第四章第四章 群论在固体物理中的运用群论在固体物理中的运用 在固体物理中，对晶体的研讨占据了相当大的比重。晶体：“三维空间中的一种规那么陈列无限反复的原子、分子、离子或原子集团的集合。晶体具有高度的对称性，从而构成了一系列对称群、对称群对晶体的能级分裂，能带构成等起主导作用。4.1 点群点群晶体的对称性可以用三种方式的几何变换或操作描画：其中，反演+真转动 非真转动转反轴例： n重旋转轴 ，n为某些整数 n=4对称性的阶等于4=h即对称群的阶对称面 ODCABC4 h=2 对称中心旋转反演轴转反轴 旋转和反演的复合操作A是A的转反像以上四种对称要素相应的操作中，空间中至少有一个点坚持不动。以上四种对称要素相应的操作中，空间中至少有一个点坚持不动。 对称中心OABA定定义义：由由真真转转动动和和非非真真转转动动的的各各种种组组合合都都可可坚坚持持一一个个点点原原点点的位置不动，称之点群操作，它们的集合称为点群。的位置不动，称之点群操作，它们的集合称为点群。定定义义：由由平平移移操操作作和和点点群群操操作作的的各各种种组组合合叫叫作作空空间间群群操操作作，它它们的集合称为空间群。们的集合称为空间群。留留意意：严严厉厉讲讲：空空间间群群操操作作，空空间间每每一一点点都都要要动动，因因此此，空空间间对称操作只需对无限延伸的物体才干进展。对称操作只需对无限延伸的物体才干进展。 普通采用周期性边境条件处理此类问题。普通采用周期性边境条件处理此类问题。 4.1.1 晶体点群的对称操作晶体点群的对称操作晶体具有平移对称性，因此，晶体中的点群操作遭到严厉限制。晶体中的真转动是绕某一轴正向逆时针转动某一角度。 即 =360，180，120，90，60以及它们的组合： 240，270，300。 证明 n =1,2,3,4,6A和B是 晶格常数方向上的两点阵设绕A点转动角，那么B点转到B点设绕B点转动角，那么A点转到A点AABB转动后原子点阵应重合，故 是一点阵矢量即： ，m整数由图可知： ，n=1,2,3,4,6在非真转动中的角度转动部分也是如此。 4.1.2 立方晶系的群立方晶系的群Cubic Crystal System立方晶系的群立方晶系的群T群T，Td，ThO群O，Oh1、O群Octahedron Group) 正八面体群对称元素：3个四度轴：x,y,z轴4个三度轴：oA1，oA2，oA3，oA4轴6个二度轴：oa，ob，oc，od，oe，of不变操作xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef总操作数为: 33四度轴有三个操作=9 42三度轴有二个操作=8 61二度轴有一个操作=6 不变操作 =1 共有24个真转动操作。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef1C1，不动，群元E6C 2，绕对边中点连线转动180o2-度对称xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg8C3，绕对角线转动120o 和240o 3-度对称xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg6C4，绕xyz轴转动90o 4-度对称xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdgxyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg3C2，绕xyz轴转动180o 2-度对称O群有5类，24个群元，有5个不可约表示O群有两个1-维表示，一个2-维表示，两个3-维表示。上述表示是O群的个3-维表示2、Oh群 8个全同原子位于立方体的8个顶点O群的24个真转动，加上中心反演，又有24个非真转动，因此共有48个操作。共分为10个类。1C1，不动，群元E6C2，绕对边中点连线转动180o2-度对称8C3，绕对角线转动120o 和240o 3-度对称6C4，绕xyz轴转动90o 4-度对称3C2，绕xyz轴转动180o 2-度对称 i，关于中心反演6iC2，绕对边中点连线转动180o，接着中心反演8iC3，绕对角线转动120o 和240o，接着中心反演6iC4，绕xyz轴转动90o，接着中心反演3iC 2，绕xyz轴转动180o，接着中心反演xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef3、T群Tetrahedton Group，正四面体群) A2A1A3A4与O群比，少6C4， 6C 2两种对称性1C1，不动，群元E4C3，绕对角线转动120o 3-度对称3C2，绕xyz轴转动180o 2-度对称4C23，绕对角线转动240o 3-度对称T群有4类，12个群元，有4个不可约表示T群有三个1-维表示，一个3-维表示。4、Th群 T群的12个真转动，加上中心反演，又有12个非真转动，因此共有24个操作。共分为8个类。1C1，不动，群元E4C3，绕对角线转动120o 3-度对称3C2，绕xyz轴转动180o 2-度对称4C23，绕对角线转动240o 3-度对称i，关于中心反演4iC3，绕对角线转动120o ，接着中心反演3iC2，绕xyz轴转动180o ，接着中心反演4iC23，绕对角线转动240o ，接着中心反演Th群有6个1-维表示，2个3-维表示。4、Td群 (两种原子组成的四方晶体)除T群的12个操作外。还有12个操作： 6iC2和6iC4。共24个操作，分为5个类。1C1，不动，群元E8C3，绕对角线转动120o 和240o 3-度对称 T群中4C3和4C23合并成一类3C 2，绕xyz轴转动180o 2-度对称6iC 2，绕对边中点连线转动180o ，接着中心反演 将T群中4C3和4C23合并成一类6iC4，绕对角线转动90o和270o ，接着中心反演Td群有2个1-维表示， 1个2-维表示， 2个3-维表示。5个立方体群的相互关系4.1.3 点群的符号和图示点群的符号和图示 点群的符号有两种：IS制也叫Hermann-Mauguin符号：简写IS符号，H.M符号Schoenflies熊夫利斯符号符号，简写Sch符号 留意：四度反轴 不等于四度轴加反演中心C3h六重转反轴六重轴加垂直于它的对称面 S4四重转反轴 C3i三重转反轴三重轴加对称中心 S2 = CS同对称面 二重转反轴垂直于轴的对称面 Ci=S11无 一重转反轴对称中心 C66六重旋转轴 C44 四重旋转轴 C33 三重旋转轴 C22 二重旋转轴 C11无 一重旋转轴 CS=S2 m直线或圆圈 对称面 Ci=S1 1无 对称中心 Sch.I.S 图示标志 对称要素 晶体具有的对称操作：Cn：绕晶体主轴作 角度的转动，n1，2，3，4，6Dn ：具有Cn的对称晶体，同时存在n根与主轴垂直的2-度轴， n2，3，4，6Cnh：具有Cn的对称晶体，同时具有一个与主轴垂直的程度面作为反射镜面，n1，2，3，4，6，n为偶数时， Cnh还具有反演操作Cnv：具有Cn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射镜面，n2，3，4，6Sn ：具有n重非正当转动的对称晶体， n2，3，6 n3时， S3 C3h晶体具有的对称操作：Dnh：具有Dn的对称晶体，同时具有一个程度面反射镜面， n2，3，4，6Cnv：具有Dn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射镜面， n2，3立方晶系5种点群：T，Td，Th，O，Oh立方系晶体和六方系晶体等能够具有的最多操作可以查表。普通，对称性较低的晶体具有的对称操作要少一些。晶体能够具有的点群操作可构成一个群晶体的点群，它决议晶体的宏观对称性。 可以证明：独立的点操作对称要素有： IS1，2，3，4，6，I，m， 这8个点对称要素共有32种组合见书。相应地，每种组合的操作构成一个点群，因此，共有32个点群。例如：不能够有垂直于三重轴或六重轴的四垂轴由于垂直于四重轴的三重轴或六重轴都将“破坏四重轴的对称性 32个晶体点群个晶体点群32个晶体点群不可约表示的特征标表个晶体点群不可约表示的特征标表三斜晶系：单斜晶系：正交晶系：四角晶系：六角晶系：立方晶系：4.1.4 晶格对称性对固体性质的影响晶格对称性对固体性质的影响各向同性物体中：物理性质与空间方向无关，可用一标量来描画，如电导率，介电常数，极化系数等晶体中：物理性质量通常是各向异性的，普通用二阶张量来描画，如电导率张量不同固体的电导率相差很大，其缘由是与晶格的对称性有关。abc长方晶体：以x，y，z为基矢的表示矩阵为电导率张量在对称操作的作用下，有关系式：对称操作对称操作其他操作作用无改动 长方晶体电导率的普通方式，阐明长方晶体电导率在x，y，z三个方向上数值是不相等的。如晶体为四方晶体:四方晶体的物理性张量只需两个独立量，一个代表横向的，另一个代表纵向的。如晶体为立方晶体:立方晶体的物理性质量可用一个标量来表示。