函数的极值及其求法小结思考题作业最大值最小值问题第五节第五节 函数的函数的极值极值与与 最大值最小值最大值最小值第三章微分中值定理与导数的应用( (extreme value)1定义极大值 (或极小值), 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值.极值点.极小值极小值(minimal value)极大值极大值(maximal value)函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值一、函数的极值及其求法1. 函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0(自变量自变量)称为称为2函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的. 在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值(此极小环境此极小环境不同彼极大不同彼极大).只是只是一点附近一点附近的的最大值、最小值也可能不是极最大值、最小值也可能不是极值，极值不在区间端点取得值，极值不在区间端点取得.3定理1(必要条件)注如,(1)驻点.可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却不一定是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的2. 极值的必要条件极值的必要条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值必是必是驻点驻点,费马引理如果函数如果函数可导可导,处取得极值处取得极值, 那么那么极值极值,4极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如,但但 怎样从怎样从驻点驻点与与导数不存在导数不存在的点的点中中判断一点判断一点Z单调减的分界点单调减的分界点,(2)不可导不可导.是极小值点是极小值点.是不是极值点是不是极值点若若 x0 是连续函数是连续函数 f(x) 单调增、单调增、则则 x0必为极值点必为极值点.几何上几何上,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值5定理2(第一充分条件)则则为为极大值极大值则则不是极值不是极值.(极小值极小值);极值的一阶充分条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值3. 极值的充分条件极值的充分条件6一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数; 求驻点与不可导点求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点不是极值点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值7例解(1)(2)驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:(3)列表列表.求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性,确定极值点和极值确定极值点和极值.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值8非非极极值值极极小小值值不存在不存在极极大大值值驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值单调增加区间单调增加区间:单调减少区间单调减少区间:9定理3(第二充分条件)证极大值极大值 (极小值极小值).极值的二阶充分条件因此因此,当当充分小时充分小时,由极限的保号性由极限的保号性可见可见,与与异号异号.所以所以,第一充分条件第一充分条件 对于对于驻点驻点, ,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点. .自己证极小值情形自己证极小值情形.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值10例解因为因为,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值11注注此时仍要用第一充分条件来判定此时仍要用第一充分条件来判定函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )不能不能应用应用. .事实上事实上, ,可能有极大值可能有极大值, ,也可能有极小值也可能有极小值, ,也可能没有极值也可能没有极值. .如,分别属于上述三种情况分别属于上述三种情况. .12例解所以所以,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值第一充分条件第一充分条件13充分条件来判定该点有无极值充分条件来判定该点有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点对于只有驻点而没有导数不存在的点,可可用第二充分条件判断该点有无极值用第二充分条件判断该点有无极值.特别在二阶导数易求时这样做方便；特别在二阶导数易求时这样做方便； 运用第一、第二充分条件需要注意运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时若函数有导数不存在的点时, 则可用第一则可用第一(1)(2)则则函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值(3) 注意：有时用定义更方便判定嫌疑点有无注意：有时用定义更方便判定嫌疑点有无极值，用定义是最基本的手段。极值，用定义是最基本的手段。14定理4极大极大 值值.(小小)如,则则, ,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值15设设是方程是方程的一的一解解, ,若若且且则则在在(A) 取得极大值取得极大值(B) 取得极小值取得极小值(C) 的某邻域内单调增加的某邻域内单调增加(D) 的某邻域内单调减少的某邻域内单调减少提示提示得得A函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值利用方程利用方程, ,代入代入16函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值二、最大值最小值问题1.1.最值的求法最值的求法17(1)其中最大其中最大(小小)者者 求连续函数求连续函数 f (x)在闭区间在闭区间a, b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值将闭区间将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的区间端点区间端点的的就是就是 f (x)最值必在端最值必在端(2)点处达到点处达到. .点点(即为即为极值嫌疑点极值嫌疑点)处的函数值和处的函数值和函数值函数值 f (a), f (b)比较比较,在闭区间在闭区间a, b上的最大上的最大(小小)值值. 当当 f (x)在闭区间在闭区间a, b上上单调单调时时,18例解 因因驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值19仅需计算仅需计算:比较得比较得:因因是偶函数是偶函数,最大值最大值为为最小值最小值为为函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:20函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值解驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:最大值最大值最小值最小值最大值与最小值最大值与最小值.21(3)(4)函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 若连续函数若连续函数 f (x)在区间在区间I内只有内只有一个极值一个极值点点为极大为极大 (小小)值值,区间区间 I上的最大上的最大 (小小)值值. 对实际问题常常可事先断定最大对实际问题常常可事先断定最大(小小)值必在值必在区间内部取得区间内部取得, 如果连续函数在区间内又仅有如果连续函数在区间内又仅有一个一个极值嫌疑点极值嫌疑点, 那末这点处的函数值就是最那末这点处的函数值就是最大大(小小)值值.22实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值(1) 建立目标函数建立目标函数;(2) 求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数则该点的函数值根据实际意义即可判为所求的最大值根据实际意义即可判为所求的最大(小小)值值.23例解 目标函数目标函数得得2. 应用举例应用举例(1)(2) 求求最大值最大值点点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值半径为半径为R.求内接于球的求内接于球的圆柱体的最大体积圆柱体的最大体积,设球的设球的设圆柱体的高为设圆柱体的高为2h,底半径为底半径为r, 体积为体积为V,24 而而圆柱体的最大体积一定存在圆柱体的最大体积一定存在,故故唯一驻点唯一驻点 就是最大值点就是最大值点, 最大体积为最大体积为令令得得(舍舍去去负值负值)为唯一驻点为唯一驻点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值25例敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1公里公里/分的速分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处处向正东追击，速度为向正东追击，速度为2公里公里/分问我军摩托车何分问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？时射击最好（相距最近射击最好）？北北南南西西东东解建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系敌我相距函数敌我相距函数(1)函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值26得得唯一驻点唯一驻点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值北北南南西西东东27例某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租套公寓要出租,当租金定为当租金定为每月每月720元时元时,公寓会全部租出去公寓会全部租出去.当租金每月当租金每月增加增加40元时元时,就有一套公寓租不出去就有一套公寓租不出去,而租出而租出去的房子每月需花费去的房子每月需花费80元的整修维护费元的整修维护费.试问试问房租定为多少可获得最大收入房租定为多少可获得最大收入?解 设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 每月总收入为每月总收入为套套函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值28（唯一驻点，实际问题）（唯一驻点，实际问题）函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值故每月每套租金为故每月每套租金为1400元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为29例解如图如图,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值30解得解得唯一驻点，实际问题唯一驻点，实际问题令令因这样的面积有最大值因这样的面积有最大值,为为所求所求.为所有三角形中面积的最大值为所有三角形中面积的最大值.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值31三、小结函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得.极值的极值的判别法判别法第一充分条件第一充分条件; (选择好合适的，选择好合适的，极值极值: :局部性局部性概念概念;极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.极值极值与与最值最值的区别的区别最值最值: 整体性整体性概念概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.第二充分条件第二充分条件,用哪个充分条件可简化计算、注意使用条件用哪个充分条件可简化计算、注意使用条件).32思考题证设设令令得得分析分析求其在求其在上的最大值上的最大值.常数常数函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值33得得在端点在端点是函数的唯一的驻点是函数的唯一的驻点,所以所以必是必是f 在在0,a上的最大值上的最大值,所以不等式成立所以不等式成立.0且使函数取正值且使函数取正值.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值（注意：证严格不等式时用单调性和极值（注意：证严格不等式时用单调性和极值.）344.(3) 5. 7. 8. 10. 12. 14.作业习题3-5(160页)1.(2) (8) (10) (12) (14) 2. 3. 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值35