第十二章第十二章 全等三角形全等三角形 12.3 角的平分线的性质（一）角的平分线的性质（一） 老师遇到的问题：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（在图上标出它的位置，比例尺1 : 20000）梦想路上s 角平分线是从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线.1.什么叫角平分线？思考：思考：.怎样用尺规作角的平分线？复习：复习：梦想路上尺尺规作角的平分作角的平分线认真观察认真观察教师画教师画：A A 梦想路上画出AOB的角平分线：想一想：想一想：想一想：想一想：为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？已知：OMOM=ON=ON，MC=NCMC=NC.求证：OCOC平分AOBAOB.证明：连接CMCM，CNCN 在OMCOMC和ONCONC中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMCOMCONCONC （SSSSSS） MOCMOC=NOCNOC 即：OCOC平分AOBAOBA AB BMMN NC COO梦想路上已知:AOBAOB,如图.求作:射线OC,使AOC=BOCAOC=BOC.画一画：用尺规作角的平分线画一画：用尺规作角的平分线. .作法：1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOBAOB内内交于点C.3.作射线OC.则射线OC就是AOBAOB的平分线ABOCED梦想路上 角平分线有什么性质呢？角平分线有什么性质呢？OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P是射线是射线OC上的任意一点，上的任意一点，操操 作作 测测 量量 ： 取取 点点 P的的 三三 个个 不不 同同 的的 位位 置置 ， 分分 别别 过过 点点 P作作PDOA，PE OB,点点D、E为为垂垂足足，测测量量PD、PE的的长长.将三次数据填入下表：将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段观察测量结果，猜想线段PD与与PE的大小关系，的大小关系， 写出结论：写出结论：_COBAPD=PEpDEpDEpDE232434梦想路上角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，的平分线，点点P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED结论：结论：C下面给于证明下面给于证明梦想路上AOBEDP PC PDOAPDOA，PEOBPEOB证明：证明： PDO= PEO= 90在在PODPOD和和PEOPEO中中 PDOPEO（AAS） PDOPEO AOCBOC OP=OP PDPED梦想路上OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线, , 且且PDPDOA,PEOA,PEOBOBPD=PE PD=PE ( (角的平分线上的点到角角的平分线上的点到角的两边距离相等的两边距离相等) )角平分线性质用角平分线性质用数学语言来表示数学语言来表示: :EDOABPC梦想路上梦想路上 1、AD平分CAB,DCAC, DEAB _ (_)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等 2、判断题（ ） 如图，AD平分BAC（已知） BD = DC ， ( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。梦想路上（3）判断题（ ） 如图， DCAC，DBAB （已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BD CD（）（4）判断题（ ） AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。） DBDC梦想路上5.如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF， 求证：CF=EB。 AD平分CAB，DEAB，C90 CDDE(角平分线的性质)在tFCD和RtDBE中 CD=DE DF=DB RtCDFRtEDB (HL) CF=DE证明：梦想路上6.6.如图，如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P P。求证：点求证：点P P到三角形三边的距离均相等。到三角形三边的距离均相等。ABCPEFGMN证明：过点证明：过点P作作PE BC于于E. PF AB于于F. PG AC于于G, PB平分平分ABC. PE=PF(角平分线性质）角平分线性质） PC平分平分ACB. PE=PG(角平分线性质）角平分线性质） PE=PG=PF梦想路上课堂小结同学们，这节课我们学习了哪些知识？ 1.角的平分线的画法 2.角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等梦想路上帮助老师解决问题：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（在图上标出它的位置，比例尺1 : 20000）梦想路上s解：设要截取的长度为m,则： 解得：0.025m 2.5cm 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm , D即为所求。D 2.2.如图已知，如图已知，C= C= D D =90AEAE平分平分DAB, BEDAB, BE平分平分CBACBA，且且AD=5AD=5，BC=3,BC=3,求求ABAB的长。的长。A AB BE ED DC CA AC CD DB B课堂作业 1. 1.如图，在如图，在ABCABC中，中，C C90900 0，ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于于点点D D，若，若BCBC8,BD8,BD5 5，则点，则点D D到到ABAB的距离为？的距离为？梦想成就未来