4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数第四章三角函数、解三角形基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.角的概念角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；分类：角按旋转方向分为 、 和 .(2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是 S .(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.知识梳理一条射线图形正角负角零角原点x轴的非负半轴|k360，kZ2.弧度制弧度制(1)定义：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad .(3)扇形的弧长公式：l ，扇形的面积公式：S .半径正数负数0|r三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin _cos _tan 3.任意角的三角函数任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sin ，cos ，tan (x0).三个三角函数的性质如下表：yxRR三角函数线有向线段 为正弦线；有向线段 为余弦线；有向线段_为正切线4.三角函数线三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.MPOMAT几何画板展示几何画板展示1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，【知识拓展】题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(3)不相等的角终边一定不相同.()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()基础自测12345678解析题组二教材改编题组二教材改编2.角225 弧度，这个角在第 象限.3.设角的终边经过点P(4，3)，那么2cos sin .二答案4.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度.12345678解析答案题组三易错自纠题组三易错自纠5.(2018秦皇岛模拟)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 A.2k45(kZ) B.k360 (kZ)C.k360315(kZ) D.k (kZ)12345678解析答案12345678解析7.已知角(0)的终边与单位圆交点的横坐标是 ，则sin .答案12345678解析8.(2018济 宁 模 拟 )函 数 y 的 定 义 域 为 .答案1234567解析解析2cos x10，由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，8几何画板展示几何画板展示题型分类深度剖析A.MN B.MNC.NM D.MN题型一角及其表示 自主演练自主演练答案解析因此必有MN，故选B.2.若角是第二象限角，则 是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角解析解析解析是第二象限角，答案3.(2018宁夏质检)终边在直线y x上，且在2，2)内的角的集合为 .解析答案(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.思维升华思维升华典典例例 (1)(2017珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是 A.2 B.1 C. D.3解析题型二弧度制师生共研师生共研解析解析设扇形的半径为R，则弧长l42R，扇形面积S lRR(2R)R22R(R1)21，当R1时，S最大，此时l2，扇形圆心角为2弧度.答案(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 .解析解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，解析答案应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.思维升华思维升华跟跟踪踪训训练练 (1)(2018湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 解析答案(2)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是 .S1S2解析答案命题点命题点1三角函数定义的应用三角函数定义的应用典典例例 (1)(2018山东重点中学模拟)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为 解析题型三三角函数的概念及应用多维探究多维探究答案A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案解析解析命题点命题点2三角函数线的应用三角函数线的应用典典 例例 函 数 y lg(2sin x 1) 的 定 义 域 为 .答案(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.思维升华思维升华跟跟踪踪训训练练 (1)(2017济南模拟)已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析答案解析解析tan 0，cos 0，在第二象限.(2)(2017石家庄模拟)若 从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是 A.sin tan cos B.cos sin tan C.sin cos tan D.tan sin cos 答案解析解解析析如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin cos 0，cos 30，sin 2cos 3tan 40.8.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0)是角终边上的一点，则2sin cos .解析解析设扇形半径为r，弧长为l，解析12345678910111213141516答案解析解析利用三角函数线(如图)，解析12345678910111213141516答案12.满足cos 的角的集合为 .12345678910111213141516解析答案连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为技能提升练答案12345678910111213141516解析13.已知sin sin ，那么下列命题成立的是 A.若，是第一象限的角，则cos cos B.若，是第二象限的角，则tan tan C.若，是第三象限的角，则cos cos D.若，是第四象限的角，则tan tan 解析解析如图，当在第四象限时，作出，的正弦线M1P1，M2P2和正切线AT1，AT2，观察知当sin sin 时，tan tan .1234567891011121314151614.已知点P(sin cos ，tan )在第四象限，则在0,2内的取值范围是 .答案解析得1tan 0或tan 1.15.(2017烟台模拟)若角的终边与直线y3x重合，且sin 0，又P(m，n)是角终边上一点，且|OP| ，则mn .拓展冲刺练12345678910111213141516答案2解析解析解析由已知tan 3，n3m，又m2n210，m21.又sin 0，m1，n3.故mn2.16.(2018石家庄质检)已知sin 0.(1)求角的集合；解答12345678910111213141516解解由sin 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，解答12345678910111213141516解答12345678910111213141516本课结束