第十一节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数 第二二章 一、隐函数的导数一、隐函数的导数1. 定义定义注注 1如：如：若由方程若由方程可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,函数函数 y 为由此方程所确定的为由此方程所确定的隐函数隐函数 .则称则称2确定了一个隐函数：确定了一个隐函数：y = y(x)解出，则称此隐函数解出，则称此隐函数可显化；可显化；例例13问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?解解 (方法方法1)(方法方法2)另一方面，另一方面，一方面，一方面，隐函数隐函数求导方法求导方法: 两边对两边对 x 求导求导( 含导数含导数 y 的方程的方程 )用复合函数求导法则，直接对方程两边求导，用复合函数求导法则，直接对方程两边求导，2. 隐函数求导法则隐函数求导法则解解解得解得求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数 y的导数的导数方程两边对方程两边对 x 求导求导, ,由原方程知由原方程知例例2 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函然后利用隐函数的求导方法求出导数数的求导方法求出导数.3. 隐函数求导法的应用隐函数求导法的应用 对数求导法对数求导法(1) 方法方法不易求导不易求导易求导易求导(2) 适用范围适用范围按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:取对数得取对数得两边求导：两边求导：例例3 求求的导数的导数 . 解解两边对两边对 x 求导求导求幂指函数导数求幂指函数导数用对数求导法用对数求导法(方法方法1)对数求导法对数求导法两边取对数两边取对数 , 化为隐式方程：化为隐式方程：(方法方法2)复合函数求导法复合函数求导法注注?例例4解解例例5两边对两边对 x 求导：求导：二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数例如，例如，消去参数消去参数问题问题: : 消去参数困难或无法消去参数时，如何消去参数困难或无法消去参数时，如何 求导数求导数?定理定理 (参数方程所确定的函数的求导公式参数方程所确定的函数的求导公式)则由则由参数方程所参数方程所单调且连续的反函数单调且连续的反函数且能且能构成复合构成复合确定的函数确定的函数可导，可导，函数：函数：且且一个半径为一个半径为a的圆在定直线上滚动时的圆在定直线上滚动时,圆周上任圆周上任一一定点的轨迹称为定点的轨迹称为摆线摆线,计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程:所确定的函数所确定的函数 y = y (x) 的导数的导数解解 例例6摆线摆线简介：简介：即即半径为半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,M 的轨迹即为的轨迹即为摆线摆线 .其上定点其上定点例例7解解, 求求设设方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导, 得得极坐标系下的曲线的切线问题极坐标系下的曲线的切线问题解解例例8先写出曲线的参数方程：先写出曲线的参数方程：内容小结内容小结直接对方程两边求导直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除连除,乘方乘方,开方表示的函数开方表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导转化转化1. 隐函数求导法则隐函数求导法则思考题思考题求求提示提示: 分别用对数求导法求分别用对数求导法求答案答案: :备用题备用题例例2-1解解例例2-2 求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即例例2-3在在 x = 0 处的导数处的导数解解 方程两边对方程两边对 x 求导求导得得由原方程得由原方程得 x = 0 时时 y = 0 , 故故确定的确定的例例3-3 求由方程求由方程隐函数隐函数求其反函数的导数求其反函数的导数 .解解(方法方法1)(方法方法2)等式两边同时对等式两边同时对 求导求导例例2-4 设设例例3-1解解设设解解等式两边取对数得等式两边取对数得求求例例5-1解解例例6-1例例6-2 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 解解 先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量为速度的水平分量为铅直分量为铅直分量为故抛射体故抛射体速度大小速度大小再求再求速度方向速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角,则则抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量速度的水平分量垂直分量垂直分量在刚射出在刚射出 (即即 t = 0 )时时, 倾角倾角为为达到最高点的时刻达到最高点的时刻高度高度落地时刻落地时刻抛射抛射最远距离最远距离速度的方向速度的方向例例7-1 设由方程设由方程确定函数确定函数求求解解 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故解解例例8-1