三偏微分方程的数值离散方法Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望3.1 有限差分法3.1.1 模型方程的差分逼近3.1.2 差分格式的构造3.1.3 差分方程的修正方程3.1.4 差分方法的理论基础3.1.5 守恒型差分格式3.1.6 偏微分方程的全离散方法23.1.1 模型方程的差分逼近33.1.2 差分格式的构造43.1.3 差分方程的修正方程差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。Warming-Hyett方法：差分方程(2)写成算子的形式： 53.1.3 差分方程的修正方程 (续) 63.1.3 差分方程的修正方程(续) 73.1.4 差分方法的理论基础相容性，稳定性，收敛性等价性定理Fourier稳定性分析83.1.4 差分方法的理论基础（续）Fourier (Von Neumann) 稳定性分析93.1.4 差分方法的理论基础（续）Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续） 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)103.1.5 守恒型差分格式流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：定义113.1.5 守恒型差分格式（续）守恒性质：非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。123.1.5 守恒型差分格式（续）守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式 133.1.6 偏微分方程的全离散方法对差分格式的一般要求：有精度、格式稳定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等)主要指非定常方程的时间离散 143.1.6偏微分方程的全离散方法(续）两层格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式Runge-Kutta方法时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多层格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式 153.1.6.1 两层格式Crank-Nicolson格式 Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff 格式Mac Cormack格式Runge-Kutta方法163.1.6.1 两层格式(cont.）Lax-Wendroff 格式一步LW格式173.1.6.1 两层格式(cont.）Lax-Wendroff 格式两步LW格式常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单，不涉及矩阵相乘。183.1.6.1 两层格式(cont.）Mac Cormack 格式 (1969)两步格式比LW更简单，不需要计算函数在半点上的值。LW两步格式和MC各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。19Mac Cormack格式的构造203.1.6.2 三层格式Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式21第二课后阅读提示傅德薰计算流体力学，3.1 3.3水鸿寿一维流体力学数值方法3.1 Computational Methods for Fluid Dynamics, Ferziger and Peric, Springer Chap. 622作业21.用Fourier法分析 3.1.6.1节中Crank-Nicolson格式的稳定性。2.分析前面3.1.6节中Mac Cormack格式是几阶精度。233.2有限体积法出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）以控制体为离散量计算体积分和面积分需要适当的插值公式和积分公式 (quadrature formula)适用于任意形状的网格，复杂几何形状缺点：难以构造大于二阶以上的格式243.2.1 定常守恒型方程和控制体253.2.2 面积分的逼近面积分用积分点的值表示(quadrature)积分点的值用CV的值表示(interpolation)对于Simpson公式,对积分点的插值需要四阶精度263.2.4 体积分的逼近当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼近精度取决于型函数的精度。273.2.4 体积分的逼近四阶精度：2D直角坐标网格最后一式可以四阶精度逼近3D的面积分283.2.5 插值和微分积分点的函数值和其法向梯度1st UDS: 取上风点的值29插值2nd order: 向积分点线性插值等价于中心差分 (CDS)30插值当积分点的函数是线性插值时Second order 31插值QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics)插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。32插值高精度：N阶精度的quadrture需要N-1阶多项式插值公式。界面上导数可以用插值公式的微分求出。333.2.5有限体积法的边界条件用边界条件替代面积分入口：通常给定对流通量 (mass, momentum, energy, etc.)壁面和对称面：通量为零边界上函数值给定：和内部CV的值共同构建边界上的导数34FV例子353.2.6 守恒律的有限体积方法 Godunov 格式36373.2.6.1 Godunov方法的思想38一阶迎风格式(CIR格式)39用Godunov思想说明CIR格式=Godunov格式4041Riemann解图示42433.2.6.1 1D Euler方程组的Godunov格式Godunov格式是基于积分形式的方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上的间断关系44移动网格上的积分回路45移动网格上的Godunov格式46固定网格上的Godunov格式47Lagrange网格上的Godunov格式48Euler方程组的Riemann问题的解理想气体的5种解4950二维Euler方程组的Riemann问题5152仅是局部化的1D RP53第3课后阅读提示傅德薰计算流体力学，6.3水鸿寿一维流体力学数值方法Godnov格式一节 Computational Methods for Fluid Dynamics, Ferziger and Peric, Springer Chap. 454作业3傅书习题3-13.傅书习题3-12.55