第第4 4节指数函数节指数函数1.1.了解指数函数模型的实际了解指数函数模型的实际背景背景. .2.2.理解有理指数幂的含义理解有理指数幂的含义, ,了了解实数指数幂的意义解实数指数幂的意义, ,掌握幂掌握幂的运算的运算. . 考纲展示考纲展示知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来2.2.如图是指数函数如图是指数函数(1)y=a(1)y=ax x,(2)y=b,(2)y=bx x,(3)y=c,(3)y=cx x,(4)y=d,(4)y=dx x的图象的图象, ,底数底数a,b,c,da,b,c,d与与1 1之间的大小关系如何之间的大小关系如何? ?你能得到什么规律你能得到什么规律? ?提示提示: :图中直线图中直线x=1x=1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值, ,即即c c1 1dd1 11a1a1 1bb1 1, ,所以所以cd1ab.cd1ab.一般规律一般规律: :在在y y轴右轴右( (左左) )侧图象越高侧图象越高( (低低),),其底数越大其底数越大. .3.3.指数函数指数函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1)在其定义域上单调性如何在其定义域上单调性如何? ?提示提示: :当当0a10a1a1时时,y=a,y=ax x在在R R上单调递增上单调递增. .知识梳理知识梳理 1.1.根式根式x xn n=a=a2.2.有理数指数幂有理数指数幂3.3.无理数指数幂无理数指数幂无理数指数幂无理数指数幂a a(a0,(a0,是无理数是无理数) )是一个确定的实数是一个确定的实数. .有理数指数幂的运算有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂性质同样适用于无理数指数幂. .4.4.指数函数的概念、图象与性质指数函数的概念、图象与性质函数函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1)图象象0a10a1a1图象象 特征特征在在x x轴上方上方过定点定点(0,1)(0,1)当当x x逐逐渐增大增大时, ,图象逐象逐渐下降下降当当x x逐逐渐增大增大时, ,图象逐象逐渐上升上升性性质定定义域域R值域域单调性性递减减递增增函数函数变化化规律律当当x=0x=0时, , . .当当x0x1;,y1;当当x0x0时, ,0y10y1当当x0x0时,0y1;,0y0x0时, ,y1y1(0,+)(0,+)y=1y=1【重要结论】【重要结论】 1.1.指数函数图象的对称规律指数函数图象的对称规律函数函数y=ay=ax x的图象与的图象与y=ay=a-x-x的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称,y=a,y=ax x的图象与的图象与y=-ay=-ax x的图象关于的图象关于x x轴轴对称对称,y=a,y=ax x的图象与的图象与y=-ay=-a-x-x的图象关于坐标原点对称的图象关于坐标原点对称. .2.2.函数函数y=ay=af(x)f(x)(a0,(a0,且且a1)a1)的值域的值域, ,设函数设函数u=f(x)u=f(x)的值域的值域E,E,则函数则函数y=ay=au u(uE)(uE)的值域是函数的值域是函数y=ay=af(x)f(x)(a0,(a0,且且a1)a1)的值域的值域. .双基自测双基自测 1.(1.(20182018沈阳模拟沈阳模拟) )函数函数y=ay=ax-1x-1+2(a0,+2(a0,且且a1)a1)的图象恒过点的坐标为的图象恒过点的坐标为( ( ) )(A)(2,2)(A)(2,2)(B)(2,4)(B)(2,4)(C)(1,2)(C)(1,2)(D)(1,3)(D)(1,3)D D解析解析: :因为因为a a0 0=1,=1,所以令所以令x-1=0,x-1=0,所以所以a ax-1x-1+2=3,+2=3,所以函数所以函数y=ay=ax-1x-1+2(a0,+2(a0,且且a1)a1)的图象恒过点的坐标为的图象恒过点的坐标为(1,3).(1,3).2.2.设设a=0.6a=0.60.60.6,b=0.6,b=0.61.51.5,c=1.5,c=1.50.60.6, ,则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是( ( ) )(A)abc(A)abc(B)acb(B)acb(C)bac(C)bac(D)bca(D)bc0.60.61.51.5, ,即即ab,ab,又又00.600.60.60.61,1.51,1,所以所以ac.a0).: (x0). 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 指数幂的运算指数幂的运算反思归纳反思归纳 指数幂运算的一般原则指数幂运算的一般原则(1)(1)有括号的先算括号里的有括号的先算括号里的, ,无括号的先做指数运算无括号的先做指数运算. .(2)(2)先乘除后加减先乘除后加减, ,负指数幂化成正指数幂的倒数负指数幂化成正指数幂的倒数. .(3)(3)底数是负数底数是负数, ,先确定符号先确定符号; ;底数是小数底数是小数, ,先化成分数先化成分数; ;底数是带分数的底数是带分数的, ,先化先化成假分数成假分数. .(4)(4)若是根式若是根式, ,应化为分数指数幂应化为分数指数幂, ,尽可能用幂的形式表示尽可能用幂的形式表示, ,运用指数幂的运算运用指数幂的运算性质来解答性质来解答. .提醒提醒: :运算结果不能同时含有根号和分数指数运算结果不能同时含有根号和分数指数, ,也不能既含有分母又含有负指也不能既含有分母又含有负指数数. .考点二考点二 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用【例例2 2】 (1) (1)函数函数y=ay=ax x-a-a-1-1(a0,(a0,且且a1)a1)的图象可能是的图象可能是( () )( (2 2) )直直 线线y y= =k k与与函函数数y y= =| |3 3x x- -1 1| |的的图图象象有有两两个个不不同同的的交交点点, ,则则k k的的取取值值范范围围是是. .解析解析: :(2)(2)画出画出y=|3y=|3x x-1|-1|的图象的图象, ,如图如图, ,显然显然, ,当当0k10k0,(a0,且且a1)a1)的图象的图象, ,可由指数函数可由指数函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1)的图象向的图象向左左(b0)(b0)或向右或向右(b0)(b0,(a0,且且a1)a1)的图象向上的图象向上(b0)(b0)或向或向下下(b0)(b0,(a0,且且a1)a1)的图象相同的图象相同; ;当当x0xb)ab)的图象如图所示的图象如图所示, ,则函数则函数g(x)=ag(x)=ax x+b+b的图象是的图象是( () )解析解析: :(1)(1)由由f(x)f(x)的图象知的图象知,0a1,b-1,0a1,b-1,排除排除C,D,C,D,又又g(0)=1+b0,g(0)=1+b0,排除排除B.B.故选故选A.A.(2)(2)(20182018山东菏泽模拟山东菏泽模拟) )若函数若函数f(x)=2f(x)=2x x+b-1(b+b-1(bR R) )的图象不经过第二象的图象不经过第二象限限, ,则有则有( () )(A)b1(A)b1(B)b1(B)b1(C)b0(C)b0(D)b0(D)b0解析解析: :(2)(2)因为因为y=2y=2x x, ,当当x0xaab b的不等式的不等式, ,借助于函数借助于函数y=ay=ax x的单调性求解的单调性求解, ,如果如果a a的的取值不确定取值不确定, ,需分需分a1a1与与0a10abb的不等式的不等式, ,注意将注意将b b转化为以转化为以a a为底数的指数幂的形式为底数的指数幂的形式, ,再借助于再借助于函数函数y=ay=ax x的单调性求解的单调性求解. .考查角度考查角度3:3:含参数的指数函数问题含参数的指数函数问题【例【例5 5】 已知函数已知函数f(x)=2f(x)=2|2x-m|2x-m|(m(m为常数为常数),),若若f(x)f(x)在区间在区间2,+)2,+)上是增函数上是增函数, ,则则m m的取值范围是的取值范围是. .答案答案: :(-,4(-,4反思归纳反思归纳 指数型函数中参数的取值范围问题指数型函数中参数的取值范围问题. .在解决涉及指数函数的单在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时调性或最值问题时, ,应根据参数所在函数分类讨论应根据参数所在函数分类讨论. .反思归纳反思归纳 形如形如f(x)=af(x)=a2x2x+b+ba ax x+c(ab0)+c(ab0)的函数性质问题常用换元法转化的函数性质问题常用换元法转化为二次函数性质求解为二次函数性质求解. .备选例题备选例题 【例例2 2】 ( (20152015北京卷北京卷)2)2-3-3, ,log, ,log2 25 5三个数中最大的数是三个数中最大的数是. .【例例3 3】 ( (20152015山东卷山东卷) )已知函数已知函数f(x)=af(x)=ax x+b(a0,a1)+b(a0,a1)的定义域和值域都的定义域和值域都是是-1,0,-1,0,则则a+b=a+b=. .【例例4 4】 已知函数已知函数f(x)=af(x)=a|x+b|x+b|(a0,a1,b(a0,a1,bR R).).(1)(1)若若f(x)f(x)为偶函数为偶函数, ,求求b b的值的值; ;解解: :(1)(1)因为因为f(x)f(x)为偶函数为偶函数, ,所以对任意的所以对任意的xxR R, ,都有都有f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),即即a a|x+b|x+b|=a=a|-x+b|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得解得b=0.b=0.(2)(2)若若f(x)f(x)在区间在区间2,+)2,+)上是增函数上是增函数, ,试求试求a,ba,b应满足的条件应满足的条件. .解解: :(2)(2)记记h(x)=|x+b|=h(x)=|x+b|=当当a1a1时时,f(x),f(x)在区间在区间2,+)2,+)上是增函数上是增函数, ,即即h(x)h(x)在区间在区间2,+)2,+)上是增函数上是增函数, ,所以所以-b2,b-2.-b2,b-2.当当0a10a1a1且且b-2.b-2. 易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼忽视底数忽视底数a a对函数对函数y=ay=ax x的单调性的影响的单调性的影响【典例典例】 函数函数y=ay=ax x(a0,a1)(a0,a1)在在0,10,1上的最大值与最小值之差为上的最大值与最小值之差为 , ,则则a=a=. .易错分析易错分析: :本题本题a1a1与与0a10a1,0a1,0a1两种情况讨论两种情况讨论, ,得函数的最大值、最小值列方程求解得函数的最大值、最小值列方程求解. .