应用(1)(1) 对对对对非非非非均均均均匀匀匀匀B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线来来来来说说说说，可可可可以以以以随随随随意意意意插插插插入入入入、删删删删除除除除和和和和修修修修改改改改节节节节点点点点，从而方便地控制曲线的局部性。从而方便地控制曲线的局部性。从而方便地控制曲线的局部性。从而方便地控制曲线的局部性。 由连续性知，三次由连续性知，三次由连续性知，三次由连续性知，三次B B样条在样条在样条在样条在r r重节点重节点重节点重节点u ui i(3(3i i n n) )处至少是处至少是处至少是处至少是C C3-r3-r。 当当r r=2=2，u u= =u ui i+1+1时时( (u ui i和和u ui i+1+1节点重叠节点重叠) )， P P( (u ui i) )作为曲线段作为曲线段作为曲线段作为曲线段 P P( (u u)| )|u u u ui i-1-1, ,u ui i 的左端点落在的左端点落在的左端点落在的左端点落在chchi-1i-1中中中中; ; P P( (u ui i+1+1) )作为曲线段作为曲线段作为曲线段作为曲线段 P P( (u u)| )|u u u ui i+1+1, ,u ui i+2+2 右端点落在右端点落在右端点落在右端点落在chchi+1i+1中，中，中，中， 由于由于由于由于chchi i chchi+1i+1= =直线段直线段直线段直线段P Pi-2i-2P Pi-1i-1， 从而，从而，从而，从而，P P( (u ui i)=)=P P( (u ui i+1+1) )落在直线段落在直线段落在直线段落在直线段P Pi-2i-2P Pi-1i-1之上。之上。之上。之上。P Pi-4i-4P Pi-1i-1P Pi+1i+1P Pi iP Pi-2i-2P(uP(ui i) )P Pi-3i-3chchi+1i+1chchi-1i-1r=2, r=2, P(uP(ui i) )落在直线段落在直线段落在直线段落在直线段P Pi-2i-2P Pi-1i-1上上上上B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质节点的应用节点的应用(2)(2) 当当r r=3,=3,u u= =u ui i+1+1= =u ui i+2+2时时( (u ui i、u ui i+1+1和和u ui i+2+2节点重叠节点重叠) ) P P( (u ui i) )作为曲线段作为曲线段作为曲线段作为曲线段 P P( (u u)| )|u u u ui i-1-1, ,u ui i 左端点落在左端点落在左端点落在左端点落在chchi-1i-1中，中，中，中， P P( (u ui i+1+1) )作作作作为为为为曲曲曲曲线线线线段段段段 P P( (u u)| )|u u u ui i+2+2, ,u ui i+3+3 右右右右端端端端点点点点落落落落在在在在chchi+2i+2中，中，中，中， 由于由于由于由于chchi i chchi+1i+1= =P Pi-1i-1， 从而，从而，从而，从而，P P( (u ui i)=)=P P( (u ui i+1+1)=)=P P( (u ui i+2+2)=)=P Pi-1i-1。P Pi-4i-4P Pi-3i-3P Pi-1i-1P Pi+2i+2P Pi iP Pi-2i-2P(uP(ui i) )chchi-1i-1P Pi+1i+1chchi+2i+2r=3,r=3,曲线通过曲线通过曲线通过曲线通过P Pi-1i-1点点点点B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质节点的应用节点的应用(3)(3) 当当r r=4=4，u u= =u ui i+1+1= =u ui i+2+2= =u ui i+3+3时时 P P( (u ui i- -) )chchi-1i-1，P P( (u ui i+3+3+ +) )chchi+3i+3， 而而而而chchi-1i-1 chchi+3i+3= =， 从而从而从而从而P P( (u ui i- -)P P( (u ui i+3+3+ +) )，即曲线在处不连续。，即曲线在处不连续。，即曲线在处不连续。，即曲线在处不连续。P Pi-4i-4P Pi-1i-1P Pi-1i-1P Pi+2i+2P Pi iP Pi-2i-2chchi-1i-1P Pi+1i+1chchi+3i+3P Pi+3i+3r=4,r=4,曲线不连续曲线不连续曲线不连续曲线不连续B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质节点的应用节点的应用(4)(4) 有时需要有时需要有时需要有时需要B B样条曲线在端点处具有某种插值性质。样条曲线在端点处具有某种插值性质。样条曲线在端点处具有某种插值性质。样条曲线在端点处具有某种插值性质。 若取节点向量若取节点向量若取节点向量若取节点向量U Un,4n,4，使：，使：，使：，使： u u0 0= =u u1 1= =u u2 2= =u u3 3 u u4 4 u un+1n+1= =u un+2n+2 = =u un+3n+3= =u un+4n+4， 则曲线满足如下端点性质：则曲线满足如下端点性质：则曲线满足如下端点性质：则曲线满足如下端点性质： P P( (u u3 3)=)=P P0 0，P P( (u un+1n+1)=)=P Pn n， P P ( (u u3 3) )P P0 0P P1 1，P P ( (u un+1n+1) )P Pn n-1-1P Pn n。 即即即即：曲曲曲曲线线线线以以以以首首首首尾尾尾尾两两两两个个个个端端端端点点点点，并并并并且且且且在在在在端端端端点点点点处处处处与与与与控控控控制多边形的第一条边和最后一条边相切。制多边形的第一条边和最后一条边相切。制多边形的第一条边和最后一条边相切。制多边形的第一条边和最后一条边相切。P P0 0P P4 4P P2 2P P3 3P P1 1端点插值端点插值端点插值端点插值B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质B B样条与样条与BzierBzier曲线比较曲线比较 基函数的次数基函数的次数 对对对对于于于于BzierBzier曲曲曲曲线线线线，基基基基函函函函数数数数的的的的次次次次数数数数等等等等于于于于控控控控制制制制顶顶顶顶点点点点数数数数减减减减1 1； 对于对于对于对于B B样条曲线，样条曲线，样条曲线，样条曲线，基函数的次数与控制顶点数无关。基函数的次数与控制顶点数无关。基函数的次数与控制顶点数无关。基函数的次数与控制顶点数无关。 基函数性质基函数性质 BzierBzier曲曲曲曲线线线线的的的的基基基基函函函函数数数数，即即即即BernsteinBernstein基基基基函函函函数数数数，是是是是多多多多项项项项式函数；式函数；式函数；式函数； B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的基基基基函函函函数数数数，即即即即B B样样样样条条条条基基基基函函函函数数数数，是是是是多多多多项项项项式式式式样样样样条条条条。 曲线性质曲线性质 BzierBzier曲线是一种特殊表示形式的曲线是一种特殊表示形式的曲线是一种特殊表示形式的曲线是一种特殊表示形式的参数多项式曲线参数多项式曲线参数多项式曲线参数多项式曲线； B B样条曲线则是一种特殊表示形式的样条曲线则是一种特殊表示形式的样条曲线则是一种特殊表示形式的样条曲线则是一种特殊表示形式的参数样条曲线参数样条曲线参数样条曲线参数样条曲线。 局部控制能力局部控制能力 BzierBzier曲线曲线曲线曲线缺乏局部性质缺乏局部性质缺乏局部性质缺乏局部性质； B B样条曲线具有样条曲线具有样条曲线具有样条曲线具有局部性质局部性质局部性质局部性质。B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质B B样条曲面定义样条曲面定义 给定空间给定空间给定空间给定空间( (mm+1)(+1)(n n+1)+1)个控制顶点的位置：个控制顶点的位置：个控制顶点的位置：个控制顶点的位置： P Pi,ji,j( (i i=0,1,2,=0,1,2, ,mm；j j=0,1,2,=0,1,2, ,n n) ) 的阵列，构成一张控制网格。的阵列，构成一张控制网格。的阵列，构成一张控制网格。的阵列，构成一张控制网格。 又：分别给定参数又：分别给定参数又：分别给定参数又：分别给定参数u u与与与与v v的次数的次数的次数的次数k k与与与与l l和两个节点向量：和两个节点向量：和两个节点向量：和两个节点向量： U U=u u0 0, , u u1 1, ,u u2 2, , ,u um+k+1m+k+1 与与与与V V=v v0 0, ,v v1 1, ,v v2 2, , ,v vmm+k+1+k+1 ， 就定义了一张就定义了一张就定义了一张就定义了一张k k l l次张量积次张量积次张量积次张量积B B样条曲面：样条曲面：样条曲面：样条曲面：B Bi,ki,k( (u u) )和和和和B Bj j,l ,l( (v v) )分别为分别为分别为分别为u u、v v方向的方向的方向的方向的B B样条基函数。样条基函数。样条基函数。样条基函数。B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质B B样条曲面的性质样条曲面的性质 B B样条曲线的局部性质可以推广到曲面。样条曲线的局部性质可以推广到曲面。样条曲线的局部性质可以推广到曲面。样条曲线的局部性质可以推广到曲面。 定定定定义义义义在在在在子子子子矩矩矩矩形形形形域域域域u ue e u u u ue e+1+1，v vf f v v u uf f+1+1上上上上的的的的那那那那块块块块B B样样样样条子曲面片仅和控制点阵中的部分顶点：条子曲面片仅和控制点阵中的部分顶点：条子曲面片仅和控制点阵中的部分顶点：条子曲面片仅和控制点阵中的部分顶点： P Pi,ji,j( (i i= =e e- -k k, ,e e- -k k+1,+1, ,e e; ; j j= =f f- -k k, ,f f- -k k+1,+1, ,f f) ) 有关，与其它顶点无关。有关，与其它顶点无关。有关，与其它顶点无关。有关，与其它顶点无关。 相应地，曲面方程也可改写成为分片表示形式。相应地，曲面方程也可改写成为分片表示形式。相应地，曲面方程也可改写成为分片表示形式。相应地，曲面方程也可改写成为分片表示形式。 除除除除变变变变差差差差减减减减少少少少性性性性质质质质外外外外，B B样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的的的的其其其其它它它它性性性性质质质质都都都都可可可可以以以以推推推推广到广到广到广到B B样条曲面。样条曲面。样条曲面。样条曲面。 特殊地，若两个节点向量分别为：特殊地，若两个节点向量分别为：特殊地，若两个节点向量分别为：特殊地，若两个节点向量分别为： u u=0,0,=0,0,0,1,1,0,1,1,1,1， k k+l+l个个个个 k k+l+l个个个个 v v=0,0,=0,0,0,1,1,0,1,1,1,1 k k+l+l个个个个 k k+l+l个个个个 则所定义的则所定义的则所定义的则所定义的B B样条曲面就是样条曲面就是样条曲面就是样条曲面就是k k l l次次次次BzierBzier曲面。曲面。曲面。曲面。B样条曲线曲面三次B样条曲线 均匀B样条曲线 三次均匀B样条 非均匀B样条 控制顶点应用1 控制顶点应用2 节点应用1 节点应用2 节点应用3 节点应用4 B样条&BzierB样条曲面定义 B样条曲面性质