14.2 微积分基本公式微积分基本公式 问题的提出问题的提出积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式小结小结 思考题思考题 作业作业 (v(t)和和s(t)的关系的关系)fundamental formula of calculus 第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分2 通过定积分的物理意义通过定积分的物理意义,例例变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为(v(t)和和s(t)的关系的关系)设某物体作直线运动设某物体作直线运动, 已知速度已知速度v = v(t)求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔是时间间隔T1,T2上上t 的一个连续函数的一个连续函数,一、问题的提出一、问题的提出其中其中分的有效、简便的方法分的有效、简便的方法.找到一个计算定积找到一个计算定积 4.2 微积分基本公式微积分基本公式所以所以为了叙述上的方便为了叙述上的方便, 引入原函数的概念引入原函数的概念.3定义定义4.2例例原函数的定义原函数的定义如果在区间如果在区间I上上,则称则称F(x)为为f (x)在在I上的一上的一原函数原函数. .个个或由或由知知是是原函数原函数. .也是也是的原函数的原函数, 其中其中C为任意常数为任意常数. . 4.2 微积分基本公式微积分基本公式4一般一般,亦为亦为f (x)的原函数的原函数(C为任意常数为任意常数).因因一个函数如果有原函数一个函数如果有原函数, 就有无穷多个就有无穷多个. . 则则若若F(x)为为f (x)的一个原函数的一个原函数, 4.2 微积分基本公式微积分基本公式 如果能从如果能从v(t)求出求出s(t),运算运算.定积分定积分运算就可化为减法运算就可化为减法启发启发定积分的计算有捷径可寻定积分的计算有捷径可寻进行进行一般性一般性的讨论的讨论.5定积分定积分:积分上限函数积分上限函数 注注一定要分清函数的一定要分清函数的如果上限如果上限 x 在区间在区间a, b上任意变动上任意变动,每一个取定的每一个取定的 x 值值,则对于则对于定积分有一个对应值定积分有一个对应值,所以它所以它在在a, b上定义了一个函数上定义了一个函数,设设f (x)在在a, b中可积中可积, 则对任一点则对任一点与与自变量自变量x积分变量积分变量t.二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数记为记为变上限定积分变上限定积分 4.2 微积分基本公式微积分基本公式6 这个函数的几何意义这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性下面讨论这个函数的可导性.是如图是如图红色部分红色部分的面积函数的面积函数. 4.2 微积分基本公式微积分基本公式7考研数学一至四考研数学一至四, 选择题选择题, 4分分 如图如图, 连续函数连续函数 y = f (x)在区间在区间 上的图形分别是直径为上的图形分别是直径为1的上、下半圆周的上、下半圆周, 在区间在区间 上的图形分别是直径为上的图形分别是直径为2的下、上半圆周的下、上半圆周. 则下列结论正确的是则下列结论正确的是 4.2 微积分基本公式微积分基本公式82009年考研数学一年考研数学一,二二,三三, 选择题选择题, 4分分 设函数设函数 y = f (x)在区间在区间 上的图形为上的图形为则函数则函数 的图形为的图形为 4.2 微积分基本公式微积分基本公式92009年考研数学一年考研数学一,二二,三三, 选择题选择题, 4分分 设函数设函数 y = f (x)在区间在区间 上的图形为上的图形为则函数则函数 的图形为的图形为此题为定积分的应用知识考核此题为定积分的应用知识考核, 由由y = f (x)的图的图形可见形可见,其图像与其图像与x轴轴, y轴及轴及所围图形面积的所围图形面积的代数和为所求函数代数和为所求函数F(x).从而可得出几个方面的特征从而可得出几个方面的特征: 4.2 微积分基本公式微积分基本公式10证证定理定理4.34.3 (原函数存在定理原函数存在定理)因为因为从而从而则积分上限函数则积分上限函数是是a, b上的可导函数上的可导函数, 且对上限的导数等于被积且对上限的导数等于被积函数在上限处的值函数在上限处的值. 即即 4.2 微积分基本公式微积分基本公式11积分中值定理积分中值定理故故则同理可证则同理可证则同理可证则同理可证积分区间可加性积分区间可加性 4.2 微积分基本公式微积分基本公式12 定理定理4.3指出指出:和积分联结为一个有机的整体和积分联结为一个有机的整体(2) 连续函数连续函数 f (x)一定有原函数一定有原函数,就是就是f (x)的一个原函数的一个原函数.(1) 积分运算和微分运算的关系积分运算和微分运算的关系, 它把微分它把微分所以它是微积分学基本定理所以它是微积分学基本定理.函数函数 微积分微积分, 4.2 微积分基本公式微积分基本公式13推论推论 4.2 微积分基本公式微积分基本公式14例例 解解例例 解解 4.2 微积分基本公式微积分基本公式15例例 解解 4.2 微积分基本公式微积分基本公式16例例解解这是这是 型不定式型不定式,分析分析应用洛必达法则应用洛必达法则 4.2 微积分基本公式微积分基本公式172009年考研数学年考研数学(二二), 填空填空, 4分分 曲线曲线 解解在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为所以所以, 曲线在点曲线在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为: 4.2 微积分基本公式微积分基本公式18考研数学考研数学(二二), 填空填空, 4分分 设函数设函数 解解 4.2 微积分基本公式微积分基本公式19考研数学二考研数学二 解答题解答题, 10分分 设设 f (x)在区间在区间 且满足且满足 其中其中f -1 的是的是 f 的反函数的反函数, 求求f (x). 上的单调、可导函数上的单调、可导函数, 解解 两边对两边对x求导求导, 得得 4分分 即即 6分分 4.2 微积分基本公式微积分基本公式20考研数学二考研数学二 解答题解答题, 10分分 设设 f (x)在区间在区间 且满足且满足 其中其中f -1 的是的是 f 的反函数的反函数, 求求f (x). 上的单调、可导函数上的单调、可导函数, 8分分 故故 由题设知由题设知, 因此因此, 10分分 积分积分 4.2 微积分基本公式微积分基本公式21例例 解解求极限求极限 考研数学考研数学(三三) , 5分分 用法则用法则用法则用法则 4.2 微积分基本公式微积分基本公式22证证例例证明函数证明函数为单调增加函数为单调增加函数. 4.2 微积分基本公式微积分基本公式23为单调增加函数为单调增加函数.故故 4.2 微积分基本公式微积分基本公式24证证 令令为单调增加函数为单调增加函数.证明证明:只有一个解只有一个解.例例所以原方程所以原方程只有一个解只有一个解.或或 4.2 微积分基本公式微积分基本公式25定理定理4.54.5（牛顿（牛顿- -莱布尼茨莱布尼茨公式）公式）证证牛顿牛顿(英英) 16421727 莱布尼茨莱布尼茨(德德) 16461716如果如果F(x)是连续函数是连续函数 f (x)在区间在区间a, b上上的一个原函数的一个原函数, 则则都是都是 f (x)在在因为因为F (x)及及a, b上的原函数上的原函数, 故有故有C是待定常数是待定常数,即有即有三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 4.2 微积分基本公式微积分基本公式26牛顿牛顿(Newton)莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式微积分基本公式微积分基本公式特别特别, 4.2 微积分基本公式微积分基本公式27微积分基本公式表明微积分基本公式表明注注求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.一个连续函数在区间一个连续函数在区间a, b上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间a, b上的增量上的增量.仍成立仍成立. 4.2 微积分基本公式微积分基本公式28例例 原式原式解解 面积面积例例 解解平面图形的面积平面图形的面积.所围成的所围成的 4.2 微积分基本公式微积分基本公式29例例 解解注注如被积函数是分段函数如被积函数是分段函数, 再用再用牛牛莱公式莱公式.积分积分,应分段分成几个应分段分成几个 4.2 微积分基本公式微积分基本公式30例例 解解 由图形可知由图形可知 4.2 微积分基本公式微积分基本公式所以所以31解解 4.2 微积分基本公式微积分基本公式32例例解解如被积函数有绝对值如被积函数有绝对值,注注再用再用去掉后去掉后,N-L公式公式.应分区间将绝对值应分区间将绝对值 4.2 微积分基本公式微积分基本公式332009年考研数学三年考研数学三, 选择题选择题, 4分分 使不等式使不等式 成立的成立的x的范围是的范围是解答解答 原问题可转化为求原问题可转化为求成立时成立时x的取值范围的取值范围, 4.2 微积分基本公式微积分基本公式34例例则则(A) F(x)在在x = 0点不连续点不连续.(B) F(x)在在内连续内连续,在在x = 0点不可导点不可导.(C) F(x)在在内可导内可导,且满足且满足(D) F(x)在在内可导内可导,但不一定满足但不一定满足考研数学考研数学(四四)选择题选择题,4分分 4.2 微积分基本公式微积分基本公式35例例 已知函数已知函数求积分上限的函数求积分上限的函数解解分段函数分段函数错错! 4.2 微积分基本公式微积分基本公式36已知函数已知函数求积分上限的函数求积分上限的函数正确做法正确做法 4.2 微积分基本公式微积分基本公式37例例 解解此极限实为一此极限实为一积分和的极限积分和的极限.定积分是代数和的推广定积分是代数和的推广,无穷小无穷小的的无限项无限项的代数和的代数和.即它表示每项为即它表示每项为用定积分求极限时用定积分求极限时,需将需将(1)式中的两个式中的两个任意量任意量 用特殊的值处理用特殊的值处理. 4.2 微积分基本公式微积分基本公式38解解 原式原式= 4.2 微积分基本公式微积分基本公式39考研数学考研数学(二二)填空填空3分分 填空题填空题解解 原式原式 4.2 微积分基本公式微积分基本公式40 微积分基本公式微积分基本公式:积分上限函数积分上限函数(变上限积分变上限积分): 积分上限函数的导数积分上限函数的导数: 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系分学之间的关系.四、小结四、小结注意注意其推论其推论. 4.2 微积分基本公式微积分基本公式原函数的概念原函数的概念:称称F(x)为为f (x)在在I上的一个上的一个原函数原函数. .41思考题思考题1对吗对吗?错错!分析分析其中的其中的x对积分对积分过程是过程是常数常数,而积分结果而积分结果是是x的函数的函数.若被积函数是积分上限若被积函数是积分上限(或下限或下限)的函数中的函数中注意注意的变量的变量 x 及积分变量及积分变量 t 的函数时的函数时, 应注意应注意 x与与t 的区别的区别.对对 x求导时求导时, 绝不能用积分上限绝不能用积分上限(或下限或下限)的变量的变量x替换替换积分变量积分变量. 4.2 微积分基本公式微积分基本公式42思考题思考题1对吗对吗? ?故故正确解答正确解答 因为因为 4.2 微积分基本公式微积分基本公式43思考题思考题2已知两曲线已知两曲线在点在点处的切线相同处的切线相同,写出此切线方程写出此切线方程, 并求极限并求极限解解故所求切线方程为故所求切线方程为考研数学考研数学(一一)7分分 4.2 微积分基本公式微积分基本公式44作业作业习题习题4.2 (984.2 (98页页) ) 4.2 微积分基本公式微积分基本公式