金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 要点梳理要点梳理1.1.两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 （1 1）两条直线平行）两条直线平行 对于两条不重合的直线对于两条不重合的直线l l1 1, ,l l2 2，其斜率分别为，其斜率分别为 k k1 1, ,k k2 2, ,则有则有l l1 1l l2 2 . .特别地，当直线特别地，当直线l l1 1、 l l2 2的斜率都不存在时，的斜率都不存在时，l l1 1与与l l2 2 . .9.2 9.2 两条直线的位置关系两条直线的位置关系k k1 1= =k k2 2平行平行基础知识基础知识 自主学习自主学习金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com (2) (2)两条直线垂直两条直线垂直 如果两条直线如果两条直线l l1 1, ,l l2 2斜率存在斜率存在, ,设为设为k k1 1, ,k k2 2, ,则则l l1 1l l2 2k k1 1k k2 2=-1=-1，当一条直线斜率为零，另一条，当一条直线斜率为零，另一条直线斜直线斜 率不存在时，两直线垂直率不存在时，两直线垂直. .2.2.两直线相交两直线相交 交点：直线交点：直线l l1 1: :A A1 1x x+ +B B1 1y y+ +C C1 1=0=0和和l l2 2: :A A2 2x x+ +B B2 2y y+ +C C2 2=0=0的的 公共点的坐标与方程组公共点的坐标与方程组 的解一一对应的解一一对应. . 相交相交方程组有方程组有 ，交点坐标就是方程组，交点坐标就是方程组 的解；的解； 平行平行方程组方程组 ； 重合重合方程组有方程组有 . .唯一解唯一解无解无解无数个解无数个解金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 3.3.三种距离公式三种距离公式 （1 1）点）点A A（x x1 1，y y1 1）、）、B B（x x2 2，y y2 2）间的距离）间的距离: : | |ABAB|=|= . . （2 2）点）点P P（x x0 0，y y0 0）到直线）到直线l l：AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0的距离的距离: : d d= = . . （3 3）两平行直线）两平行直线l l1 1：AxAx+ +ByBy+ +C C1 1=0=0与与l l2 2：AxAx+ +ByBy+ +C C2 2=0=0 （C C1 1C C2 2）间的距离为）间的距离为d d= = . .金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 基础自测基础自测1.1.（20082008全国全国文，文，3 3）原点到直线原点到直线x x+2+2y y-5=0-5=0的的 距离为距离为 （ ） A.1 B. C.2 D.A.1 B. C.2 D. 解析解析 D金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 2.2.（20082008福建文，福建文，2 2）“a a=1”=1”是是“直线直线x x+ +y y=0=0和和 直线直线x x- -ayay=0=0互相垂直互相垂直”的的 （ ） A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 当当a a=1=1时时, ,直线直线x x+ +y y=0=0与直线与直线x x- -y y=0=0垂直成立；垂直成立； 当直线当直线x x+ +y y=0=0与直线与直线x x- -ayay=0=0垂直时，垂直时，a a=1.=1. 所以所以“a a=1”=1”是是“直线直线x x+ +y y=0=0与直线与直线x x- -ayay=0=0互相互相 垂直垂直”的充要条件的充要条件. .C金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 3.3.一条平行于一条平行于x x轴的线段长是轴的线段长是5 5个单位，它的一个个单位，它的一个 端点是端点是A A（2 2，1 1），则它的另一个端点），则它的另一个端点B B的坐标的坐标 是是 （ ） A.A.（-3-3，1 1）或（）或（7 7，1 1） B.B.（2 2，-3-3）或（）或（2 2，7 7） C.C.（-3-3，1 1）或（）或（5 5，1 1） D.D.（2 2，-3-3）或（）或（2 2，5 5） 解析解析 设设B B（x x，1 1），则由），则由| |ABAB|=5|=5， 得（得（x x-2-2）2 2=25=25， x x=7=7或或x x=-3.=-3. B B点坐标为（点坐标为（7 7，1 1）或（）或（-3-3，1 1）. .A金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 4.4.已知直线已知直线l l的倾斜角为的倾斜角为 ，直线，直线l l1 1经过点经过点 A A（3 3，2 2）、）、B B（a a，-1-1），且），且l l1 1与与l l垂直，直垂直，直 线线l l2 2:2:2x x+ +byby+1=0+1=0与直线与直线l l1 1平行，则平行，则a a+ +b b等于等于 （ ） A.-4 B.-2 C.0 D.2A.-4 B.-2 C.0 D.2 解析解析 l l的斜率为的斜率为-1-1，则，则l l1 1的斜率为的斜率为1,1, k kABAB= =1,= =1,a a=0.=0. 由由l l1 1l l2 2, , b b=-2,=-2,所以所以a a+ +b b=-2.=-2.B金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 5.5.已知已知l l1 1的倾斜角为的倾斜角为4545，l l2 2经过点经过点P P（-2-2，-1-1），）， Q Q（3 3，m m），若），若l l1 1l l2 2，则实数，则实数m m= = . . 解析解析 由已知得由已知得l l1 1的斜率的斜率k k1 1=1,=1,l l2 2的斜率的斜率k k2 2= .= . l l1 1l l2 2，k k1 1k k2 2=-1.=-1. -6-6金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 题型一题型一 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直【例例1 1】已知点已知点MM（2 2，2 2），），N N（5 5，-2-2），点），点P P在在x x轴上，分别求满足下列条件的轴上，分别求满足下列条件的P P点坐标点坐标. .（1 1）MOPMOP=OPNOPN （O O是坐标原点）；是坐标原点）；（2 2）MPNMPN是直角是直角. . MOPMOP=OPNOPNOMOMPNPN，MPNMPN是是直角直角MPMPNPNP，故而可利用两直线平行和垂直，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得的条件求得. .思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 解解 设设P P（x x，0 0），），（1 1）MOPMOP=OPNOPN，OMOMNPNP. .k kOMOM= =k kNPNP. .又又k kOMOM= =1= =1， x x=7=7，即，即P P（7 7，0 0）. .（2 2）MPNMPN=90=90，MPMPNPNP，k kMPMPk kNPNP=-1.=-1.又又k kMPMP= = （x x22），），k kNPNP= = （x x55），）， =-1=-1，解得，解得x x=1=1或或x x=6,=6,即即P P（1 1，0 0）或（）或（6 6，0 0）. .金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 探究提高探究提高 （1 1）充分掌握两直线平行与垂直的条）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线的两条直线l l1 1和和l l2 2, ,l l1 1l l2 2 k k1 1= =k k2 2, ,l l1 1l l2 2 k k1 1k k2 2= =-1.-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意线的斜率是多少一定要特别注意. .（2 2）注意转化与化归思想的应用）注意转化与化归思想的应用. .金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 知能迁移知能迁移1 1 已知已知A A（0 0，3 3）、）、B B（-1-1，0 0）、）、C C（3 3，0 0），求），求D D点的坐标，使四边形点的坐标，使四边形ABCDABCD为直角梯形为直角梯形（A A、B B、C C、D D按逆时针方向排列）按逆时针方向排列）. .解解 设所求点设所求点D D的坐标为（的坐标为（x x，y y），），如图所示，由于如图所示，由于k kABAB=3=3，k kBCBC=0=0，k kABABk kBCBC=0-1=0-1，即即ABAB与与BCBC不垂直，故不垂直，故ABAB、BCBC都都不可作为直角梯形的直角边不可作为直角梯形的直角边. .金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com （1 1）若）若CDCD是直角梯形的直角边，则是直角梯形的直角边，则BCBCCDCD，ADADCDCD，k kBCBC=0=0，CDCD的斜率不存在，从而有的斜率不存在，从而有x x=3.=3.又又k kADAD= =k kBCBC， =0=0，即，即y y=3.=3.此时此时ABAB与与CDCD不平行不平行. .故所求点故所求点D D的坐标为（的坐标为（3 3，3 3）. .（2 2）若）若ADAD是直角梯形的直角边，是直角梯形的直角边，则则ADADABAB，ADADCDCD，k kADAD= = ，k kCDCD= .= .由于由于ADADABAB， 3=-1.3=-1.又又ABABCDCD， =3.=3.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 解上述两式可得解上述两式可得 此时此时ADAD与与BCBC不平行不平行. .故所求点故所求点D D的坐标为的坐标为综上可知，使综上可知，使ABCDABCD为直角梯形的点为直角梯形的点D D的坐标可的坐标可以为（以为（3 3，3 3）或）或金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 题型二题型二 两直线的交点两直线的交点【例例2 2】求经过直线求经过直线l l1 1:3:3x x+2+2y y-1=0-1=0和和l l2 2:5:5x x+2+2y y+1=0+1=0的的交点，且垂直于直线交点，且垂直于直线l l3 3:3:3x x-5-5y y+6=0+6=0的直线的直线l l的方程的方程. . 可先求出可先求出l l1 1与与l l2 2的交点，再用点斜式；的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解也可利用直线系方程求解. .解解 方法一方法一 先解方程组先解方程组得得l l1 1、l l2 2的交点（的交点（-1-1，2 2），），再由再由l l3 3的斜率的斜率 求出求出l l的斜率为的斜率为- - ，于是由直线的点斜式方程求出于是由直线的点斜式方程求出l l: : 即即5 5x x+3+3y y-1=0.-1=0.思维启迪思维启迪金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 方法二方法二 由于由于l ll l3 3，故，故l l是直线系是直线系5 5x x+3+3y y+ +C C=0=0中的中的一条，而一条，而l l过过l l1 1、l l2 2的交点（的交点（-1-1，2 2），），故故55（-1-1）+32+32+C C=0=0，由此求出，由此求出C C=-1=-1，故故l l的方程为的方程为5 5x x+3+3y y-1=0.-1=0.方法三方法三 由于由于l l过过l l1 1、l l2 2的交点，故的交点，故l l是直线系是直线系3 3x x+2+2y y-1+ -1+ （5 5x x+2+2y y+1+1）=0=0中的一条，中的一条，将其整理，得将其整理，得（3+5 3+5 ）x x+ +（2+2 2+2 ）y y+ +（-1+ -1+ ）=0.=0.其斜率其斜率 解得解得 = = ，代入直线系方程即得代入直线系方程即得l l的方程为的方程为5 5x x+3+3y y-1=0.-1=0.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 探究提高探究提高 运用直线系方程，有时会给解题带来运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：方便，常见的直线系方程有：（1 1）与直线）与直线AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0平行的直线系方程是：平行的直线系方程是：AxAx+ +ByBy+ +m m=0 =0 （m mR R且且m mC C）（2 2）与直线）与直线AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是BxBx- -AyAy+ +m m=0 =0 （m mR R）（3 3）过直线）过直线l l1 1：A A1 1x x+ +B B1 1y y+ +C C1 1=0=0与与l l2 2: :A A2 2x x+ +B B2 2y y+ +C C2 2=0=0的交点的直线系方程为的交点的直线系方程为A A1 1x x+ +B B1 1y y+ +C C1 1+ + （A A2 2x x+ +B B2 2y y+ +C C2 2）=0 =0 （ R R），但不包括），但不包括l l2 2. .金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 知能迁移知能迁移2 2 过点过点P P（3 3，0 0）作一直线）作一直线l l，使它被两，使它被两直线直线l l1 1:2:2x x- -y y-2=0-2=0和和l l2 2: :x x+ +y y+3=0+3=0所截的线段所截的线段ABAB以以P P为为中点，求此直线中点，求此直线l l的方程的方程. .解解 方法一方法一 当当l l x x轴轴时时，方程为x x=3=3，此时，此时A A（3 3，4 4），），B B（3,-63,-6）. .线段线段ABAB的中点为（的中点为（3,-13,-1）不合题意，当不合题意，当l l不垂直于不垂直于x x轴时轴时，设直线设直线l l的方程为的方程为y y= =k k( (x x-3)-3),将此方程分别与将此方程分别与l l1 1, ,l l2 2的方程联立，的方程联立，金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 将此方程分别与将此方程分别与l l1 1, ,l l2 2的方程联立，的方程联立，解之，得解之，得x xA A= = 和和x xB B= =P P（3 3，0 0）是线段）是线段ABAB的中点，的中点，x xA A+ +x xB B=6=6，即即 解得解得k k=8.=8.故所求的直线故所求的直线l l为为y y=8(=8(x x-3),-3),即即8 8x x- -y y-24=0.-24=0.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 方法二方法二 设设l l1 1上的点上的点A A的坐标为（的坐标为（x x1 1, ,y y1 1）, ,P P（3 3，0 0）是线段）是线段ABAB的中点，的中点，则则l l2 2上的点上的点B B的坐标为（的坐标为（6-6-x x1 1,-,-y y1 1）, ,解这个方程组，得解这个方程组，得点点A A的坐标为的坐标为由两点式可得由两点式可得l l的方程为的方程为8 8x x- -y y-24=0.-24=0.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 题型三题型三 距离公式的应用距离公式的应用【例例3 3】已知点已知点P P（2 2，-1-1）. .（1 1）求过）求过P P点且与原点距离为点且与原点距离为2 2的直线的直线l l的方程；的方程；（2 2）求过）求过P P点且与原点距离最大的直线点且与原点距离最大的直线l l的方程，的方程， 最大距离是多少？最大距离是多少？（3 3）是否存在过）是否存在过P P点且与原点距离为点且与原点距离为6 6的直线？的直线？ 若存在，求出方程；若不存在，请说明理由若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. . 思维启迪思维启迪金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 解解（1 1）过）过P P点的直线点的直线l l与原点距离为与原点距离为2 2，而，而P P点坐标点坐标为（为（2 2，-1-1），可见，过），可见，过P P（2 2，-1-1）且垂直于）且垂直于x x轴轴的直线满足条件的直线满足条件. .此时此时l l的斜率不存在，其方程为的斜率不存在，其方程为x x=2.=2.若斜率存在，设若斜率存在，设l l的方程为的方程为y y+1=+1=k k( (x x-2),-2),即即kxkx- -y y-2-2k k-1=0.-1=0.由已知，得由已知，得 =2=2，解得，解得k k= .= .此时此时l l的方程为的方程为3 3x x-4-4y y-10=0.-10=0.综上，可得直线综上，可得直线l l的方程为的方程为x x=2=2或或3 3x x-4-4y y-10=0.-10=0.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com （2 2）作图可得过）作图可得过P P点与原点点与原点O O距离最大的直线是距离最大的直线是过过P P点且与点且与POPO垂直的直线，垂直的直线，由由l lOPOP，得，得k kl lk kOPOP=-1=-1，所以，所以由直线方程的点斜式得由直线方程的点斜式得y y+1=2(+1=2(x x-2),-2),即即2 2x x- -y y-5=0.-5=0.即直线即直线2 2x x- -y y-5=0-5=0是过是过P P点且与原点点且与原点O O距离最大的距离最大的直线，最大距离为直线，最大距离为（3 3）由（）由（2 2）可知，过）可知，过P P点不存在到原点距离超点不存在到原点距离超过过 的直线，因此不存在过的直线，因此不存在过P P点且到原点距离点且到原点距离为为6 6的直线的直线. .金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 探究提高探究提高 （1 1）注意讨论斜率不存在的情况）注意讨论斜率不存在的情况. .（2 2）数形结合是解决解析几何问题特别要注意）数形结合是解决解析几何问题特别要注意的一种思想方法的一种思想方法. .知能迁移知能迁移3 3 已知三条直线已知三条直线l l1 1：2 2x x- -y y+ +a a=0=0（a a0 0）, ,直线直线l l2 2:4:4x x-2-2y y-1=0-1=0和直线和直线l l3 3: :x x+ +y y-1=0,-1=0,且且l l1 1与与l l2 2的距离的距离是是 . .(1)(1)求求a a的值的值; ;(2)(2)能否找到一点能否找到一点P P，使得，使得P P点同时满足下列三个点同时满足下列三个条件条件: :P P是第一象限的点是第一象限的点;P P点到点到l l1 1的距离是的距离是P P点到点到l l2 2的的距离的距离的 ;P P点到点到l l1 1的距离与的距离与P P点到点到l l3 3的距离之比的距离之比是是 . .若能若能, ,求求P P点坐标点坐标; ;若不能若不能, ,说明理由说明理由. .金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 解解 (1)(1)l l2 2即为即为2 2x x- -y y- =0,- =0,l l1 1与与l l2 2的距离的距离a a0,0,a a=3.=3.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com (2)(2)假设存在这样的假设存在这样的P P点点. .设点设点P P( (x x0 0, ,y y0 0),),若若P P点满足条件点满足条件, ,则则P P点在与点在与l l1 1、l l2 2平行的直线平行的直线l l：2 2x x- -y y+ +C C=0=0上，上，且且 即即C C= = 或或C C= = ，若若P P点满足条件点满足条件，由点到直线的距离公式，由点到直线的距离公式金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 即即|2|2x x0 0- -y y0 0+3|=|+3|=|x x0 0+ +y y0 0-1|-1|，x x0 0-2-2y y0 0+4=0+4=0或或3 3x x0 0+2=0+2=0；由于由于P P点在第一象限，点在第一象限，3 3x x0 0+2=0+2=0不满足题意不满足题意. .联立方程联立方程联立方程联立方程假设成立，假设成立，P P 即为同时满足三个条件的点即为同时满足三个条件的点. .金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 题型四题型四 对称问题对称问题【例例4 4】（1212分）求直线分）求直线l l1 1: :y y=2=2x x+3+3关于直线关于直线l l: :y y= =x x+1+1对对称的直线称的直线l l2 2的方程的方程. . 转化为点关于直线的对称，利用方程转化为点关于直线的对称，利用方程组求解组求解. . 解题示范解题示范解解 方法一方法一 由由知直线知直线l l1 1与与l l的交点坐标为（的交点坐标为（-2-2，-1-1），）， 2 2分分设直线设直线l l2 2的方程为的方程为y y+1=+1=k k( (x x+2),+2),即即kxkx- -y y+2+2k k-1=0. 3-1=0. 3分分在直线在直线l l上任取一点（上任取一点（1 1，2 2），），思维启迪思维启迪金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 由题设知点（由题设知点（1 1，2 2）到直线）到直线l l1 1、l l2 2的距离相等，的距离相等， 5 5分分由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 8 8分分解得解得k k= (= (k k=2=2舍去舍去) )， 10 10 分分直线直线l l2 2的方程为的方程为x x-2-2y y=0. 12=0. 12分分方法二方法二 设所求直线上一点设所求直线上一点P P（x x, ,y y）, ,则在直线则在直线l l1 1上必存在一点上必存在一点P P1 1（x x0 0, ,y y0 0）与点）与点P P关于关于直线直线l l对称对称. .由题设：直线由题设：直线PPPP1 1与直线与直线l l垂直，且线段垂直，且线段PPPP1 1的中点的中点 在直线在直线l l上上. 6. 6分分金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 变形得变形得 8 8分分代入直线代入直线l l1 1: :y y=2=2x x+3+3，得，得x x+1=2(+1=2(y y-1)+3, 10-1)+3, 10分分整理得整理得x x-2-2y y=0.=0.所以所求直线方程为所以所求直线方程为x x-2-2y y=0. 12=0. 12分分金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 探究提高探究提高 对对称问题是解析几何中的一个重要题称问题是解析几何中的一个重要题型，是高考热点之一型，是高考热点之一. .两条曲线关于一条直线对两条曲线关于一条直线对称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决. .求求点点P P（x x0 0, ,y y0 0）关于直线）关于直线l l: :AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0的对称点的对称点Q Q（x x1 1, ,y y1 1）的坐标，可利用）的坐标，可利用PQPQl l及线段及线段PQPQ被被l l平分这两个条件建立方程组求解平分这两个条件建立方程组求解, ,本题方法二就本题方法二就是利用这种方法结合是利用这种方法结合“代入法代入法”求轨迹方程的求轨迹方程的思想方法解题，这是解这类问题的一个通法思想方法解题，这是解这类问题的一个通法. .金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 知能迁移知能迁移4 4 光线沿直线光线沿直线l l1 1: :x x-2-2y y+5=0+5=0射入，遇直射入，遇直 线线l l:3:3x x-2-2y y+7=0+7=0后反射，求反射光线所在的直线后反射，求反射光线所在的直线 方程方程. . 解解 方法一方法一 由由 得得 反射点反射点MM的坐标为（的坐标为（-1,2-1,2）. . 又取直线又取直线x x-2-2y y+5=0+5=0上一点上一点P P（-5-5，0 0），设），设P P关关 于直线于直线l l的对称点的对称点P P(x x0 0, ,y y0 0) )，由，由PPPPl l可可 知知, ,k kPPPP=- =- = 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 而而PPPP的中点的中点Q Q的坐标为的坐标为Q Q点在点在l l上，上，3 -2 +7=0.3 -2 +7=0.由由根据直线的两点式方程可得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线所求反射光线所在直线的方程为的方程为2929x x-2-2y y+33=0.+33=0.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 方法二方法二 设直线设直线x x-2-2y y+5=0+5=0上任意一点上任意一点P P（x x0 0, ,y y0 0）关于）关于直线直线l l的对称点为的对称点为P P(x x, ,y y),),则则 又又PPPP的中点的中点 在在l l上，上， 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 可得可得P P点的坐标为点的坐标为代入方程代入方程x x-2-2y y+5=0+5=0中，化简得中，化简得2929x x-2-2y y+33=0,+33=0,所以所求反射光线所在的直线方程为所以所求反射光线所在的直线方程为2929x x-2-2y y+33=0.+33=0.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 方法与技巧方法与技巧1.1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合. .对对 于斜率于斜率都存在且不重合的两条直线都存在且不重合的两条直线l l1 1、l l2 2，l l1 1l l2 2k k1 1= =k k2 2；l l1 1l l2 2 k k1 1k k2 2=-1.=-1.若有一条直线的斜率不若有一条直线的斜率不 存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别 注意注意. .2.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点 的对称的对称. .利用坐标转移法利用坐标转移法. .失误与防范失误与防范 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线 的斜率是否存在的斜率是否存在. .两条直线都有斜率，可根据判两条直线都有斜率，可根据判 定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 一、选择题一、选择题1.1.若点（若点（5 5，b b）在两条平行直线）在两条平行直线6 6x x-8-8y y+1=0+1=0与与 3 3x x-4-4y y+5=0+5=0之间，则整数之间，则整数b b的值为的值为 （ ） A.5 B.-5 C.4 D.-4A.5 B.-5 C.4 D.-4 解析解析 把把x x=5=5代入代入6 6x x-8-8y y+1=0+1=0得得y y= = ， 把把x x=5=5代入代入3 3x x-4-4y y+5=0+5=0得得y y=5, =5, b b5.5. 又又b b为整数，为整数，b b=4.=4.定时检测定时检测C金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 2.2.光线自点光线自点MM（2 2，3 3）射到）射到N N（1 1，0 0）后被）后被x x轴反射，轴反射，则反射光线所在的直线方程为则反射光线所在的直线方程为 （ ） A.A.y y=3=3x x-3 B.-3 B.y y=-3=-3x x+3+3 C. C.y y=-3=-3x x-3 D.-3 D.y y=3=3x x+3+3 解析解析 点点MM关于关于x x轴的对称点轴的对称点MM(2,-3)(2,-3)，则反，则反 射光线即在直线射光线即在直线NMNM上，上， y y=-3=-3x x+3.+3.B金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 3.3.若曲线若曲线y y= =x x4 4的一条切线的一条切线l l与直线与直线x x+4+4y y-8=0-8=0垂直，垂直， 则则l l的方程为的方程为 （ ） A.4A.4x x- -y y-3=0 B.-3=0 B.x x+4+4y y-5=0-5=0 C.4 C.4x x- -y y+3=0 D.+3=0 D.x x+4+4y y+3=0+3=0 解析解析 令令y y=4=4x x3 3=4,=4,得得x x=1,=1,切点为（切点为（1 1，1 1），）， l l的斜率为的斜率为4.4.故故l l的方程为的方程为y y-1=4(-1=4(x x-1)-1)，即，即4 4x x- -y y-3=0.-3=0.A金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 4.4.光线沿直线光线沿直线y y=2=2x x+1+1射到直线射到直线y y= =x x上上, ,被被y y= =x x反射后的反射后的 光线所在的直线方程为光线所在的直线方程为 （ ） A. B.A. B. C. D. C. D. 解析解析 由由 即直线过点即直线过点 （-1-1，-1-1）. . 又直线又直线y y=2=2x x+1+1上一点（上一点（0 0，1 1）关于直线）关于直线y y= =x x对称对称 的点（的点（1 1，0 0）在所求直线上，）在所求直线上， 所求直线方程为所求直线方程为B金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 5.5.已知直线已知直线l l过点过点P P(3,4)(3,4)且与点且与点A A（-2,2-2,2）, ,B B(4,-2)(4,-2) 等距离等距离, ,则直线则直线l l的方程为的方程为 （ ） A.2A.2x x+3+3y y-18=0-18=0 B.2 B.2x x- -y y-2=0-2=0 C.3 C.3x x-2-2y y+18=0+18=0或或x x+2+2y y+2=0+2=0 D.2 D.2x x+3+3y y-18=0-18=0或或2 2x x- -y y-2=0-2=0 解析解析 设所求直线方程为设所求直线方程为y y-4=-4=k k( (x x-3),-3), 即即kxkx- -y y+4-3+4-3k k=0,=0, 由已知，得由已知，得 k k=2=2或或k k=- .=- . 所求直线所求直线l l的方程为的方程为2 2x x- -y y-2=0-2=0或或2 2x x+3+3y y-18=0.-18=0.D金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 6.6.已知直线已知直线l l1 1, ,l l2 2的方程分别为的方程分别为 x x+ +ayay+ +b b=0,=0,x x+ +cycy+ +d d=0=0， 其图象如图所示，则有其图象如图所示，则有 （ ） A.A.acac0 B.0 B.a ac c C. C.bdbd0 D.0 D.b bd d 解析解析 直线方程化为直线方程化为 l l1 1：y y=- =- x x- - ，l l2 2：y y=- =- x x- .- . 由图象知，由图象知，- - - - 0,- 0,- 0 0- ,- , a ac c0,0,b b0,0,d d 0.0.C金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 二、填空题二、填空题7.7.过点过点A A（2 2，-3-3），且与向量），且与向量m m= =（4 4，-3-3）垂直的）垂直的 直线方程是直线方程是 . . 解析解析 与向量平行的直线斜率为与向量平行的直线斜率为- - ，则与其，则与其 垂直的直线斜率为垂直的直线斜率为 .直线方程为直线方程为 y y+3= (+3= (x x-2),-2),即即4 4x x-3-3y y-17=0.-17=0.4 4x x-3-3y y-17=0-17=0金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 8.8.已知直线已知直线l l1 1: :x x+ +ayay+6=0+6=0和和l l2 2:(:(a a-2)-2)x x+3+3y y+2+2a a=0,=0,则则 l l1 1l l2 2的充要条件是的充要条件是a a= = . . 解析解析-1-1得得a a=-1.=-1.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 9.9.从点（从点（2 2，3 3）射出的光线沿与直线）射出的光线沿与直线x x-2-2y y=0=0平行的平行的 直线射到直线射到y y轴上，则经轴上，则经y y轴反射的光线所在的直线轴反射的光线所在的直线 方程为方程为 . . 解析解析 由题意得，射出的光线方程为由题意得，射出的光线方程为y y-3=-3= 即即x x-2-2y y+4=0+4=0，与，与y y轴交点为（轴交点为（0 0，2 2），）， 又（又（2 2，3 3）关于）关于y y轴对称点为（轴对称点为（-2-2，3 3），）， 反射光线所在直线过（反射光线所在直线过（0 0，2 2），（），（-2-2，3 3），）， 故方程为故方程为 即即x x+2+2y y-4=0.-4=0.x x+2+2y y-4=0-4=0金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 三、解答题三、解答题10.10.已知直线已知直线l l的方程为的方程为3 3x x+4+4y y-12=0-12=0，求满足下列条，求满足下列条 件的直线件的直线l l的方程的方程. .（1 1）l l与与l l平行且过点（平行且过点（-1-1，3 3）；）；（2 2）l l与与l l垂直且垂直且l l与两坐标轴围成的三角形面与两坐标轴围成的三角形面 积为积为4 4；（3 3）l l是是l l绕原点旋转绕原点旋转180180而得到的直线而得到的直线. . 解解（1 1）直线）直线l l:3:3x x+4+4y y-12=0-12=0，k kl l=- =- ， 又又l ll l,k kl l= =k kl l=- .=- . 直线直线l l:y y=- (=- (x x+1)+3,+1)+3, 即即3 3x x+4+4y y-9=0.-9=0.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com （2 2）l ll l,k kl l= .= .设设l l与与x x轴截距为轴截距为b b, ,则则l l与与y y轴截距为轴截距为 b b, ,由题意可知，由题意可知，S S= |= |b b| =4| =4，b b= .= .直线直线l l:（3 3）l l是是l l绕原点旋转绕原点旋转180180而得到的直线，而得到的直线，l l与与l l关于原点对称关于原点对称. .任取点（任取点（x x0 0, ,y y0 0）在）在l l上，则在上，则在l l上对称点为（上对称点为（x x, ,y y）. .x x=-=-x x0 0，y y=-=-y y0 0, ,则则-3-3x x-4-4y y-12=0.-12=0.l l为为3 3x x+4+4y y+12=0.+12=0.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 11.11.已知两直线已知两直线l l1 1: :axax- -byby+4=0,+4=0,l l2 2:(:(a a-1)-1)x x+ +y y+ +b b=0.=0. 求分别满足下列条件的求分别满足下列条件的a a, ,b b的值的值. .（1 1）直线）直线l l1 1过点（过点（-3-3，-1-1），并且直线），并且直线l l1 1与与l l2 2垂直；垂直；（2 2）直线）直线l l1 1与直线与直线l l2 2平行，并且坐标原点到平行，并且坐标原点到l l1 1, ,l l2 2的的 距离相等距离相等. . 解解 （1 1）l l1 1l l2 2，a a（a a-1-1）+ +（- -b b）1=01=0， 即即a a2 2- -a a- -b b=0.=0. 又点（又点（-3-3，-1-1）在）在l l1 1上，上， -3-3a a+ +b b+4=0+4=0 由由得得a a=2,=2,b b=2.=2. 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com (2) (2)l l1 1l l2 2， =1-=1-a a，b b= = ，故故l l1 1和和l l2 2的方程可分别表示为：的方程可分别表示为：( (a a-1)-1)x x+ +y y+ =0,(+ =0,(a a-1)-1)x x+ +y y+ =0,+ =0,又原点到又原点到l l1 1与与l l2 2的距离相等，的距离相等， a a=2=2或或a a= ,= ,a a=2,=2,b b=-2=-2或或a a= ,= ,b b=2.=2.金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 12.12.光线通过点光线通过点A A（-2-2，4 4），经直线），经直线l l:2:2x x- -y y-7=0-7=0反反 射，若反射光线通过点射，若反射光线通过点B B（5 5，8 8）. .求入射光线求入射光线 和反射光线所在直线的方程和反射光线所在直线的方程. . 解解 如图所示，已知直线如图所示，已知直线l l: : 2 2x x- -y y-7=0,-7=0, 设光线设光线ACAC经经l l上点上点C C反射为反射为 BCBC，则，则1=2.1=2. 再设再设A A关于关于l l的对称点为的对称点为 A A(a a, ,b b),),则则1=3.1=3. 2=3 2=3， 则则B B，C C，A A三点共线三点共线. . 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com A AA Al l且且AAAA中点在中点在l l上，上， 解得解得a a=10,=10,b b=-2,=-2,即即 (10,-2).(10,-2). A AB B的方程为的方程为y y+2= (+2= (x x-10)-10)， 即即2 2x x+ +y y-18=0.-18=0. A AB B与与l l的交点为的交点为C C 入射光线入射光线ACAC的方程为的方程为 即即2 2x x-11-11y y+48=0.+48=0. 入射光线方程为入射光线方程为2 2x x-11-11y y+48=0,+48=0, 反射光线方程为反射光线方程为2 2x x+ +y y-18=0.-18=0. 返回返回