2 2.1 1.5 5向量共线的条件与轴上向量坐标运算向量共线的条件与轴上向量坐标运算一二一、平行向量基本定理【问题思考】1.(1)若a=b(R),a与b是否平行?提示:平行.(2)若ab,是否一定有b=a(R)?提示:不一定.当a0时,必有b=a;当a=0,b0时,不存在R使b=a.2.填空:(1)平行向量基本定理如果a=b,则ab;反之,如果ab,且b0,则一定存在唯一一个实数,使a=b.(2)单位向量给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量,叫做向量a的单位向量,记作a0,_.一二A.矩形B.正方形C.等腰梯形 D.菱形答案:C一二二、轴上向量的坐标及坐标运算【问题思考】提示:-444 一二2.填空:(1)设a=x1e,b=x2e,若a=b,则x1=x2;反之,若x1=x2,则a=b;另外,a+b=(x1+x2)e.这就是说,轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.(3)在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=x2-x1.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.根据公式可得数轴上两点的距离公式:|AB|=|x2-x1|.一二3.做一做:已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,根据下列条件,求B的坐标x2.(1)x1=5,BA=6;(2)x1=-3,|AB|=7.答案:(1)-1(2)-10或4思考辨析判断下列说法是否正确,正确的打“”,错误的打“”.答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究三易错辨析轴上向量的坐标运算轴上向量的坐标运算【例1】已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.(1)若AC=5,求c的值;(2)若|BD|=6,求d的值;分析:解答本题首先根据条件表示出两点所对应的向量的坐标,然后求解或证明.探究一探究二探究三易错辨析解:(1)因为AC=5,所以c-(-4)=5.所以c=1.(2)因为|BD|=6,所以|d-(-2)|=6,即d+2=6或d+2=-6,所以d=4或d=-8.反思感悟首先利用数轴上点的坐标,计算出两点所对应向量的坐标,特别要注意向量坐标运算公式的顺序,还要注意模运算中可能会出现的两种情形.探究一探究二探究三易错辨析变式训练变式训练1已知数轴上A,B,C三点,若AB=2,BC=3,则 的坐标为()A.-5B.-1C.1D.5解析:AC=AB+BC=5.答案:D探究一探究二探究三易错辨析平行向量基本定理的应用平行向量基本定理的应用 探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析反思感悟证明三点共线可以利用向量共线来解决,注意选取的向量要有公共点,利用向量共线条件求参数,主要是根据a=b列出方程(组)、解方程(组).探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析利用平行向量基本定理证明几何问题利用平行向量基本定理证明几何问题【例3】如图所示,已知在梯形ABCD中,ABDC,E,F分别是AD,BC的中点,用向量法证明EFAB,EF= (AB+DC).分析:首先结合图形与所求证的问题,将几何条件向向量条件转化,再充分利用向量的线性运算与共线向量定理求证.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析反思感悟应用向量共线定理证明直线平行或三点共线问题时,关键是把一个向量用有关向量线性表示出来,即确定向量等式b=a(a0),再结合图形完成证明.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析易错点:因忽视0与任何向量平行而致误【典例】已知e10,R,a=e1+e2,b=2e1,若ab,则()A.=0B.e2=0C.e1e2D.e1e2或=0错解:因为ab,所以e1+e2=2ke1,kR.所以(2k-1)e1=e2.所以e1e2.故选C.错解:分析没有考虑2k-1可能为零而漏解.正解:因为ab,b0,所以存在实数k,使得a=kb,即(2k-1)e1=e2.因为e10,所以若2k-1=0,则=0或e2=0;若2k-10,则 ,此时e1e2,又0与任何一个向量平行,所以有e1e2或=0,故选D.答案:D探究一探究二探究三易错辨析纠错心得0的方向是任意的,规定0与任何向量平行.探究一探究二探究三易错辨析变式训练变式训练已知a=-2e,b=5e,试判断a,b的关系.3.已知数轴上两点A,B的坐标分别是-4,-1,则AB=.答案:34.已知e1,e2不共线,若a=3e1-4e2,b=6e1+ke2,且ab,则k的值为.答案:-8