新课标高中一轮新课标高中一轮新课标高中一轮新课标高中一轮总复习总复习总复习总复习1第三单元第三单元导数及其应用导数及其应用2知识体系3考纲解读1.导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义.(1)了解导数的概念和实际背景了解导数的概念和实际背景.(2)理解导数的几何意义理解导数的几何意义.2.导数的运算导数的运算.(1)能能根根据据导导数数的的定定义义，求求函函数数y=C(C为常数为常数),y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x的导数的导数.4(2)能能利利用用基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式和和导导数数的的四四则则运运算算法法则则求求简简单单函函数数的的导导数数，能能求求简简单单的的复复合合函函数数(仅仅限限于于型型如如f(ax+b)的的导导数数.掌掌握握常常见见基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式和和常用导数运算公式：常用导数运算公式：3.导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用.(1)了了解解函函数数单单调调性性和和导导数数的的关关系系，能能利利用用导导数数研研究究函函数数的的单单调调性性，会会求求函函数数的的单调区间单调区间(其中多项式函数一般不超过三次其中多项式函数一般不超过三次).5(2)了了解解函函数数在在某某点点取取得得极极值值的的必必要要条条件件和和充充分分条条件件；会会用用导导数数求求函函数数的的极极大大值值、极极小小值值(其其中中多多项项式式函函数数一一般般不不超超过过三三次次)；会会求求闭闭区区间间上上函函数数的的最最大大值值、最最小小值值（其其中中多多项式函数一般不超过三次项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理.(1)了了解解定定积积分分的的实实际际背背景景，了了解解定定积积分分的基的基 本思想，了解定积分的概念本思想，了解定积分的概念.(2)了解微积分基本定理的含义了解微积分基本定理的含义.6第第16讲讲导数的概念及运算导数的概念及运算71.了解导数概念的实际背景了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义理解导数的几何意义.3.能能根根据据导导数数定定义义求求函函数数y=C（C为为常数）常数）,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x的导数的导数.4.能能利利用用给给出出的的基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式和和导导数数的的四四则则运运算算法法则则求求简简单单函函数数的的导导函函数数，能能求求简简单单的的复复合合函函数数（仅仅限于形如限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数的复合函数）的导数.81.函函数数f(x)在在x=x0处处的的导导数数可可表表示示为为f (x0)或或y|x=x0,即即( )DA.f (x0)=f(x0+x)-f(x0)B.f (x0)=limf(x0+x)-f(x0)C.f (x0)=D.f (x0)=limx0x0由导数的定义知由导数的定义知D正确正确.92.下列求导运算正确的是下列求导运算正确的是( )CA.(xn)=nxn B.( )=C.( )= D.(sinx+cosx)=cosx+sinx 因为因为(xn)=nxn-1，所以，所以A不正确不正确.因为因为( )=(x-1)=-x-2=- ,所以所以B不正确不正确.因为因为(x)=( )= = ,所以所以C正确正确.因为因为(sinx+cosx)=cosx-sinx,所以所以D不正确不正确.故选故选C.103.以以初初速速度度v0(v00)垂垂直直上上抛抛的的物物体体,t秒秒时时的的高高度度为为s(t)=v0t- gt2,则则物物体体在在t0时时刻刻的的瞬瞬时时速度是速度是 . 先求出先求出s,再用定义求当再用定义求当t0时时, 的极限值的极限值.v0-gt011 s=v0(t0+t)- g(t0+t)2-(v0t0-12gt02) =(v0-gt0)t- g(t)2,所以所以 =v0-gt0- gt,所以所以t0时，时， v0-gt0.故物体在时刻故物体在时刻t0的瞬时速度为的瞬时速度为v0-gt0. 瞬瞬时时速速度度即即是是平平均均速速度度在在t0时时的的极极限限值值，为为此此，要要求求瞬瞬时时速速度度，应应先先求求出平均速度出平均速度.124.函数函数y=x2+x-1+e2x+lgx+tanx的导函数是的导函数是y= .直接运用求导公式和运算法则求即可直接运用求导公式和运算法则求即可.5.曲线曲线y=2x2+1在在(0,1)处的切线方程是处的切线方程是 .y=1因为因为y=4x,所以所以k=y|x=0=0,所以所以y-1=0(x-0)=0,所以所以y=1.131.平均变化率平均变化率 对对于于函函数数y=f(x),P(x0,y0)是是函函数数图图象象上上一一点点，Q(x1,y1)是是图图象象上上另另一一点点，自自变变量量x从从x0变变化化到到x1时时，相相应应的的函函数数值值则则由由y0变变化化到到y1,其其中中 叫叫做做自自变变量量x的的增增量量，记记为为x,y1-y0叫叫做做函函数数y=f(x)的的增增量量，记记为为y，即即y= ,则则 = 叫叫做做函函数数f(x)从从变变量量x0到到x1的的平均变化率平均变化率.x1-x0y1-y0=f(x1)-f(x0)142.曲线的切线曲线的切线 设设函函数数y=f(x)的的图图象象C上上一一点点P(x0,y0)及及邻邻近近一一点点Q(x0+x,y0+y),过过点点P、Q作作C的的割割线线PQ,那那么么割割线线PQ的的斜斜率率为为 ,当当点点 Q(x0+x,y0+y)沿沿 着着 曲曲 线线 逐逐 渐渐 向向 点点P(x0,y0)接接近近时时，割割线线PQ将将绕绕着着点点P逐逐渐渐转转动动，当当点点Q沿沿曲曲线线无无限限地地接接近近点点P，即即x0时，时，15 如果割线有一个极限位置如果割线有一个极限位置PT，那么直线，那么直线PT叫做曲线在叫做曲线在P点的切线，割线点的切线，割线PQ的斜的斜率的极限就是曲线在点率的极限就是曲线在点P处的切线的斜率，处的切线的斜率，即：切线的斜率即：切线的斜率k= = , 切线方程为切线方程为 .limx0limx0y-y0=k(x-x0)163.瞬时速度瞬时速度 物物体体作作直直线线运运动动时时，设设物物体体的的运运动动方方程程(位位移移公公式式)为为：s=s(t).如如果果物物体体在在时时刻刻t0至至t0+t时时位位移移增增量量s=s(t0+t)-s(t0)，那那么么，位位移移增增量量s与与时时间间增增量量t的的比比，就就是是这这段段时时间间内内物物体体的的平平均均速速度度 ,即即 = ,当当t0时时，的的极极限限就就是是物物体体时时刻刻t0的的瞬瞬时时速速度，即：度，即：lim = .limt0vvvt0174.导数的概念导数的概念 一一般般的的，函函数数y=f(x)在在x=x0处处的的瞬瞬时时变变化化率率是是 =lim ,我我们们称称它它为为函函数数y=f(x)在在x=x0处处的的导导数数，记记作作f (x0)或或y|x=x0,即即f (x0)= .x0limx0limx018 如如果果函函数数y=f(x)在在区区间间(a,b)内内的的每每一一点点处处都都有有导导数数,此此时时对对于于每每一一个个x(a,b),都都对对应应着着一一个个确确定定的的导导数数f (x),从从而而构构成成了了一一个个新新的的函函数数f (x),称称这这个个函函数数f (x)为为函函数数y=f(x)在在开开区区间间内内的的导导数数，简简称称导导数数,也也记作记作y, 即即f (x)=y=lim = .11x0limx0195.导数的几何意义导数的几何意义 函函数数y=f(x)在在x=x0处处的的导导数数的的几几何何意意义义,就就是是曲曲线线y=f(x)在在点点P(x0,f(x0)处处的的切切线线的的斜斜率率,即即k= ,相应地相应地, 切线方程为切线方程为 .6.常用函数的导数公式常用函数的导数公式C=0(C为常数为常数);(xn)= (nQ);(sinx)=cosx;(cosx)= ;(ex)=ex;(ax)= ;(lnx)= ;(logax)= .12f (x0)13y-f(x0)=f (x0)(x-x0)14nxn-115-sinx16axlna17207.导数的运算法则导数的运算法则(1)f(x)g(x)=f (x)g(x);(2)f(x)g(x)= ;(3)f(x)g(x)= (g(x)0).8.复合函数的导数复合函数的导数 复合函数对自变量的导数等于已知函复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，即：设的导数的乘积，即：设y=f(u),u=g(x)，则，则yx=f (u)g(x).1819f (x)g(x)+f(x)g(x)21题型一题型一 导数的概念导数的概念例例1 已知已知f(x)在在x=a处可导处可导,且且f(a)=b,求下求下列极限：列极限：（1）lim ；（2）lim .h0h022 在在导导数数定定义义中中，增增量量x的的形形式式多多种种多多样样，但但不不论论x选选择择哪哪种种形形式式，y也也必必须须选选择择相相对对应应的的形形式式.利利用用函函数数f(x)在在x=a处处可可导导的的条条件件，可可以以将将已已给给定定的的极极限限式式恒恒等等变变形形转转化化为导数定义的结构形式为导数定义的结构形式.23 （1）lim =lim=lim +lim= lim + lim= f(a)+ f(a)=2b.(2)lim= =lim =lim limh =f(a)0=0.h0h0h0h0h0h0h0h0h0 只只有有深深刻刻理理解解概概念念的的本本质质,才才能能灵灵活活应应用用概概念念解解题题.解解决决这这类类问问题题的的关关键键是是等等价价变变形形,使极限式转化为导数定义的结构形式使极限式转化为导数定义的结构形式.24 利用定义求下列函数的导数：利用定义求下列函数的导数：（1）求函数求函数y= 在在x=1处的导数；处的导数；（2）求求函函数数y=x2+ax+b(a、b为为常常数数）的导函数的导函数. 根据导数的定义求函数的导数，根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法是求导数的基本方法.125 (1)因为因为y= -1，所以所以 = = ，所以所以lim =lim = ,所以所以y|x=1= .(2)因为因为y=(x+x)2+a(x+x)+b-(x2+ax+b)=2xx+(x)2+ax, = =(2x+a)+x，所以所以lim =lim(2x+a)+x=2x+a,所以所以y=2x+a.x0x0x0x026(1)掌掌握握求求导导的的三三个个步步骤骤，要要注注意意x是是指指自自变变量量的的改改变变量量，并并且且x0，y是是指指函函数的改变量，数的改变量，y可以等于可以等于0.(2)在在用用定定义义求求导导时时，通通常常对对函函数数的的增增量量y的的表表达达式式进进行行分分子子（分分母母）有有理理化化、约约分分、乘乘（或或除除）以以某某一一项项，以以达达到到化化简简的的目目的的，有有时时也也可可以以通通过过拆拆项项、添添项项等等方方法构造出导数的定义的形式法构造出导数的定义的形式.272 设设将将气气体体以以每每秒秒100cm3的的速速度度注注入入气气球球，假假设设气气体体压压力力不不变变，那那么么当当气气球球半半径径为为10 cm时时,气球半径增加的速度为气球半径增加的速度为( )AA. cm/s B. cm/sC. cm/s D. cm/s 因为因为V= r3，两边对时间，两边对时间t求导，求导，V(t)=4r2r(t).而而r=10时时,V(t)=100,所以所以r(t)= ,故选故选A.28 求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)x(x+1)(x+2); (2)tanx；(3) ； (4)y= .5 要正确掌握求导公式的结构，否则容要正确掌握求导公式的结构，否则容易造成计算过程过于繁琐；对于与求导公易造成计算过程过于繁琐；对于与求导公式结构不同的函数式，要进行灵活变形式结构不同的函数式，要进行灵活变形.题型二题型二 导数的运算导数的运算例例229 (1)因为因为y=x3+3x2+2x,所以所以y=3x2+6x+2. (2)(tanx)=( )= = = .(3)因为因为 = + ,所以所以( )=( )+( )= - .(4)设设=1-3x，则，则y=-4，则则y=yy=-4-5(-3)= .5530 (1)多多项项式式相相乘乘型型的的函函数数导导数数，往往往往把多项式展开后再利用公式求导把多项式展开后再利用公式求导.(2)以以根根式式或或分分式式形形式式出出现现的的函函数数求求导导问问题题，先先把把函函数数化化成成指指数数的的形形式式，再再利用公式求导利用公式求导.(3)比比较较复复杂杂的的函函数数，往往往往需需要要先先化化简再求导简再求导.31(4)求求复复合合函函数数的的导导数数，一一般般按按以下三个步骤进行：以下三个步骤进行：适适当当选选定定中中间间变变量量，正正确确分分解复合关系；解复合关系；分分步步求求导导（弄弄清清每每一一步步求求导导是哪个变量对哪个变量求导是哪个变量对哪个变量求导)；把把中中间间变变量量代代回回原原自自变变量量(一一般是般是x)的函数的函数.32题型三题型三 导数的几何意义导数的几何意义例例3 已知曲线已知曲线y= x3+ .（1）求曲线在点求曲线在点P（2，4）处的切线方程）处的切线方程;（2）求曲线过点求曲线过点P（2，4）的切线方程）的切线方程.33 (1)因为因为y=x2,所以在点所以在点P(2,4)处的切线的斜率处的切线的斜率k=y|x=2=4.所以曲线在点所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为处的切线方程为y-4=4(x-2),即即4x-y-4=0. 函函数数y=f(x)在在点点P（x0,y0)处处的的导导数数f(x0)表表示示函函数数y=f(x)在在x=x0处处的的瞬瞬时时变变化化率率，导导数数f(x0)的的几几何何意意义义就就是是函函数数y=f(x)在在P(x0,y0)处处的的切线的斜率切线的斜率,其切线方程为其切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).34(2)设设曲曲线线y= x3+ 与与过过点点P（2，4）的的切切线线相相切切 于于 点点 A(x0, x03+ )， 则则 切切 线线 的的 斜斜 率率k=y|x=x0=x02.所所以以切切线线方方程程为为y-( x03+ )=x02 (x-x0),即即y=x02x- x03+ .因因为为点点P（2，4）在在切切线上，所以线上，所以4=2x02- x03+ , 即即x03-3x02+4=0，所以，所以x03+x02-4x02+4=0, 所以所以x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 所以所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得，解得x0=-1或或x0=2. 故所求的切线方程为故所求的切线方程为x-y+2=0或或4x-y-4=0.35 求求曲曲线线的的切切线线要要注注意意“过过点点P的的切切线线”与与“在在点点P处处的的切切线线”的的差差异异.过过点点P的的切切线线中中，点点P不不一一定定是是切切点点，点点P也也不不一一定定在在已已知知曲曲线线上上；而而在在点点P处处的的切线，必须以点切线，必须以点P为切点为切点.36 已已知知函函数数f(x)=2x3+ax与与g(x)=bx2+c的的图图象象都都过过点点P(2,0)，且且在在点点P处处有有公公共共切线，求切线，求f(x)、g(x)的表达式的表达式. 因为因为f(x)与与g(x)的图象都过点的图象都过点P(2，0)，所以所以a=-8,4b+c=0,所以所以f(x)=2x3-8x.又又g(x)=2bx,f (x)=6x2-8,因为因为f(x)与与g(x)在点在点P处有公共切线，处有公共切线，所以所以g(2)=f (2),即即2b2=622-8,得得b=4.所以所以c=-16,所以所以g(x)=4x2-16.综上可知，综上可知，f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.37 如如图图，设设曲曲线线y=e-x(x0)在在点点M(t,e-t)处处的的切切线线l与与x轴轴、y轴轴所所围围成成的的三三角角形面积为形面积为S(t). (1)求切线求切线l的方程；的方程； (2)求求S(t)的最大值的最大值.38 (1)因为因为f (x)=(e-x)=-e-x,所以切线所以切线l的斜率的斜率为为-e-t,故切线故切线l的方程为的方程为y-e-t=-e-t(x-t),即即e-tx+y-e-t(t+1)=0.(2)令令y=0，得，得x=t+1,又令又令x=0，得，得y=e-t(t+1).所以所以S(t)= (t+1)e-t(t+1)= (t+1)2e-t.从而从而S(t)= e-t(1-t)(t+1).因为当因为当t(0,1)时，时，S(t)0，当，当t(1,+)时，时，S(t)0，所以所以S(t)的最大值为的最大值为S(1)= . 本本题题主主要要考考查查函函数数、导导函函数数、不不等等式式等等基基本本知知识识，同同时时考考查查分分析析、推推理运用知识解决问题的能力理运用知识解决问题的能力.391.导导数数的的核核心心是是变变化化率率，在在给给定定的的关关系系式式中中，会会两两边边同同时时对对某某一一变变量量求求导导，得出相应的变化率得出相应的变化率.2.导数的运算导数的运算.1先先化化简简，确确定定类类型型，再再依依次次选选用用求导公式、运算法则进行求导求导公式、运算法则进行求导.402求求复复合合函函数数的的导导数数，关关键键是是选选择择好好中中间间变变量量，如如例例2中中的的(4)y= ,若若令令y= ,u=v4,v=1-3x，计计算算就就麻麻烦烦了了.然然后后逐逐层层求求导导，每每一一步步对对谁谁求求导导不不能能混混淆淆，最最后后应应把中间变量转换成自变量把中间变量转换成自变量.3要要弄弄清清函函数数的的导导数数与与导导数数值值的的区区别别与与联联系系，欲欲求求导导数数值值，先先求求其其导导数数，再再将将值值x0代代入入,求求出出导导数数值值f(x0)，导导数数是是原原来来函函数数的的导导函函数数,而而导导数数值值是是导导数数函函数数在在某一点的函数值某一点的函数值,导函数值是常数导函数值是常数.413.切线切线.1注注意意是是求求在在点点P处处的的切切线线，还还是是求求过过点点P的的切切线线.在在点点P处处的的切切线线以以点点P为为切切点点，过过点点P的的切切线线，点点P不不一一定定是是切切点点，需要设出切点需要设出切点.2斜斜率率k=f(x)不不存存在在时时,曲曲线线在在该该点点处处并并不不一一定定没没有有切切线线,要要检检验验直直线线x=x0是是否为该曲线的切线否为该曲线的切线.423直直线线与与曲曲线线公公共共点点的的个个数数不不是是切切线线的的本本质质特特征征,直直线线与与曲曲线线只只有有一一个个公公共共点点,不不能能说说明明直直线线就就是是曲曲线线的的切切线线,反反之之,直直线线是是曲曲线线的的切切线线,也也不不能能说明直线与曲线只有一个公共点说明直线与曲线只有一个公共点.4曲曲线线未未必必在在其其切切线线的的“同同侧侧”，例例如如直直线线y=0是是曲曲线线y=x2在在点点（0，0）处的切线）处的切线.43学例1 (2008全全国国卷卷)汽汽车车经经过过启启动动、加加速速行行驶驶、匀匀速速行行驶驶、减减速速行行驶驶之之后后停停车车，若若把把这这一一过过程程中中汽汽车车的的行行驶驶路路程程s看看作作时时间间t的函数，其图象可能是的函数，其图象可能是( )A 根根据据汽汽车车加加速速行行驶驶s= at2,匀匀速速行行驶驶s=vt,减减速速行行驶驶s=v0t- at2,结结合合函函数数图图象可知，故选象可知，故选A.44 (2009湖北卷湖北卷)设球的半径为时间设球的半径为时间t的的函数函数R(t).若球的体积以均匀速度若球的体积以均匀速度c增长增长,则则球的表面积的增长速度与球的半径球的表面积的增长速度与球的半径( )学例2DA. 成正比，比例系数为成正比，比例系数为cB. 成正比，比例系数为成正比，比例系数为2cC. 成反比，比例系数为成反比，比例系数为cD. 成反比，比例系数为成反比，比例系数为2c45 因为因为V(t)= R3(t)，所以所以V(t)=4R2(t)R(t)=c,所以所以R(t)= .因为因为S（t)=4R2(t)，所以所以S(t)=8R(t)R(t)=8R(t) = , 故选故选D.46本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来47