微分的定义微分的定义微分的几何意义微分的几何意义微分公式与运算法则微分公式与运算法则小结小结 思考题思考题 作业作业第五节第五节 函数的微分函数的微分第二章第二章 导数与微分导数与微分(differential)微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用1函数的微分函数的微分导数导数微分微分导数与微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的快慢程度的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的函数的改变量的近似值所引起的函数的改变量的近似值.有着密切的联系有着密切的联系.2正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.1.问题的引出问题的引出函数的微分函数的微分实例实例线性函数线性函数(linear function)一、微分的定义一、微分的定义的线性的线性(一次一次)函数函数,很小时可忽略很小时可忽略.的高阶无穷小的高阶无穷小,3再如再如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值函数的微分函数的微分4一定条件一定条件,线性函数线性函数, 对一般函数对一般函数则无论在理论分析上还是在实际则无论在理论分析上还是在实际函数的微分函数的微分则函数的增量则函数的增量可以表示为可以表示为 如果存在这样的如果存在这样的近似公式近似公式,应用中都是十分重要的应用中都是十分重要的.5定义定义2. 微分的定义微分的定义如果如果则称则称函数函数可可微微(differentiable),A为微分系数为微分系数函数的微分函数的微分记作记作微分微分(differential),并称并称为函数为函数6定理定理证证 (1) 必要性必要性3. 可微的充分必要条件可微的充分必要条件即有即有函数的微分函数的微分 满足什么条件的函数是可微的呢？满足什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数微分的系数A如何确定呢如何确定呢? 微分与导数有何关系呢微分与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题下面的定理回答了这些问题.7(2) 充分充分性性 求导法又叫微分法求导法又叫微分法函数的微分函数的微分从而从而其微分一定是其微分一定是定理定理即有即有8注注 微分的实质微分的实质 第一章第七节定理第一章第七节定理1 (58页页)函数的微分函数的微分 线性函数线性函数, 线性主部线性主部. . 主部主部, , 所以在所以在 条件下条件下, 的条件下的条件下, 近似代替增量近似代替增量 其误差为其误差为因此因此,有有精确度精确度较好的近似等式较好的近似等式 结论结论 在在9导数称为微商导数称为微商函数的微分函数的微分 称为函数称为函数的微分的微分, 记作记作称为自变量的称为自变量的微分微分,记作记作注注10例例解解函数的微分函数的微分11几何意义几何意义( (如图如图) )二、微分的几何意义二、微分的几何意义函数的微分函数的微分对应的增量对应的增量,增量时增量时;是曲线的纵坐标是曲线的纵坐标就是就是切线切线纵坐标纵坐标12求法求法1. 基本微分公式基本微分公式三、微分公式与运算法则三、微分公式与运算法则函数的微分函数的微分计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.132. 运算法则运算法则函数的微分函数的微分14例例解解例例解解函数的微分函数的微分15结论结论微分形式的不变性微分形式的不变性3. 复合函数的微分法复合函数的微分法此此结论用于求复合结论用于求复合函数的导数函数的导数,有时有时能简化运算能简化运算.函数的微分函数的微分无论无论x 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 函数函数的微分形式总是的微分形式总是16例例解解 法一法一 用复合函数求导公式用复合函数求导公式法二法二 用微分形式不变性用微分形式不变性 在计算中也可以不写中间变量在计算中也可以不写中间变量,直接利用直接利用微分形式不变性微分形式不变性.函数的微分函数的微分17例例例例解解函数的微分函数的微分18例例解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.函数的微分函数的微分19函数的微分函数的微分例例解解 法一法一 把把 作为一个整体作为一个整体,关于关于有有求导求导,法二法二 把导数看作微分之商把导数看作微分之商,分子分子,分母分别求微分分母分别求微分,有有用了用了微分形式不变性微分形式不变性.20例例解解函数的微分函数的微分21例例解解四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用函数的微分函数的微分1. 计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值222. 计算函数的近似值计算函数的近似值函数的微分函数的微分曲线曲线的切线的表达式的切线的表达式.通常称为函数通常称为函数的一次近似或线性近似的一次近似或线性近似.23例例解解函数的微分函数的微分24函数的微分函数的微分25常用的几个一次近似式常用的几个一次近似式函数的微分函数的微分2. 计算函数的近似值计算函数的近似值26证证例例解解 由公式由公式函数的微分函数的微分27例例解解 (1)(2)函数的微分函数的微分28定义定义由于测量仪器的精度、条件和方法等各种由于测量仪器的精度、条件和方法等各种因素的影响因素的影响,测得的数据往往带有误差测得的数据往往带有误差,带有误差的数据计算所得的结果也会有误差带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,把它叫做把它叫做间接测量误差间接测量误差. .的的绝对误差绝对误差. .的的相对误差相对误差. .函数的微分函数的微分3. 误差估计误差估计而根据而根据那末那末叫做叫做叫做叫做29问题问题在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得办法办法 将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内.即即函数的微分函数的微分绝对误差限绝对误差限 ,的的相对误差限相对误差限 .30函数的微分函数的微分根据直接测量的根据直接测量的x值按公式值按公式计算计算y值时值时, 如果已知测量如果已知测量x的绝对误差限是的绝对误差限是即即 那么那么, y的绝对误差的绝对误差即即y的的绝对误差绝对误差(限限)约为约为即即y的的相对误差相对误差(限限)约为约为一般一般,31例例解解函数的微分函数的微分 y的的绝对误差绝对误差(限限)约为约为面积面积y的的绝对误差绝对误差(限限)为为面积面积y的的相对误差相对误差(限限)为为32微分概念微分概念 微分的基本思想微分的基本思想微分的几何意义微分的几何意义微分公式与运算法则微分公式与运算法则五、小结五、小结函数的微分函数的微分导数与微分的关系导数与微分的关系就是切线纵坐标对应的增量就是切线纵坐标对应的增量熟记熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分微分公式、用一阶微分形式不变性求微分以直代曲以直代曲33函数的微分函数的微分微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用34思考题思考题1 分析分析函数的微分函数的微分35 一阶微分形式不变性在后面的积分和一阶微分形式不变性在后面的积分和微分方程中常常用到微分方程中常常用到.思考题解答思考题解答函数的微分函数的微分36思考题思考题2函数的微分函数的微分 2002年考研数学二年考研数学二, 3分分 设函数设函数 可导可导, 当自变量当自变量 处取得增量处取得增量增量增量 的的线性主部线性主部为为 则则 相应的函数相应的函数 解解37作业作业习题习题2-5 (1222-5 (122页页) )1. 2. 3.(1) (4) (6) (8) 4. 函数的微分函数的微分6. 7.(2) 9.(1) (2) 10.(2) 12.38