4.1.1 罗尔中值定理罗尔中值定理现在我们开始讨论函数导数的更进一步的结果，由于这些结果现在我们开始讨论函数导数的更进一步的结果，由于这些结果都与某一个区间内的某一个中间点处的导数值有关，所以，把都与某一个区间内的某一个中间点处的导数值有关，所以，把这些结果统称为中值定理这些结果统称为中值定理 。本段要介绍的罗尔定理就是其中一。本段要介绍的罗尔定理就是其中一 个较简单的结果。个较简单的结果。定理定理1（罗尔定理）（罗尔定理） 设函数设函数 f(x)在区间在区间a,b上有定义，如果上有定义，如果 （1）函数）函数 f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续上连续； （2）函数）函数 f(x)在开区间在开区间（a，b）内可导）内可导； （3）函数）函数 f(x)在区间两端点处的函数值相等，即在区间两端点处的函数值相等，即 f(a)= f(b); 则在（则在（a，b）内）内至少存在至少存在一个点一个点 a b，使得使得 f ( )=0 .证明证明：根据闭区间上连续函数的性质，函数根据闭区间上连续函数的性质，函数f(x)在区间在区间a,b上上必有最大值必有最大值M和最小值和最小值m，即存在，即存在 x1 ， x2 a,b， 使得使得 f(x1)=M ， f(x2)= m，罗尔中值定理以下分两种情况：以下分两种情况：(1) M = m; (2) M m 来讨论。来讨论。（1）当）当M = m时，函数时，函数 f(x)在区间在区间a,b上为常数，于是它的上为常数，于是它的导数在开区间（导数在开区间（a，b）内恒为）内恒为 0，因此定理结论成立。，因此定理结论成立。（2）当）当M m 时，由条件时，由条件f(a)= f(b) 可知，函数的最大值和最可知，函数的最大值和最小值中至少有一个是在开区间内取得，不妨设函数的最大值在小值中至少有一个是在开区间内取得，不妨设函数的最大值在开区间内取得，即开区间内取得，即 x1 (a,b)，使得，使得 f(x1)=M 。根据函数可导性。根据函数可导性的条件，函数在的条件，函数在 x1 处的导数一定存在。现在我们证明处的导数一定存在。现在我们证明 f (x1)=0。 根据导数的定义，根据导数的定义，罗尔中值定理由于由于 f(x1)=M 为函数的最大值，所以为函数的最大值，所以同理同理从而从而即存在即存在 = x1 (a,b)，a b，使得，使得 f ( )=0 综合（综合（1）、（）、（2）即知定理结论成立。）即知定理结论成立。罗尔定理的几何解释罗尔定理的几何解释: 当曲线方程满足罗尔定理的要求当曲线方程满足罗尔定理的要求 时，在区间内至少存在一点时，在区间内至少存在一点 ， 使得该点的切线的斜率为零，换使得该点的切线的斜率为零，换 句话说，该点的切线平行于句话说，该点的切线平行于 x 轴轴.oxyy=f(x)ax1 bMf(a)f(b)罗尔中值定理例例 1 不用求出函数不用求出函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的导数，说明的导数，说明方程方程 f (x)=0 有几个实根，并指出它们所在的区间。有几个实根，并指出它们所在的区间。解解：由于函数：由于函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 在整个实数轴上连在整个实数轴上连续、可导，并且续、可导，并且 f(1)= f(2)=f(3)=f(4)= f(5)=0，分别在区间，分别在区间 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 内应用罗尔定理，可得内应用罗尔定理，可得方程方程 f (x)=0 至少有至少有4个实根，但由于个实根，但由于f (x)是一个是一个4次多项式，至多次多项式，至多有有4个实根，因此，个实根，因此，方程方程 f (x)=0 只有只有4个实根，并且分别位于个实根，并且分别位于区间区间 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 内。内。例例 2 设设 试证方程试证方程在区间在区间(0,1)内至少有一个实根。内至少有一个实根。证明：记证明：记 则则 f(0)=f(1)=0，从而，从而存在存在0 1,使得使得 罗尔中值定理4.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理本段要介绍的拉格朗日中值定理是一本段要介绍的拉格朗日中值定理是一 个重要的中值定理，它可个重要的中值定理，它可以看作是罗尔中值定理的推广。以看作是罗尔中值定理的推广。定理定理 2（拉格朗日定理）（拉格朗日定理） 设函数设函数 f(x)在在a,b上有定义，如果上有定义，如果 （1）函数）函数 f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续上连续； （2）函数）函数 f(x)在开区间在开区间(a，b)内可导内可导； 则在则在(a，b)内内至少存在至少存在一个点一个点 a b，使得使得 证明证明：为了证明定理的结论，构造辅助函数为了证明定理的结论，构造辅助函数则容易验证，函数则容易验证，函数 (x)在闭区间在闭区间a,b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a,b)内可导，且满足内可导，且满足 (a) = (b) = 0 , 由罗尔定理，则在由罗尔定理，则在(a，b)内内至少至少罗尔中值定理存在一个点存在一个点 a 0,试证试证证明证明：设函数：设函数 f(x)=ln(1+x) ,取区间为取区间为 0，x ，则函数在，则函数在区间区间 0，x上连续，在（上连续，在（0，x）内可导，并且）内可导，并且 f(0)=0， f(x)=ln(1+x)， 在区间在区间0，x内应用拉格朗日中值定理，可得内应用拉格朗日中值定理，可得由于由于所以所以于是于是 （ 证毕）证毕）罗尔中值定理例例 2 试证试证 |sin x -sin y| | x - y |证明证明：设：设 x y的情况，类似地可以证明；而当的情况，类似地可以证明；而当 x = y 时是显然成立的。时是显然成立的。这样综合即知，对任意的这样综合即知，对任意的 x, y 不等式均成立。不等式均成立。练习：练习：(1) 试证试证 |cos x -cos y| | x - y |. (2) 试证试证 |arctg x -arctg y| | x - y |. 罗尔中值定理4.1.3 柯西中值定理柯西中值定理本段要介绍的柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推本段要介绍的柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广。广。定理定理 3（柯西中值定理）（柯西中值定理） 设函数设函数 f(x), g(x)在在a,b上有定义，如上有定义，如果它们满足果它们满足 （1）函数）函数 f(x)， g(x)在闭区间在闭区间a，b上连续上连续； （2）函数）函数 f(x)， g(x)在开区间在开区间(a，b)内可导内可导，且，且g (x) 0； 则在则在(a，b)内内至少存在至少存在一个点一个点 a b，使得使得 证明证明：类似于定理类似于定理2的证明，构造辅助函数的证明，构造辅助函数则容易验证，函数则容易验证，函数 (x)在闭区间在闭区间a,b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a,b)罗尔中值定理内可导，且满足内可导，且满足 (a) = (b) = 0 , 由罗尔定理，则在由罗尔定理，则在(a，b)内内至少存在一个点至少存在一个点 a b，使得使得 ( ) = 0, 即即从而从而 （证毕证毕）柯西中值定理的几何意义柯西中值定理的几何意义设曲线方程为设曲线方程为在区间内至少存在一点在区间内至少存在一点 ，使使 得该点的切线平行于曲线两端得该点的切线平行于曲线两端 点点 ( g(a), f(a) )与与 (g(b), f(b) )oxyy=f(t)g(a)g() g(b)f(a)f(b)x=g(t)f() 罗尔中值定理的连线，其斜率为的连线，其斜率为例例 1 若若 0ab , 且函数且函数 f(x)在闭区间在闭区间a，b上可微，试证存在上可微，试证存在一个点一个点 ， a b，使得使得 2 f(b) - f(a) = ( b2 - a2 ) f ( )。 证明证明：将上述结论的形式变为：将上述结论的形式变为显然，只需取函数显然，只需取函数 g(x) = x2 , 则函数则函数 f(x)， g(x) 在在区间区间 a，b 上满足定理上满足定理3的条件，的条件， 应用柯西中值定理，可得应用柯西中值定理，可得 （ 证毕）证毕）罗尔中值定理例例 2 若若 0ab , 且函数且函数 f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续，在开区间上连续，在开区间（a，b）内可微，试证存在一个点）内可微，试证存在一个点 ， a b，使得使得 f(b) - f(a) = ( lnb - lna ) f ( )。 证明证明：将上述结论的形式变为：将上述结论的形式变为显然，只需取函数显然，只需取函数 g(x) =ln x , 则函数则函数 f(x)， g(x) 在在区间区间 a，b 上满足定理上满足定理3的条件，的条件， 应用柯西中值定理，可得应用柯西中值定理，可得 （ 证毕）证毕）设设 x y的情况，类似地可以证明；而当的情况，类似地可以证明；而当 x = y 时是显然成立的。时是显然成立的。这样综合即知，对任意的这样综合即知，对任意的 x, y 不等式均成立。不等式均成立。练习：练习：(1) 试证试证 |cos x -cos y| | x - y |. (2) 试证试证 |arctg x -arctg y| | x - y |. 罗尔中值定理