第4讲函数的奇偶性与周期性考纲要求考点分布考情风向标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质2011 年新课标第 3 题考查函数的奇偶性和单调性；2012 年新课标第 16 题考查函数奇偶性、最值；2013 年大纲第 13 题考查函数周期性；2014 年新课标第 15 题考查函数奇偶性与周期性；2014 年新课标第 5 题考查抽象函数的奇偶性；2015 年新课标第 13 题考查函数的奇偶性；2017 年新课标第 14 题利用函数的奇偶性求函数值本节复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题函数定义等价形式图象性质奇函数对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)f(x)f(x)0关于原点对称偶函数对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)f(x)f(x)0关于_对称1.函数的奇偶性y 轴2.函数的周期性对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.1.(2014 年新课标)偶函数 yf(x)的图象关于直线 x2 对称，f(3)3，则 f(1)_.3解析：因为 yf(x)的图象关于直线 x2 对称，所以 f(1)f(3)3.又因为 yf(x)为偶函数，所以 f(1)f(1)3.2.(2017 年新课标)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.12解析：f(2)2(2)3(2)212，且f(x)是R上的奇函数，f(2)f(2)12.则()3.若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，A.f(x)与 g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C.f(x)与 g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数B解析：f(x)3x3xf(x)，f(x)为偶函数.而g(x)3x3x(3x3x)g(x)，g(x)为奇函数.4.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xA2xb(b 为常数)，则 f(1)(A.3C.1)B.1D.3解析：因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)2020b0，解得b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，即 f(1)f(1)(2211)3.A考点 1 判断函数的奇偶性例 1：(1)(2014 年新课标)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析：依题意，得对任意 xR，都有 f(x)f(x)，g(x) g(x) ，因此，f( x)g( x) f(x)g(x) f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A 错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B 错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C 正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D 错.答案：C(2)(2015 年广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()答案：A解析：记f(x)xex，则f(1)1e，f(1)1e1，f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以yxex既不是奇函数也不是偶函数.依题可知B，C，D依次是奇函数、偶函数、偶函数.故选A.(3)(2015 年北京)下列函数中为偶函数的是()解析：根据偶函数的定义 f(x)f(x)，选项 A 为奇函数，选项 B 为偶函数，选项 C 定义域为(0，)，不具有奇偶性，选项 D 既不是奇函数，也不是偶函数.故选 B.答案：BA.yx2sin x B.yx2cos xC.y|ln x| D.y2x(4)(2015 年湖南)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：f(x)的定义域为(1,1)，关于原点对称.又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，f(x)为奇函数.显然，f(x)在(0,1)上单调递增.故选 A.答案：A(5)下列函数为奇函数的是()答案：A【规律方法】判断函数奇偶性的方法：定义法：第一步先看函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶函数的图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇偶性的判断常用图象法；复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”；抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活的变形配凑来判断.【互动探究】1.(2016年广东肇庆三模)在函数yxcos x，yexx2，yyxsin x 中，偶函数的个数是()A.3 个C.1 个B.2 个D.0 个B考点 2 根据函数的奇偶性求参数的值(范围)答案：1 (2)(2014年湖南)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.解析：由题意知，f(x)的定义域为 R，所以 f(1)f(1).从答案：D【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常用待定系数法：先利用 f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.考点 3 函数奇偶性与周期性的综合应用例 3：(1)(2017 年山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2).若当 x3,0时，f(x)6x，则 f(919)_.解析：由 f(x4)f(x2)，得 T6, f(919)f(15361)f(1)f(1)6(1)6.答案：6A.2B.1C.0D.2所以 f(6)f(1).又因为当1x1 时，f(x)f(x).所以 f(1)f(1)(1)312.答案：D由，得 a2，b4，从而 a3b10.答案：10【规律方法】本题考查函数的奇偶性与周期性，属于基础题.在涉及函数求值问题中，可利用周期性 f(x)f(xT)，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，若是相邻区间，则再利用奇偶性转化到已知区间上，由函数式求值即可.【互动探究】A2.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2019)( )A.2B.2C.98D.98解析：f(x4)f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期函数.f(2019)f(50443)f(3)f(1).又 f(x)为奇函数，f(1)f(1)2122，即 f(2019)2.易错、易混、易漏函数对称性质的判断例题：定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x1)f(x)，当A.减函数，且 f(x)0C.增函数，且 f(x)0D.增函数，且 f(x)0解析：因为 f(x)f(x)，又 f(x1)f(x)，所以 f(x1)f(x).所以 f(x)是周期为 2 的周期函数，且(0,0)是其图象的一个对答案：A【失误与防范】先注意区别是一个函数图象自身的对称还是两个函数图象之间的对称，再根据函数图象关于坐标轴、原点或一条垂直于 x 轴的直线对称所满足的条件逐个分析判断.【互动探究】A.2016B.1008C.504D.0B