当被积函数当被积函数(hnsh)均非负在D上变(shn bin)号时,因此(ync)上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共22页第一页，共23页。说明说明:(1)若积分若积分(jfn)区域既是区域既是X型区域又是型区域又是Y型区域型区域,为计算方便,可选择积分序, 必要(byo)时还可以交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成(fn chn)若干X-型域或Y-型域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共22页第二页，共23页。例例1.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域(qy). 解法1. 将D看作X型区域, 则解法2. 将D看作Y型区域, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共22页第三页，共23页。例例2.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 是抛物线所围成的闭区域(qy). 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共22页第四页，共23页。例例3.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 是直线 所围成的闭区域(qy).解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共22页第五页，共23页。例例4.交换交换(jiohun)下列下列积分顺序积分顺序解: 积分(jfn)域由两部分组成:视为Y型区域(qy) , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共22页第六页，共23页。例例5.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 由所围成.解: 令(如图所示)显然(xinrn),机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共22页第七页，共23页。对应(duyng)有二、利用二、利用(lyng)极坐标计算极坐标计算二重积分二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数(chngsh)则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共22页第八页，共23页。即机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第9页/共22页第九页，共23页。设设则特别(tbi), 对机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第10页/共22页第十页，共23页。若 f 1 则可求得D 的面积(min j)思考(sko): 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答: 问 的变化范围(fnwi)是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共22页第十一页，共23页。例例6.计算计算(jsun)其中(qzhng)解: 在极坐标系下原式的原函数不是(b shi)初等函数 ,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共22页第十二页，共23页。注注:利用例6可得到(d do)一个在概率论与数理统计及工程上非常有用(yu yn)的反常积分公式事实上, 当D 为 R2 时,利用(lyng)例6的结果, 得故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共22页第十三页，共23页。例例7.求球体求球体(qit)被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体(lt)的体积. 解: 设由对称性可知(k zh)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共22页第十四页，共23页。内容内容(nirng)小结小结(1) 二重积分化为累次积分的方法(fngf)直角坐标(zh jio zu bio)系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共22页第十五页，共23页。则(2) 一般(ybn)换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形:若积分若积分(jfn)区域区域为为在变换(binhun)下机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共22页第十六页，共23页。(3)计算计算(jsun)步骤及注步骤及注意事项意事项 画出积分(jfn)域 选择(xunz)坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共22页第十七页，共23页。思考思考(sko)与与练习练习1. 设且求提示(tsh):交换积分(jfn)顺序后, x , y互换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共22页第十八页，共23页。2.交换积分交换积分(jfn)顺序顺序提示(tsh): 积分域如图机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第19页/共22页第十九页，共23页。解：原式备用备用(biyng)题题1. 给定(i dn)改变(gibin)积分的次序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共22页第二十页，共23页。2.计算计算(jsun)其中(qzhng)D 为由圆所围成的及直线(zhxin)解：平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共22页第二十一页，共23页。感谢您的欣赏(xnshng)！第22页/共22页第二十二页，共23页。内容(nirng)总结当被积函数。X-型域或Y-型域 ,。解法2. 将D看作Y型区域, 则。先对 x 积分不行,。解: 积分域由两部分组成:。视为Y型区域 , 则。在极坐标系下, 用同心圆 r =常数。问 的变化范围是什么。极坐标系情形: 若积分区域为。 确定(qudng)积分序。 写出积分限。 计算要简便。第21页/共22页。感谢您的欣赏第二十三页，共23页。