2一、泰勒级数上节例题上节例题存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?3n阶泰勒公式若函数 在 的某邻域内具有 阶导数 , 则在该其中( 在 x 与 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .此式称为 的 阶泰勒公式阶泰勒公式 , 邻域内有 :4如果 在 的某邻域内存在任意阶导数 , 则称下为 的泰勒级数泰勒级数 . 列级数当 时, 泰勒级数变为 .称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .5待解决的问题待解决的问题 :1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为麦克劳林级数麦克劳林级数6定理定理 1各阶导数, 设函数 在点 的某一邻域 内具有则条件条件是的泰勒公式中的余项满足证明证明:令在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要7定理定理2 若 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设则在收敛区间内显然结论成立 .8二二. 函数展开成幂级数函数展开成幂级数1. 直接展开法直接展开法由上述泰勒级数理论可知 , 第一步第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;第三步第三步 判别在收敛区间是否内为0 .函数展开成幂级数的步骤如下 :9例例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解解: 级数的收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项有故( 在 0 与 x 之间 )10例例2. 将函数展开成 x 的幂级数. 解解: 级数的收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项有11类似可推出类似可推出12例例3. 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解解: 容易求出 于是由于因此, 对任意常数级数在开区间内收敛 .m , 13为了避免研究余项 , 设此级数的和函数为 推导14由此得 称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：1 . 在处的收敛性与有关 . 2. 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理二项式定理.15对应的二项展开式分别为162. 间接展开法间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 把 x 换成 , 得17例例5. 将函数展开成 x 的幂级数 .解解: 从 0 到 x 积分上式右端的幂级数在 收敛 ,而 在 有定义, 且连续 , 所以展开式对 也是成立的 , 于是收敛区间为利用此题可得18192021例例8. 将展成解解: 的幂级数. 22例例9. 将展成 的幂级数. 解解: 2324内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .2. 常用函数的幂级数展开式25当 m = 1 时26作业12-4 P285 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 27返回返回