1.3 常见特殊矩阵常见特殊矩阵1. 上三角矩阵上三角矩阵2. 初等变换矩阵初等变换矩阵3. 对称矩阵对称矩阵4. 正交矩阵正交矩阵5. 内积空间内积空间1我们尽量采用如下记号：我们尽量采用如下记号：用大写英文字母表示矩阵，如用大写英文字母表示矩阵，如A,B,用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如a11,b2n,用小写英文字母表示向量，如用小写英文字母表示向量，如x,y,z,用小写希腊字母表示标量，如用小写希腊字母表示标量，如a,b,l,ma,b,l,m,21. 上三角矩阵上三角矩阵In表示表示n阶阶单位矩阵单位矩阵(identity matrix of order n)；ei表示表示In的第的第i列；列；对角矩阵对角矩阵(diagonal matrix)：A=diag(a11,a22,ann)上三角矩阵上三角矩阵(upper triangular matrix)下三角矩阵下三角矩阵(lower triangular matrix)上上(下下)三角矩阵的特征值就是对角元；三角矩阵的特征值就是对角元；上上(下下)三角矩阵的逆矩阵仍然是上三角矩阵的逆矩阵仍然是上(下下)三角矩阵；三角矩阵；分块分块(block)对角矩阵：对角矩阵：A=diag(A11,A22,Akk)；分块分块(block)上上(下下)三角矩阵；三角矩阵；分块上分块上(下下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征值的并集，其逆矩阵仍然是分块上值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下下)三角矩阵。三角矩阵。32. 初等变换矩阵初等变换矩阵第一类：第一类：A1=diag(1,1,a,1,1)；第二类：第二类：A2=I+beiejT；第三类：第三类：A3=e1,ei-1,ej,ei+1,ej-1,ei,ej+1,en；左行右列左行右列A1-1=diag(1,1,1/a,1,1)；A2-1=I-beiejT； A3-1=A3。分块形式初等变换矩阵。分块形式初等变换矩阵。例例1 设设ACmn，BCnm ，证明：，证明：AB和和BA的非的非零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有det(Im+AB)=det(In+BA)。43. 对称矩阵对称矩阵(a) 实对称矩阵和复实对称矩阵和复Hermite矩阵矩阵设设ARnn，如果满足，如果满足A=AT，则称，则称A为为对称矩阵对称矩阵(symmetric matrix)。记做。记做ASRnn。对称矩阵的特征值都是对称矩阵的特征值都是实数实数。设设ARnn，如果满足，如果满足A=-AT，则称，则称A为为反对称矩阵反对称矩阵(skew-symmetric matrix)。反对称矩阵的特征值只能是反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或纯虚数或0。设设ACnn，如果满足，如果满足A=A*，则称，则称A为为Hermite 矩矩阵阵(Hermitian matrix)；如果满足；如果满足A=-A*，则称，则称A为为反反Hermite 矩阵矩阵(skew-Hermitian matrix)。5(b) 正定矩阵正定矩阵设设ASRnn，如果对任意，如果对任意xRn都有都有xTAx0，则称，则称A为为对称正定对称正定 (symmetric positive definite)矩阵矩阵。对称正定矩阵的特征值都是对称正定矩阵的特征值都是正数正数。下列条件都等价：下列条件都等价：1. A是正定矩阵；是正定矩阵；2. A的所有顺序主子式都大于的所有顺序主子式都大于0；3. 存在非奇异矩阵存在非奇异矩阵C，使得，使得A=CCT；把正定矩阵定义中的把正定矩阵定义中的xTAx0改成改成xTAx0，则称，则称A是是负定负定 (negative definite)矩阵矩阵。记做。记做A0。4. A对称，且所有特征值都是正数。对称，且所有特征值都是正数。6设设ASRnn，如果对任意，如果对任意xRn有有xTAx()0，则，则称称A为为半正半正(负负)定定 (semi positive/negative definite)矩阵矩阵，记做，记做A()0。对称半正定矩阵的特征值都对称半正定矩阵的特征值都大于等于大于等于0。下列条件都等价：下列条件都等价：1. A是半正定矩阵；是半正定矩阵；2. A的所有顺序主子式都大于等于的所有顺序主子式都大于等于0；3. 存在矩阵存在矩阵C，使得，使得A=CCT；设设A是复是复Hermite矩阵，如果对任意矩阵，如果对任意xCn都有都有x*Ax(,)0，则称，则称A为为正定正定(负定，半正定，半负定，半正定，半负定负定)矩阵矩阵。4. A对称，且所有特征值都非负。对称，且所有特征值都非负。74. 正交矩阵正交矩阵设设QRnn，如果，如果QTQ=QQT=I，则称，则称Q为为正交正交 (orthogonal)矩阵矩阵。正交矩阵一定可逆，且正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。设设Q1,Q2是正交矩阵，则是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也也都是正交矩阵。都是正交矩阵。1. Givens变换：变换：可以通过一系列的可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变变换把任意非零向量变成成e1的倍数。的倍数。82. Householder变换：变换：任给单位向量任给单位向量u，定义，定义H=I-2uuT，则，则H被称为被称为Householder矩阵。矩阵。对任意非零向量对任意非零向量x，y，总可以找到一个，总可以找到一个Householder矩阵矩阵H，使得，使得Hx=a ay。H满足：满足：HT=H，H2=I，det(H)=-1。特别的可以取特别的可以取y=e1。设设UCnn，如果满足，如果满足U*U=UU*=I，则称，则称U为为酉酉(unitary)矩阵矩阵。酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。95. 内积空间内积空间(欧式空间欧式空间)设设V是实数域是实数域R上的线性空间。如果对于上的线性空间。如果对于V中任意中任意两个向量两个向量x,y，可以定义一个二元运算，可以定义一个二元运算，并且，并且满足：满足：1. 交换性交换性 =；2. 分配律分配律 =+；3. 齐次性齐次性 =k，kR；4. 非负性非负性 0，且等号只有当，且等号只有当x=0时才成立。时才成立。则称这个二元运算是则称这个二元运算是内积内积，V称为称为Euclid空间空间，或，或欧式空间，或内积空间。欧式空间，或内积空间。上述定义可以推广到复数域上述定义可以推广到复数域C上。上。101. V=Rn，=xTy；2. V=Cn，=x*y；3. V=Cn，=xTy； 不是内积不是内积 4. V=Rnn，=tr(ABT)； 5. V=Ca,b， ； 6. V=Rn，A0， =xTAy；在欧式空间中，称非负实数在欧式空间中，称非负实数 为为x的的长度长度(模、范数模、范数)，记为，记为|x|。1. |kx|=|k| |x|；2. |x+y|=|x|+|y|；3. |x| |y|。11