理学理学水资源课件水资源课件水资源评价与管理水资源评价与管理本章内容：本章内容：5.1概述5.2水资源系统的数学模型5.3线性规划5.4动态规划5.5信息系统与决策支持系统水资源评价与管理水资源评价与管理5.1概述5.1.1系统（1）集合性 （2）相关性（3）目的性（4）适应性（5）整体性水资源评价与管理水资源评价与管理表表5-1某水力发电系统的特征表某水力发电系统的特征表集合性大坝水轮机组发电机组变电站输电网络相关性输入动力发电输出目的性水能机械能电能适应性满足负荷要求，最优状态集体性以发电最多，成本低为准则水资源评价与管理水资源评价与管理5.1.2 系统工程定义：系统工程是一门选定方案的科学，即从大量包含有相应工程内容的可行方案中，选择某一组活动方案，它能在符合政治、经济、资源、社会和其它自然科学要求的各种约束条件下，最好地满足需要决策的全部目标要求。内容 ：从整体概念出发，根据一些拟定的最优准则，运用运筹学、信息论、控制论、电子计算机以及其它一些先进的应用数学来研究和分析某项大型的复杂的系统。 水资源评价与管理水资源评价与管理5.1.3系统分析5.1.3.1系统的模型化（1）确定决策变量。 （2）确定目标函数。 （3）确定约束条件。 5.1.3.2系统的最优化 5.1.3.3系统的综合评价 水资源评价与管理水资源评价与管理5.1.4.1水资源系统及其特点定义：在水资源开发利用中的各种水源（河流、湖泊、地下水等）、各种水利工作单元（防洪工程、灌溉工程、水力发电工程、城市及工业给水工程等）和服务对象（防洪、灌溉、发电、给水等）所构成的系统称为水资源系统。 特点：多学科性。 复杂性。 随机性和非线性。 多目标性。 5.1.4水资源系统分析水资源系统分析水资源评价与管理水资源评价与管理5.1.4.2水资源系统分析解决的主要问题（1）规划问题 （2）设计问题（3）施工问题（4）运行管理问题5.1.4.3水资源系统分析方法（1）最优化方法 （2）模拟技术 水资源评价与管理水资源评价与管理5.1.4.4水资源系统分析的步骤（1）目标的鉴别和表达 （2）目标函数的建立（3）系统模型的构造（4）各种方案效果的估算和评价（5）最优方案的选择水资源评价与管理水资源评价与管理5.2 水资源系统的数学模型5.2.1 模型的概念 模型是对原型的模拟形式，是对实际事物的一种描述，是系统本质属性的抽象表示，代表了系统的主要特征。按其基本性质分为：（1）形象模型（2）数学模型（3）模拟模型 水资源评价与管理水资源评价与管理5.2.2 建立模型的一般要求（1）模型应准确、适应。 （2）模型应力求简单。 （3）尽量借鉴标准形式。 （4）利用模型模拟的系统要能操作和控制，否则建立的模型毫无意义。水资源评价与管理水资源评价与管理5.2.3 水资源系统中常用的模型 根据目标函数和约束条件的不同特性来划分，最常见的有线性规划模型、非线性规划模型和动态规划模型。此外，还有混合整数规划模型、线性随机规划模型及多目标规划模型等。在水资源系统设计的不同阶段，采用不同的模型。例如筛选方案时，用解析的筛选模型；准确分析时，采用仿真模型；确定项目的开发顺序时，采用排序模型等。根据模型的用途不同，可将整个系统模型分为灌溉模型、发电模型、防洪模型、航运模型等。水资源评价与管理水资源评价与管理 5.3 线性规划线性规划的数学模型，可写成如下一般形式：目标函数 （5-1）约束条件 （5-2） a11x1+a12x2+a1nxn，=，b1a21x1+a22x2+a2nxn，=，b2am1x1+am2x2+amnxn，=，bm水资源评价与管理水资源评价与管理上述一般形式写成如下缩写形式 : 目标函数 （5-3）目标函数 （5-4） 水资源评价与管理水资源评价与管理此组公式定义了一个线性规划模型，其模型具有以下一些特征：（1）模型中都有一个目标函数和一定的约束条件，且目标函数和约束方程都是线性的，即它们均可用线性代数方程或线性不等式表示。（2）模型中有一组未知变量xj（j=1，2，n），这组未知变量的一组确定值代表了一个具体方案。通常称这些未知变量为决策变量，它们都是非负的。（3）模型都是求最优问题，主要以目标函数实现最优化极大化或极小化。水资源评价与管理水资源评价与管理5.3.2 线性规划的图解法【例5-1】用图解法求解下面线性规划问题：目标函数 约束条件解：解：模型中约束式只含有两上未知的决策变量，而且都是线性的，因此均可在平面图形上用直线表示，图解分析见下图。 maxz=2x1+3x2x1+2x284x116 4x212 x1，x20水资源评价与管理水资源评价与管理同时满足x1，x20，x1+x28，4x116及4x212约束条件的点位于由坐标轴x1，x2及三条直线所包围的凸多边形0ABCD的边界上或凸多边形内（图中阴影部分），则凸边形上的每一个点（包括边界点）都是这个线性规划问题的可行解，即满足所有约束条件（包括非负约束）的解。 水资源评价与管理水资源评价与管理（1）假定一个目标函数值，本例中假定z=6，在图上作直线2x1+3x2=6，见图上的EF线，在EF线上同时又位于可行域0ABCD上的所有点都具有假定的目标函数值z=6。（2）为了寻求目标函数的最大值maxz，可平行移动直线EF，使其尽可能远离坐标原点，而又至少与可行域0ABCD有一个交点（切点）。这个交点的目标函数值z实现最大化，其坐标值即为问题的最优解。本例的C点就是这样的点，C点是直线4x1=16和直线x1+2x2=8的交点，因此解方程组：得C点的坐标（4，2），可算得z=14。水资源评价与管理水资源评价与管理（1）无穷多最优解【例5-2】用图解法解下面线性规划问题： 目标函数 结束条件 maxz=2x1+4x2水资源评价与管理水资源评价与管理解：确定线性规划问题的可行域，如图中凸多边形0ABCD。假定z=4作出表示目标函数直线2x1+4x2=4，可知此直线与约束条件x1+2x28的边界线平行。当z值由小变大时，将与线段BC重合。线段BC上的任意一点都使z取得相同的最大值，此时称这个线性规划问题有无穷多最优解（多重解）。 水资源评价与管理水资源评价与管理（2）无最优解【例5-3】用图解法求解下面线性规划问题： 目标函数 约束条件 max z=3x1+2x2水资源评价与管理水资源评价与管理解：根据所给约束条件确定可行域，如图所示。从图中可看出，该问题的可行域无界目标函数值可以增大到无穷大，此时称这个线性规划问题无最优解或无界解。出现这种情况时，说明数学模型缺乏必要的约束条件，在建模时应注意。 水资源评价与管理水资源评价与管理（3）无可行解【例5-4】用图解法求解下面线性规划问题： 目标函数 约束条件 max z=4x1+3x2水资源评价与管理水资源评价与管理解：根据约束条件，确定问题的可行域，如图所示。由图可以看出，同时满足所有约束条件的点不存在，即该问题的可行域为空集。因此本问题无可行解，当然也不存在最优解。出现这种情况时，说明数学模型的约束条件有矛盾，这是不合理的，建模时应注意。水资源评价与管理水资源评价与管理求解一般的多维线性规划问题的基本原则：（1）两个变量的二维线性规划问题的可行域 般的为凸多边形，多维线性规划问题的可行域一般为凸多面体。（2）若线性规划问题存在最优解，则最优解一定位于可行域的凸多边形（凸多面体）的某个顶点上，该顶点为两个（多个）约束条件的交点。水资源评价与管理水资源评价与管理5.3.3 线性规划问题的标准型和典范型5.3.3.1线性规划问题的标准型标准形式：目标函数 （5-5）约束条件（5-6） 水资源评价与管理水资源评价与管理简写 ：目标函数 （5-7）约束条件 （5-8）水资源评价与管理水资源评价与管理上述标准形式用向量和矩阵的形式表示为 ：目标函数 （5-9）约束条件 （5-10）式中： C为价值向量，是一个（1n）维行向量； X为决策变量向量，是（n1）维列向量； A为约束条件的（mn）维系数矩阵，一般mn； B为资源向量，是（m1）维列向量。水资源评价与管理水资源评价与管理其中： 水资源评价与管理水资源评价与管理（1）如果是求目标函数最小值问题，即目标函数为minZ=CX，这时需将目标函数最小化变换为最大化。令ZZ，于是得到max ZCX。Z的最优值的相反数即为原问题的最优解。（2）约束条件为不等式。约束条件为“”形式。在不等式的左端加上一个非负的新变量即可化为等式。新增加的非负变量称松弛变量。约束条件为“”形式。在不等式左端减去一个非负的新变量即可化为等式。新增的变量称为剩余变量，也可称为松弛变量。（3）若决策变量中有取值无约束的变量xj可以用两个非负的新变量之差来代替，将变量xj写成xj-xj，新变量xj和xj为非负变量。水资源评价与管理水资源评价与管理5.3.3.2线性规划问题的典范型n为变量m个约束方程的线性规划问题的典范型为：目标函数 （5-11）约束条件 （5-12）其中x1，x2，xn为基变量，而xm+1，xm+2，xn是非基变量。 水资源评价与管理水资源评价与管理可将基变量非基变量表示： （5-13） 令非基变量全部为零 即xm+1=xm+2=xn=0 可以求得线性规划问题的一个解，即基本解：x1=b1，x2=b2，xm=bm，xm+1=xm+2=xn=0如果全部的bi0（i=1，2，m），则这个基本解也是可行解，称为基本可行解。水资源评价与管理水资源评价与管理【例5-5】已知如下线性规划问题，求其基本可行解。 目标函数 max z=4x1+3x2 约束条件水资源评价与管理水资源评价与管理解：首先把原线性规划问题化为标准型：目标函数 约束条件 基本解：x3=6，x4=3，x5=4，x1=x2=0 水资源评价与管理水资源评价与管理5.3.4 单纯形法 5.3.4.1单纯形法的基本思路（1）确定初始基本可行解 基本可行解相应的目标函数值为z1 （2）判断目标函数的增优性 改变初始基本可行解中的基变量获得另一个基本可行解，得到新的目标函数值z2 ，=Z2Z10，目标函数是增优的，需要进一步迭代，求得比原可行解更优的基本可行解。 =Z2Z10目标函数不再增优，即是最优解。 =Z2Z1为检验数。水资源评价与管理水资源评价与管理（3）进行基变换 在基变换过程中，使非基变量成为基变量称为“进基”，基变量换出来成为非基变量称为“出基”。 基变量的确定。任何一个非基变量成为基变量，即它的值从零增加到一个正数都使得目标函数有相应的变化，则可求得相应的检验数j。如果j0，则说明j增加目标函数增大，这时要将非基变量j变换到基变量中去作为进基变量。若有两个以上的j0，为了使目标函数增加很快，一般取j0中的大者，即max（j0）=，则对应的先进基作为进基变量。水资源评价与管理水资源评价与管理出基变量的确定。分析下面的线性规划问题。目标函数 （5-14）约束条件 （5-15） 水资源评价与管理水资源评价与管理 xj作为进基变量成为基变量，而x1=x2=xj-1仍为非基变量,则约束方程变为：为了保证xj+1 ，xj+2，xj+m0，满足非负约束，xj的 最大增加量应为 中的较小值，即 ，较小值相应的变量为零成为非基变量。 水资源评价与管理水资源评价与管理（4）确定最优解 经过基变换后，组成了新的基变量，求出对应于新的基变量的线性规划问题数学模型的典范，就可得到一个新的基本可行解。将其作为初始的基本可行解，重复步以后的步骤，直到目标函数不再增优，所有非基变量的检验数都小于或等于零，此时的基本可行解就是最优解。水资源评价与管理水资源评价与管理5.3.4.2单纯形法的列表计算【例5-6】求解下面线性规划问题。目标函数 约束条件 解： （1）基变量为x4，x5、x6，非基变量为x1、x2、x3。由此可得到一组初始基本可行解，x1=x2=x3=0，x4=60，x5=10，x6=20。 水资源评价与管理水资源评价与管理cj1-21-111bCBxBx1x2x3x1x5x6-1x131110060201x51*-120101011x611-10012020j2-11000z =-30表表5-2初始单纯形表初始单纯形表A典范线性方程的系数矩阵；b约束议程组中等式右端的常数列向量；cj表示变量xj的系数；xB表示基变量对应的目标函数系数向量；z目标函数值，用公式z=cBb计算。水资源评价与管理水资源评价与管理（2）计算各非基变量的检验数，判断目标函数的增优性。j的计算公式为：得： 2 = -1、 3 =1各基变量的检验数为0，即 非基变量检验数 ，说明目标函数还不是最优的，需进一步换基迭代。水资源评价与管理水资源评价与管理（3）确定进基变量和出基变量。 按非基变量检验数较大者先进基的原则选择进基变量， ，选择非基变量x4先进基 ，称第一列为进基列。按最小比值准则确定出基变量 ，将进基列的所有正数去除它对应的常数项b，并取最小值。即： 确定出基变量是在第二行上的基变量x5，则第二行为出基行。 水资源评价与管理水资源评价与管理（4）进行迭代运算。进基列与出基行的交叉元素称为主元，本例主元素为a21=1（记号“*”）。1）出基行所有元素都除以主元素，使主元素变为1，形成一行新元素（a2j，b）,本例为 2）通过行变换（高斯消去法）将进基列上其它元素变成零。 第一行新元素 第三行新元素 水资源评价与管理水资源评价与管理cj1-21-111bCBxBx1x2x3x4x5x6-1x404-51-303030/41x11-12010101x602*-30-11105j01-30-20z=-10表表5-3同理得：2 =13 = -3、 5= -2基变量检验数：表5-3中，x2的检验数为正值，因此还需将x2进基。用最小比值准则确定出基变量，即： 确定x6出基。然后，确定主元素为a32，进行迭代计算，得表5-4。 水资源评价与管理水资源评价与管理cj1-21-111bCBxBx1x2x3x4x5x6-1x40011-1-2101x1101/201/21/2151x201-3/20-1/21/25j00-3/20-2/3-2z=-5表表5-4由表5-4可以看出，这时全部检验数j0，说明目标函数不能进一步增优了。因此目前的基本可行解就是最优解，即：x1=15，x2=5，x4=10，x3=x5=x6=0目标函数最优值z*=-5水资源评价与管理水资源评价与管理单纯形法列表计算步骤（1）将线性规划问题化为典范型，建立初始单纯形表格，计算目标函数值z=CBb。（2）按公式j=cj-CBb计算各非基变量的检验数，如所有的检验数j0，则达到最优值，计算到此结束。（3）如有j为正数，选取j最大值对应的列为进基列，对应的非基变量成为基变量。（4）应用最小值准则确定出基行，即最小比值对应的变量为出基变量。（5）确定主元素，进行初等行变换，求出对应于新基变量的典范型。列出新的单纯形表格，重新计算检验数j及目标函数。（6）回到第（2）步，反复进行，直到最后。 水资源评价与管理水资源评价与管理 解的判别：解的判别： （1）最优解。某一个基本可行解，如果其中所有非基变量的检验数都小于或等于零，即j0，则这个基本可行解为最优解。（2）唯一最优解。基本可行解中所有非基变量的检验数都小于零，即j0，说明非基变量xk应进基，但进基列的元素都小于或等于零，即aik0，将无法确定出基变量。这时，如果xk进基，目标函数可以无限域增加，那该线性规划问题具有无界或称无最优解。水资源评价与管理水资源评价与管理【例5-7】用大M法求解前例线性规划问题。 目标函数 约束条件 5.3.4.3带人工变量的单纯形法 对于具有“”不等式约束的线性规划问题，引入松弛变量化为标准型后，不一定就是典范型。为了将标准型化为典范型，就需要人为地加入一些非负变量，称为人工变量。水资源评价与管理水资源评价与管理解：将线性规划问题化为标准型为：目标函数约束条件 由第一个约束方程，x4可作为基变量，在后两个方程中加入人工变量x10，x80，得到线性规化问题的典范型： 水资源评价与管理水资源评价与管理目标函数 约束条件 由此方程可知，x4、x7、x8作为基变量，x1、x2、x3、x5、x6作为非基变量组成的初始基本可行解为x4=12，x7=4，x8=3，x1=x2=x3=x5=x6=0，列出初始单纯形法。在此基础上进行换基迭代，求出最优解。其计算过程见表5-5。 水资源评价与管理水资源评价与管理cj13-1000-M-MbCBxBx1x2x3x1x5x6x7x80x41121000012-Mx7-1010-10104-Mx801*000-1013j-M+1M+3M-10-M-M00z = - 7M0x4102101009-Mx7-101*0-101143x201000-10-M-33j-M+10M-10-M30-1z = - 4M+90x4300121*-2-11-1x3-1010-101043x201000-1013j0000-13-M+1-M-3z=50x6300121-2-11-1x3-1010-101043x23102-204j-900-377-M-Mz*=8表表5-5水资源评价与管理水资源评价与管理5.3.5 线性规划在水资源系统分析中的应用（1）水量分配问题如图5-5，有甲、乙两个水库同时给A、B、三个城市供水。甲、乙水库的日供水量分别为W1（万m3/d）、W2（万m3/d）。、三个城市的日需水量分别为V1（万m3/d）、V2（万m3/d）、V3（万m3/d）。试作出在满足三个城市供水的情况下，输水费用最小的方案。水资源评价与管理水资源评价与管理 设甲水库向三城市日供水量分别为x11、x12、x13，乙水库向三城市日供水量分别为x21、x22、x23。该问题的数学模型为：目标函数 约束条件 水资源评价与管理水资源评价与管理（2）灌区开发的优化问题某灌区现有耕地面积F亩，上级每年对该灌区下达的生产任务每年可投入的劳动日数为G（元/d）（折合为每日工资总额），每年分配该灌区的灌溉水量为W（m3），各种作物的灌溉定额、亩产、亩产值及亩投工数如表5-6所示，要求规划各种作物的种植面积，使得整个灌区的总产值最大。作物灌溉定额平均亩产亩产值亩产投工数计划产量粮食W1P1c1g1A1蔬菜W2P2c2g2A2果类W3P3c3g3A3表表5-6作物灌溉定额、亩产值及亩投工数情况表作物灌溉定额、亩产值及亩投工数情况表水资源评价与管理水资源评价与管理设各种作物的种植面积分别为x1、x2、x3，则该问题的数学模型为：目标函数 约束条件 水资源评价与管理水资源评价与管理（3）水质管理问题 沿河流兴建的大量工厂如化工厂、造纸厂、印染厂等，不断地向河流内排泄工业废水，导致河流污染、水质恶化。为保护环境，规定每个污染源在向河流泄放污水前，一定要对污水进行净化处理。在实际的水质管理问题中很自然的一个目标是：规划各污染源的污水处理水平（或效率），既满足规定的水质要求，又使污水处理的总费用最小。水资源评价与管理水资源评价与管理线性规划的问题：（1）线性化是近似的 ，局限于线性关系的问题 ，往往要在问题的求解方便性和解的求效性之间作出权衡、比较和选择；（2）线性规划寻求的解仅是决策空间的一个点，不能处理系统状态的变化和连续决策问题，也就不可能掌握系统的动态变化。 水资源评价与管理水资源评价与管理5.4 动态规划动态规划现代水资源系统有如下几个特点：（1）水资源系统输入的径流系列总是随机的，而非确定性的。（2）由于所解决问题的复杂性，其目标函数和约束方程大多是非线性的。（3）水资源开发利用中有许多问题不是决策空间里的一个点，而是需要一系列连续决策，即决策是非静态而是动态的。 这些特点使得线性规划的应用很不方便，最合适的方法就是动态规划法。（20世纪50年代由美国数学家贝尔曼（Bellman） 水资源评价与管理水资源评价与管理5.4.1多阶段决策问题及其求解方法多阶段决策问题及其求解方法【例5-8】某地区要修建一条引水管路，从水源地A至用水地点E有若干条线路可供选择，如图5-7，给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间的距离（或费用），试求一条由A至E的铺线路，使总距离为最短（或总费用量小）。 图图5-7水资源评价与管理水资源评价与管理5.4.2 动态规划的基本思路和基本方程5.4.2.1动态规划的有关概念（1）阶段和阶段变量把所遇问题的过程，恰当地分为若干相互联系的阶段，以便按一定的次序去求解。描述阶段的变量k称为阶段变量 。（2）状态和状态变量状态表示每个阶段起始的状况，每一阶段的起点又是前一阶段的终点。状态通常用一个变量来描述，称为状态变量 。（3）决策和决策变量当过程处于某一阶段的某一个状态时，可以对问题作出不同的选择和决定，以确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。描述决策变量，称为决策变量 。 水资源评价与管理水资源评价与管理（4）策略和最优策略在多阶段决策过程中 ，若各阶段的决策变量均已确定，由过程的开始阶段到终止阶段全部决策组成的集合，为一个策略。由过程的某个阶段开始到终止阶段的决策组成的集合，为一个子策略 。称能够达到目标要求的策略为最优策略。（5）状态转移函数描述由k阶段到k+1阶段的状态转移规律，称为状态转移函数。（6）指标函数和最优值函数 用来衡量每一阶段决策效益的数量指标，称为指标函数，它是该阶段和以后各阶段决策变量的函数。指标函数的最优值，称为最优值函数。 水资源评价与管理水资源评价与管理5.4.2.2 动态规划的基本思想和基本方程用动态规划方法求解例5-8的最短路线问题如下： 当k=4时，由D1，D2，D3到终点E只有一条路线，故：当k=3时，由C1，C2，C3出发到E点要经过Di（i=1，2，3）。则有：水资源评价与管理水资源评价与管理其相应的决策为x3（C1）=D1其相应的决策为x3（C2）=D2水资源评价与管理水资源评价与管理其相应x3（C3）=D2当k=2时：相应的决策分别为x3（B1）=C1，x2（B2）=C1，x2（B3）=C3。水资源评价与管理水资源评价与管理当K=1时，出发点只有一个A点，则：且相应的决策为x1（A）=B1。于是得到从起点A到终点E的最短距离为20。 为了找出最短路线，按计算的顺序反推之，由x1（A）=B1，x2（B1）=C1，x3（C1）=D1，x4（D1）=E而组成一个最优策略，从而找出由A到E的最短路线为AB1C1D1E。水资源评价与管理水资源评价与管理从上面的计算过程中可看出，k阶段现k+1阶段之间的递推关系为：可写成一般形式的递推关系为： （5-20）式（5-20）称为动态规划的基本方程。水资源评价与管理水资源评价与管理5.4.2.3动态规划的最优化原理 对于多阶段决策问题，贝尔曼在20世纪50年代提出了著名的最优化原理。简言之，一个最优策略的子策略总是最优的。动态规划正是以这一最优化原理作为理论基础的，动态规划的基本思路实际是最优化原理的体现。它是通过建立的递推决策，求得各阶段及其所有后续阶段的最优决策构成最优子策略，进而求得全部过程的最优决策构成最优策略。 水资源评价与管理水资源评价与管理5.4.3 动态规划模型的建立及求解5.4.3.1 动态规划模型的建立（1）将实际问题的过程划分成恰当的阶段，明确相邻阶段间关系的规律，正确写出状态转移函数。 （2）正确选择状态变量Sk，使它既能描述阶段递推的演变过程，正确写出指标函数关系，又要满足无后效性。 （3）明确所求解问题始点和终点的边界条件，并确定各阶段状态变量及边界条件的数量指标，以便从一端开始进行递推求解。水资源评价与管理水资源评价与管理5.4.3.2动态规划模型的求解动态规划模型的求解（1）划分阶段。根据实际问题的时间、空间，及物理实体的特征，将整体问题划分为n个阶段。（2）根据题意写出实际问题的数学模型。（3）确定决策变量xj及各阶段的允许决策集合Dk（Sk）。（4）确定状态变量Sj及其各阶段的可达状态集合Sk。（5）由数学模型转化写出递推关系式及边界条件，这是应用动态规划方法求解的关键一步。（6）应用动态规划的逆序解法（顺序解法）进行各阶段递推求解，得到整个问题最优解。水资源评价与管理水资源评价与管理【例5-9】某地区为了满足用水需要，准备投资80万元，建设三个不同类型的水利工程。每种工程所发挥的年效益与投资数有关，见表5-7。要求合理分配3个水利工程的开发投资，使得每年所获得的总效益最大。投资效益工程020406080101.58.09.510.0201.567.37.5302.64.55.15.3表表5-7水资源评价与管理水资源评价与管理解：（1）以每个水利工程为阶段，为3个阶段。（2）设xj（j=1，2，3）为分配给第j个工程投资数；gj（xj）为分配给第j个工程的投资数为xj时该工程所能获得的效益，根据题意可写出问题的数学模型如下：目标函数 约束条件 （3）取分配给j工程的投资数xj为决策变量，由题意可知，允许决策集合为：水资源评价与管理水资源评价与管理（4）取分配给j工程的允许投资数xj为决策变量，由题意可知，可达状态集合为 ，状态转移函数为Sj+1=Sj-xj。（5）根据建立的数学模型写出递推关系式为： 边界条件（6）按动态规划的逆序解法进行分阶段递推求解。决策过程的每个阶段的计算列表，见表5-7（a）表5-7（c）。水资源评价与管理水资源评价与管理当k=3时，根据边界条件 就是如果把允许的投资全部分配给第三个工程，可获得的最大工程效益。 为满足最大工程效益的决策值。 状态变量S302040608002.64.55.15.302040608000000表表5-7（a）水资源评价与管理水资源评价与管理当k=2时，应同时考虑2和3两项工程，这时有：状态变量S2S3x2 =0204000000202.61.5+0=1.52.6020404.51.5+2.6=4.16.0+0=6.06.0400605.11.5+4.5=6.06.0+2.6=8.67.3+0=7.38.64020805.31.5+5.3=6.66.0+4.5=10.57.3+2.6=9.97.5+0=7.510.54040表表5-7（b）水资源评价与管理水资源评价与管理当k=1时，应同时考虑1，2，3三个工程，这时有：状态变量S1S20204060808010.51.5+8.6=10.18.0+6.0=14.09.5+2.6=12.110+0=10.0144040表表5-7（c）水资源评价与管理水资源评价与管理由5-7（c）可得本问题的最优值为14，此时x1=40，S2=40；再由表5-7（b）可查得当S2=40时，x2=40，S3=0；再由表5-7（a）查得当S3=0时，x3=0。因此得到本问题的最优解为：x1=40，x2=40，x3=0；即工程投资的最优分配方案为：第一个工程投资40万元，第二个工程投资40万元，第三个工程不投资，所获得的年工程效益为14万元。水资源评价与管理水资源评价与管理5.4.4 动态规划在水资源系统分析中的应用5.4.4.1资源分配问题（1）灌区最优配水方案的拟定某灌区种植四种作物A、B、C、D，由某一水库供水灌溉，水库可提供的年水量为Q=400万m3。经试验，四种作物灌溉效益B与作物灌溉供水量q有关，见下表，要求拟定水库对灌的最优配水方案。供水量效益作物0100200300400A018253035B020252830C013264042D015253032水资源评价与管理水资源评价与管理按作物种类将整个问题划分为4个阶段。取供给每种作物的灌溉供水量为决策变量，以xi表示（i=1，2，3，4）。取各种作物可供分配的水量为状态变量，以Si（i=1，2，3，4）表示。根据题意可写出问题的数学模型为： 目标函数 约束条件水资源评价与管理水资源评价与管理若采用逆序动态规划法求解，则递推方程式为：最后得到最优配水方案为x1=x2=x3=x4=100万m3，即给供四种作物A、B、C、D的灌溉供水量均为100万m3，最大灌溉效益为66万元。水资源评价与管理水资源评价与管理（2）水电站群装机容量的最优分配问题【例5-10】某电力系统建n座水电站，通过水能计算已确定水电站群的总装机容量为N，已知水电站i（i=1，2，3，n）的容量xi的变化范围为NiminxiNimax及其相应的费用函数Ci=fi（xi）（非线性）。Ci为兴利i水电站的总费用，包括土建、机电及输电线路的投资和年运行费用。求总装机容量的最优分配。解：将n个水电站的容量分配过程划分为n个阶段。取各水电站的装机容量xi为决策变量，可供第i阶段分配的总装机容量为状态变量。状态转移方程为Si-1=Si-xi。水资源评价与管理水资源评价与管理目标函数 约束条件若用逆序动态规划法求解，则递推方程组为： 水资源评价与管理水资源评价与管理5.4.4.2 污水处理问题【例5-11】某一污水处理厂，包含5道连续工序，其污水处理过程如图5-8，需要满足的条件是：（1）总净化污水量达90%；（2）各道工序净化的污水量以Ri（i=1，2，3，4，5）表示，20R130，0R230，0R310，0R420，0R530。每道工序的费用取决于进入该工序i的污水量Ii和通过该工序交货的污水量Ri（%），以Ci（Ii，Ri）表示，它是个非线性函数，见表5-9所示。寻求每道工序最佳净化污水量Ri，以使总净化污水量达90%所需费用最小。水资源评价与管理水资源评价与管理工序i12345工序i12345进入污水量Ii净化污水量Ri年费用Ci (Ii ，Ri)进入污水量Ii净化污水量Ri年费用Ci (Ii ，Ri)10020560309100301050107348010331502058802092503010803013401085570104524020712702010340301870301530108860106233020101260204620108表表5-9费用函数费用函数水资源评价与管理水资源评价与管理解：以每道工序作为一个阶段，将问题分为5个阶段。取进入每道工序的污水量Ii为状态变量，净化的污水量Ri为决策变量。目标函数 逆序动态规划法 ：约束条件 水资源评价与管理水资源评价与管理5.4.4.3生产或水库调度问题 对一给定的生产项目制度生产计划时，当把生产计划周期分为n阶段时，就是一个多阶段决策过程。生产计划最优调度问题的目标函数是要求在整个计划期内总的生产成本和库存费用之和最小；约束条件是在满足所有用户需要量的同时，使库存量在整个计划期末为零。 在水电站运行中制定水库最优调度计划的问题，与上述最优生产计划问题是同一类型的问题。 水资源评价与管理水资源评价与管理5.5 信息系统与决策支持系统5.5.1 信息系统（IS） 5.5.2 决策支持系统(DSS) 5.5.3 智能决策支持系统(IDSS)5.5.4 人工神经网络(ANN)和遗传算法(GA)水资源评价与管理水资源评价与管理