3 3.3 3空间向量运算的坐标表示一二三思考辨析一、向量加减法和数乘的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),即空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和.(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),即空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差.(3)a=(x1,y1,z1)(R),即实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积.(4)若b0,则aba=bx1=x2,y1=y2,z1=z2(R).(5)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的差.一二三思考辨析名师点拨1.空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,只是由二维变成了三维,所以空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似.2.理解共线向量定理的条件和结论,在用坐标表示时,要注意等价变形.3.已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若b1,b2,b3都不为0,则ab一二三思考辨析【做一做1】 已知向量a=(3,2,-1),b=(2,1,5),则a+b=,a-b=,2a-3b=.解析:a+b=(3,2,-1)+(2,1,5)=(5,3,4),a-b=(3,2,-1)-(2,1,5)=(1,1,-6),2a-3b=2(3,2,-1)-3(2,1,5)=(6,4,-2)-(6,3,15)=(0,1,-17).答案:(5,3,4)(1,1,-6)(0,1,-17)【做一做2】 已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),则使(ka+b)(a-3b)成立的k的值为.解析:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(1+32,5-33,-1-35)=(7,-4,-16).(ka+b)(a-3b),一二三思考辨析二、数量积的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则ab=x1x2+y1y2+z1z2,空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.【做一做3】 已知a=(-2,5,3),b=(-4,2,x),且ab=0,则x=()A.-4 B.-6C.-8D.6解析:ab=-2(-4)+52+3x=0x=-6.答案:B一二三思考辨析三、空间向量长度与夹角的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则(3)abx1x2+y1y2+z1z2=0.一二三思考辨析【做一做4】 若a=(1,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为 ,则等于()解析:因为ab=12+(-1)+22=6-, 答案:C 一二三思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(3)空间向量a=(1,1,1)是一个单位向量. ()(4)若a,b为空间向量,则(a+b)(a-b)=a2-b2. () 探究一探究二探究三思维辨析向量运算的坐向量运算的坐标表示表示【例1】 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,3a+2b,ab.解:因为a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),所以a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1+(-1),-2+4)=(2,-2,2);a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6);3a+2b=3(2,-1,-2)+2(0,-1,4)=(32,3(-1),3(-2)+(20,2(-1),24)=(6,-3,-6)+(0,-2,8)=(6,-5,2);ab=(2,-1,-2)(0,-1,4)=20+(-1)(-1)+(-2)4=0+1-8=-7.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟空间向量的坐标运算方法1.在运算中注意相关公式的灵活运用,如(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,(a+b)(a+b)=(a+b)2等;2.进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简再代入坐标运算,如计算(2a)(-b),既可以利用运算律把它化成-2(ab),也可以先求出2a,-b后,再求数量积.计算(a+b)(a-b),既可以先求出a+b,a-b后,再求数量积,也可以把(a+b)(a-b)写成a2-b2后计算.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).解:(1)因为A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5), 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析空空间向量的平行与垂直向量的平行与垂直【例2】设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值.(1)ab;(2)ab.解:(1)当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足ab.当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足ab,x1.当x0,且x1时,综上所述,当x=0或x=2时,ab.探究一探究二探究三思维辨析(2)abab=0,(1,x,1-x)(1-x2,-3x,x+1)=01-x2-3x2+1-x2=0, 反思感悟要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练2已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),若ab,求x,y的值.解:ab,a=b.探究一探究二探究三思维辨析空空间向量向量长度与度与夹角的坐角的坐标表示表示【例3】 在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,建立空间直角坐标系,用向量方法解决下列问题:(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值;(2)作O1DAC于点D,求点O1到点D的距离.解:建立如图所示的空间直角坐标系.探究一探究二探究三思维辨析(1)由题意得A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0).探究一探究二探究三思维辨析反思感悟当题中的几何体为正方体、长方体、直三棱柱等时,常选择建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算来解决有关长度、夹角、平行或垂直等问题;有时也可以不建系,利用基底来求解,但比较麻烦.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,求解下列问题:(1)求证:EFB1C;(3)求FH的长.解:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,D为坐标原点, 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误【典例】 已知a=(5,3,-1),b=,若a与b的夹角为锐角,求实数t的取值范围.易错分析:由a与b的夹角为锐角,得到ab0,但当ab0时,a与b的夹角不一定为锐角,还可能是共线同向,夹角为0,解题时容易忽视这个条件,导致扩大了参数的范围.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得空间向量a,b夹角为锐角的充要条件是“ab0,且a,b不同向”;a,b夹角为钝角的充要条件是“ab0,且a,b不反向”.如果在求解过程中,忽视两个向量共线的情况,就有可能扩大参数的取值范围,导致错误.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是.解析:a与b的夹角为钝角,ab0,3(-1)+(-2)(x-1)+(-3)10.12341.已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),那么向量a-b+2c=()A.(0,1,2)B.(4,-5,5)C.(-4,8,-5)D.(2,-5,4)解析:a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5).答案:C12342.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值为.解析:因为ab,所以b=ka,即k(+1,0,2)=(6,2-1,2),所以12343.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是.解析:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,(ka+b)(2a-b)=0,即(k-1,k,2)(3,2,-2)=0,3k-3+2k-4=0,k=.12344.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.1234向,建立空间直角坐标系C-xyz.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1).