2.2 作用在弹（箭）上的力作用在弹（箭）上的力 弹弹（箭箭）在在空空间间飞飞行行，改改变变运运动动速速度度和姿态，是外力作用的结果。和姿态，是外力作用的结果。 弹（箭）受外力有：重力弹（箭）受外力有：重力G 空气动力空气动力R 推力推力P 2.2.1 推力推力P 变质量物体的动力学方程：变质量物体的动力学方程： ：是变化的质量：是变化的质量 相对于相对于 的速度。的速度。 ：是由于质量变化产生的力：是由于质量变化产生的力 0 ，系统质量增加，制动力，速度降低，系统质量增加，制动力，速度降低 0 ，系统质量减小，系统质量减小 ，推力，推力 ，速度增加，速度增加弹（箭）发动机弹（箭）发动机 工作时工作时 0 火箭推力火箭推力: : 1 1）由火箭发动机喷出的燃气流质量变化产）由火箭发动机喷出的燃气流质量变化产 生生 ，称推力动分量；，称推力动分量； 2 2）由发动机喷出气流压力）由发动机喷出气流压力 与当地大气压与当地大气压 力不等产生的，称推力静分量。力不等产生的，称推力静分量。 火箭推力大小与飞行速度无关，与发动火箭推力大小与飞行速度无关，与发动机喷出的燃气速度成正比，并随火箭高度机喷出的燃气速度成正比，并随火箭高度增加而增加。增加而增加。 推力方向：与弹（箭）纵轴重合，通过推力方向：与弹（箭）纵轴重合，通过 质心，不产生力矩。质心，不产生力矩。：喷口处的横截面积。喷口处的横截面积。 具体表达式见书具体表达式见书P41 P41 式式2-22,2-23.2-22,2-23. 书上两式是没有喷管摆动情况书上两式是没有喷管摆动情况. . 当有推力矢量控制时当有推力矢量控制时(即有喷管摆动即有喷管摆动)： 、 分别是偏航平面和分别是偏航平面和俯仰平面内的俯仰平面内的偏摆角。见偏摆角。见P42图图2-14。 2.2.2 空气动力空气动力R（或或气动力气动力 ） 当弹（箭）相对于空气介质运动时当弹（箭）相对于空气介质运动时产生的压力和摩擦力称空气动力。产生的压力和摩擦力称空气动力。 弹（箭）空气动力是指各部分空气弹（箭）空气动力是指各部分空气动力的总动力的总和，和，用用R R表示。表示。 R R的作用线与弹（箭）中心线的交点称的作用线与弹（箭）中心线的交点称压力中心（简称压心）。压力中心（简称压心）。 R常在常在速度坐标系速度坐标系中分解成：升力中分解成：升力 阻力阻力 侧向力侧向力 空气动力三个分力表达式空气动力三个分力表达式 : 动压动压: 相对空气速度相对空气速度: 火箭最大横截面积：火箭最大横截面积：气动系数气动系数:：附加攻角。：附加攻角。：附加侧滑角。：附加侧滑角。：升力系数对攻角的导数。：升力系数对攻角的导数。：侧向力系数对侧滑角的导数。：侧向力系数对侧滑角的导数。：马赫数：马赫数, 气流速度与音速的比值。气流速度与音速的比值。 空气动力作用于压心，通常压心不与空气动力作用于压心，通常压心不与质心重合质心重合,有力矩产生。有力矩产生。 求力矩公式见求力矩公式见 P46，式，式2-37 此式是气动力力矩相对于体坐标系的此式是气动力力矩相对于体坐标系的求解式。求解式。2.2.3 重力重力 重力重力= 地心引力地心引力+地球自转产生离心力地球自转产生离心力 离心加速度离心加速度: 引力由引力势函数对距离求微分得到引力由引力势函数对距离求微分得到. 其他参数见书其他参数见书P42 勒让德多项式勒让德多项式 带谐系数带谐系数 一般地球为扁球体，求解引力矢量一般地球为扁球体，求解引力矢量 见见P42 2-25式式. 通常将地球看成均质的球体时，引通常将地球看成均质的球体时，引力用式力用式2-27。2.2.4 控制力控制力F控制力是弹（箭）操纵力。控制力是弹（箭）操纵力。 弹（箭）产生控制力的方式通常有：弹（箭）产生控制力的方式通常有： 燃气舵偏转、摆动发动机或尾喷管。燃气舵偏转、摆动发动机或尾喷管。 书中是通过摆动发动机的推力矢量控制书中是通过摆动发动机的推力矢量控制产生控制力。产生控制力。 （见书（见书P48） ：产生俯仰、偏航、滚动控制：产生俯仰、偏航、滚动控制的发动机综合摆角。的发动机综合摆角。控制力矩见式控制力矩见式2-46。2.2.6 发动机惯性力、力矩发动机惯性力、力矩 执行机构摆动发动机喷管执行机构摆动发动机喷管 ，而发动机，而发动机具有质量和转动惯量，即产生惯性力和具有质量和转动惯量，即产生惯性力和力矩。力矩。 见见P52 图图2-222.2.5 晃动力、力矩晃动力、力矩 是由于液体燃料在储箱内晃动产生的，是由于液体燃料在储箱内晃动产生的，火箭飞行时储箱晃动使液体震荡造成火箭飞行时储箱晃动使液体震荡造成 . 2.3 弹（箭）运动方程弹（箭）运动方程弹（箭）运动方程弹（箭）运动方程组组通常包括：通常包括： 1) 质心运动的动力学方程质心运动的动力学方程-弹（箭）弹（箭）质质 心的加速度与作用在质心上的力的相互心的加速度与作用在质心上的力的相互 关系式。关系式。 2) 绕质心运动的动力学方程绕质心运动的动力学方程-弹（箭）绕弹（箭）绕 质心的角加速度与作用的力矩之间的相质心的角加速度与作用的力矩之间的相 互关系。互关系。 3) 运动学方程运动学方程- A. 质心运动学方程质心运动学方程: 速度和位移关系。速度和位移关系。 B. 绕质心运动学方程绕质心运动学方程:角速度和角位移角速度和角位移 关系。关系。4)几何关系式和角度关系式几何关系式和角度关系式2.3.1 弹（箭）质心运动方程、绕质心弹（箭）质心运动方程、绕质心 运动方程运动方程 通常情况下认为弹（箭）是通常情况下认为弹（箭）是变质量刚变质量刚体体，在飞行过程中质心变化，内部各点质，在飞行过程中质心变化，内部各点质量与本体坐标系原点有相对运动量与本体坐标系原点有相对运动. 故弹故弹（箭）的运动是绝对运动加上相对运动。（箭）的运动是绝对运动加上相对运动。 1。变质量弹（箭）相对惯性坐标系的质。变质量弹（箭）相对惯性坐标系的质心动力学方程心动力学方程：本体本体坐标系相对惯坐标系相对惯性坐标性坐标系的系的转动角速度。角速度。 ：弹（箭）的一（箭）的一质点点质量。量。 变质量弹（箭）某时刻的动量：变质量弹（箭）某时刻的动量： （1） 又有又有 （动量守恒定理）（动量守恒定理）对变质量弹（箭）有：对变质量弹（箭）有： （2） 取取 : :是是发动机发动机排除的排除的质量相量相对系系统的速度的速度. . .由相对运动有式由相对运动有式:代入（代入（2）得：）得： （3） （4） 设：设： ：所有质量点到所有质量点到点距离的矢量和。点距离的矢量和。 把（把（4）代入（）代入（3）整理后）整理后 变质量弹（箭）运动方程有：变质量弹（箭）运动方程有： （各项含义见书（各项含义见书P38）（5）2. 变质量弹（箭）相对惯性坐标系绕质心变质量弹（箭）相对惯性坐标系绕质心 动力学方程动力学方程角动量守恒定律：刚体相对惯性坐标系中角动量守恒定律：刚体相对惯性坐标系中 的固定参考点转动的角动量的固定参考点转动的角动量( (动量矩）动量矩） 的变化率等于外力矩之和。的变化率等于外力矩之和。 即：即： 变质量物体某一时刻绕定点变质量物体某一时刻绕定点 的动量矩写成：的动量矩写成： 求导得：求导得： 代入并有代入并有 上式整理有上式整理有: 或或: 为变质量系统对为变质量系统对 的转矩。的转矩。 为为 运动产生运动产生转矩。转矩。而：而： （各项含义见书（各项含义见书P39） 实际工程中，一般为使问题简化，可以将实际工程中，一般为使问题简化，可以将质心运动与绕质心运动相互间影响小的因质心运动与绕质心运动相互间影响小的因素忽略。则质心和绕质心运动的动力学方素忽略。则质心和绕质心运动的动力学方程分别可写成：程分别可写成： 实际弹（箭）在实际弹（箭）在质心运动质心运动时，相对时，相对运动和晃动力等影响不大，可以考虑只运动和晃动力等影响不大，可以考虑只受到推力、空气动力和重力的作用。受到推力、空气动力和重力的作用。 但在绕但在绕质心运动质心运动时，应当考虑质心时，应当考虑质心的相对运动的转动作用，以及晃动力矩、的相对运动的转动作用，以及晃动力矩、发动机惯性力矩和空气动力力矩。发动机惯性力矩和空气动力力矩。 将上式中质心运动在惯性坐标系写成将上式中质心运动在惯性坐标系写成分量形式分量形式 ,绕质心运动在本体坐标系写成绕质心运动在本体坐标系写成分量形式分量形式,如下式如下式:动力学方程可改写成：动力学方程可改写成： :质心惯性坐标系加速度分量质心惯性坐标系加速度分量 . :非质量力的惯性坐标系视加速度非质量力的惯性坐标系视加速度分量.:绕绕体轴转动惯量体轴转动惯量. :外力矩体轴分量外力矩体轴分量 。本体坐本体坐标系中分量系中分量 如下如下: :推力在体轴上的分量推力在体轴上的分量 .:空气动力在体轴上的分量空气动力在体轴上的分量. 弹（箭）质量弹（箭）质量 求法求法: 推进剂消耗量；推进剂消耗量； 弹（箭）起飞重量；弹（箭）起飞重量； 弹（箭）瞬（箭）瞬时重量；重量； 推推进剂的秒耗量；的秒耗量； 每秒燃每秒燃烧消耗的消耗的质量量 经坐标变换惯性坐标系视加速度：经坐标变换惯性坐标系视加速度： 已知：已知： 又又 而而 展开有：展开有：弹（箭）为对称外型，弹（箭）为对称外型， 惯性积惯性积=0 整理有整理有:3. 相对惯性坐标系质心运动学方程和绕质相对惯性坐标系质心运动学方程和绕质 心运动学方程心运动学方程（1）质心运动学方程）质心运动学方程由由得得（2）绕质心运动学方程）绕质心运动学方程 根据关系根据关系 展开为展开为:绕质心运动学方程绕质心运动学方程: