二元函数的极限二元函数的极限 第一节 第八章 和连续性和连续性一、一、多元函数的极限二、二、多元函数的连续性1、一元函数极限的定义，记号复习:2、一元函数连续的定义一、二元函数的极限一、二元函数的极限定义定义. 设函数时,相应的函数值无限趋于一个确定的常数A,当 记作：的某空心邻域内有定义,如果点以任何方式无限趋于点机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点P0 P0则称 A 为函数时的极限. （1）的路径是任意的；（2） 上面介绍的极限也称为二重极限；（3） 一元函数的极限性质在这里亦成立注意：（4）用极限定义计算多元函数的极限及证明极限的存在比较麻烦，不作要求。 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例例1. 讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录 上页 下页 返回 结束 二、 二元函数的连续性元函数的连续性 定义定义 . 设二元函数如果函数在定义域 D 上各点处都连续, 则称此函数在,如果 否则称为不连续,称为间断点 .元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 D上连续. 处连续, 在点P0 邻域内有定义,且的某存在,则称二在点P0 例如例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.定理定理：（1）若 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续, 则该函机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 数是有界函数。 解解: : 原式例例2.2.求例例3. 求函数的连续域.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 多元函数的极限2. 多元函数的连续性1) 函数 2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结课外作业： P165. 31. 证明在全平面连续.证证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题：