第3讲函数的奇偶性与周期性1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的性质1函数的奇偶性(1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则称 f(x)为奇函数奇函数的图象关于原点对称f(x)f(x)y(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_或f(x)f(x)0，则称 f(x)为偶函数偶函数的图象关于_轴对称注意：通常利用图象或定义判断函数的奇偶性具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)2函数的周期性对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的_周期A奇函数C既是奇函数又是偶函数B偶函数D非奇非偶函数2(2015年广东江门一模)下列函数中，是奇函数的是(Bf(x)log2xDf(x)sinxtanxAf(x)2xCf(x)sinx1D)DAy 轴对称C坐标原点对称B直线 yx 对称D直线 yx 对称CBA2B1C1D2考点 1 判断函数的奇偶性例 1：(1)(2014 年广东)下列函数为奇函数的是()答案：A(2)(2013 年广东)定义域为 R 的四个函数 yx3 ，y2x，yx21，y2sinx 中，奇函数的个数是()A4 个B3 个C2 个D1 个答案：C(3)(2012 年广东)下列函数为偶函数的是()答案：D(4)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数解析：g(x)是 R 上的奇函数，|g(x)|是 R 上的偶函数，从而 f(x)|g(x)|是偶函数故选 A.答案：A 复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数的奇偶数可根据若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”； 抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判断 图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇偶性的判断常用图象法； 【互动探究】1若函数 f(x)3x3x 与 g(x)3x3x 的定义域均为 R，则()BAf(x)与 g(x)均为偶函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Cf(x)与 g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：f(x)3x3xf(x)，f(x)为偶函数而 g(x)3x3xg(x)，g(x)为奇函数考点2利用奇偶性求函数值例2：若 f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数 a_.解析：方法一：由函数f(x)为偶函数，得f(x)f(x)对于任意的 x 都成立，即(xa)(x4)(xa)(x4)，x2+(a4)x4ax2(4a)x4a.a44a.a4.方法二：由题意知，f(1)f(1)，(1a)(14)(1a)(14)a4.答案：4【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常用待定系数法：先利用 f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.【互动探究】2设函数 f(x)(x1)(xa)x为奇函数，则 a_.1解析：f(x)为奇函数，f(1)f(1)，a1.3.(2015年广东广州一模)已知幂函数f(x) (mZ)为偶函数，且在区间(0，)上是单调增函数，则f(2)的值为_.16考点3函数奇偶性与周期性的综合应用答案：A【互动探究】4(2014 年新课标)已知偶函数 yf(x)的图象关于直线 x2 对称，f(3)3，则 f(1)_.3解析：yf(x)的图象关于直线 x2 对称，f(1)f(3)3.又yf(x)为偶函数，f(1)f(1)3.易错、易混、易漏判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题：给出四个函数：2xylg2x；ylg(2x)lg(2x)；ylg(x2)(x2)；ylg(x2)lg(x2)其中奇函数是_，偶函数是_正解：的定义域相同，均为(2,2)，且均有 f(x)f(x)，所以都是奇函数；的定义域为(，2)(2，)，且有 f(x)f(x)，所以为偶函数；而的定义域为(2，)，关于原点不对称，因此该函数为非奇非偶函数答案：【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面易致错对定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，f(x)f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要条件