第 五 章 数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入课前预习学案(1)虚数单位：把_的数用符号i表示，规定_，i叫作虚数单位(2)复数的定义：把形如_的数叫作复数(a，b是实数，i是虚数单位)复数通常表示为z_，(a，bR)，其中实部为_，虚部为_.1复数的相关概念平方等于1i21abiabiab实数虚数纯虚数非纯虚数复数的全体(1)复数的代数形式abi中，a，b是实数，实部为a，虚部是b，而非bi.(2)复数zabi(a，bR)是纯虚数的充要条件是a0且b0.(3)复数集包含实数集和虚数集abicdi(a，b，c，dR)当且仅当_.2两个复数相等的充要条件(1)根据复数相等的定义，在ac，bd两式中，有一个不成立，那么abicdi.(2)abi0(a，bR)的充要条件为a0且b0.(3)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题的依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现(4)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小 ac且bd(1)当用直角坐标平面内的点来表示_时，称这个直角坐标平面为复平面，_为实轴，_为虚轴(2)任一个复数zabi与复平面内的点_是对应的(3)任一个复数zabi与复平面内的向量_一一对应3复平面及复数的几何意义复数x轴y轴(a，b)(1)复平面内的点与复数的关系位置复数实轴上的点实数虚轴(原点除外)上的点纯虚数各象限的点虚数(2)复数的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(3)复数的几何意义，增加了解决复数问题的途径，这正是数形结合思想的体现(4)有了上述对应关系，讨论复数的运算性质和应用时，就可以在复平面内，用向量方法进行讨论设复数zabi(a，bR)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的_记作|z|，|z|_.两个复数一般不能比较大小，但可以比较它们_的大小4复数的模模模(1)任何复数的模都是一个非负的实数，即|z|0.(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点与原点的距离，即复数的模是绝对值概念，由实数的一维空间向二维空间的一种推广(3)计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用复数模的公式进行计算1下列命题中：复数abi(a，bR)的实部是a，虚部是bi；复数abi(a，bC)的实部是a，虚部是b；任何两个复数不能比较大小；若a，bR，且ab，则aibi.其中正确命题的个数为()A0B1C2D3解析：四个命题中均错，其中错在虚部是bi，应为b；错在其中的a，bC，应将其改为a，bR.若两个复数全是实数，则可以比较大小由于两个虚数不能比较大小，所以错答案：A2若(x2x)(x1)i是纯虚数，则实数x的值为()A1或0B1C0D以上都不对3若复数za4i(aR)，且|z|5，则a等于_4已知x2y26(xy2)i0.求实数x，y的值课堂互动讲义下列命题中若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；在复数集中若(z1z2)2(z2z3)20，则z1z2z3；若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应正确的命题个数是()A0B1C2 D3思路导引根据复数的相关概念进行判断复数的概念问题边听边记答案：A序号结论理由不正确由于x，y都是复数，故xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件不正确由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集不正确将此命题放到实数集中是成立的，但在复数集中不一定成立，如z1z2i，z2z31也可满足此等式，但z1，z2，z3不一定相等不正确00i，但0是实数，不能与虚数对应，故命题不正确.1给出下列命题：若x2y20，则xy0；两个虚数不能比较大小；实数集与复数集的交集为实数集；实数集与虚数集的交集为0其中正确的命题为_，(填序号)解析：当x1，yi时，x2y20.故不正确；两个数若其中有一个是虚数，这两个数不能比较大小故正确；因为实数集是复数集的子集故正确；实数集与虚数集的交集为故不正确答案：复数相等条件的应用应用复数相等的充要条件时，要注意：(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组(2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要2已知m是实数，n是纯虚数，且2mn4(3m)i，求m，n的值复数的分类及几何意义(2)解决此类问题的一般方法就是从复数的代数形式出发，根据复数的分类条件或其对应点满足的条件，转化为实部、虚部满足的方程或不等式，通过解方程或解不等式得出结论设zC，满足下列条件的复数z的对应点Z的集合是什么图形？(1)|z|4；(2)2|z|4.思路导引设出zxyi(x，yR)，由模的概念求解复数的模解析：(1)设zxyi(x，yR)，由于|z|4，|xyi|4，即x2y216.从而复数z的对应点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆(2)设zxyi(x，yR)由于2|z|4，2|xyi|4，即4x2y216.从而复数z的对应点Z的集合是以原点O为圆心，以2和4为半径的圆所夹的圆环，且不包含圆环的内、外边界复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用复数模的公式进行计算，由于复数的模是一个实数，所以复数的模可以比较大小若复数zlog2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，求实数m的值【错解】z为纯虚数，log2(m23m3)0，即m23m31，m23m40，m1或4.【错因】复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0，而不仅仅是a0.