第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数总纲目录教材研读1.角的概念的推广考点突破2.弧度制的定义和公式3.任意角的三角函数考点二扇形的弧长与面积公式考点二扇形的弧长与面积公式考点一象限角及终边相同的角考点三三角函数的定义考点三三角函数的定义1.角的概念的推广角的概念的推广(1)定义定义:角可以看成是平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类分类(3)所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ.教材研读教材研读2.弧度制的定义和公式弧度制的定义和公式(1)定义定义:把长度等于半径长半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.(2)公式公式3.任意角的三角函数任意角的三角函数1.与角的终边相同的角可表示为()A.2k+45(kZ)B.k360+(kZ)C.k360-315(kZ)D.k+(kZ)答案答案C=180=360+45=720-315,与角的终边相同的角可表示为k360-315,kZ.弧度制与角度制不能混用,故A、B不对.C2.(2016北京东城期中)已知角的终边经过点P(-1,0),则cos的值为()A.0B.-1C.-D.答案答案B角的终边经过点P(-1,0),x=-1,y=0,r=1,cos=-1,故选B.B3.若角同时满足sin0且tan0,则角的终边一定落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案D由sin0,可知的终边可能位于第三象限或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tan0,可知的终边可能位于第二象限或第四象限,故的终边只能位于第四象限.D4.(2018北京海淀高三期中)在平面直角坐标系xOy中,点A的纵坐标为2,点C在x轴的正半轴上.在ABC中,若cosAOC=-,则点A的横坐标为()A.-B.C.-3D.3答案答案A设点A的横坐标为x0(x00),由三角函数的定义得=-,解得x0=-或x0=(舍去),故选A.A5.已知圆的一条弦的长等于半径长,则这条弦所对的圆心角的大小为.答案答案解析解析弦长等于半径长,该弦与两半径构成的三角形为正三角形.故该弦所对的圆心角的大小为.考点一象限角及终边相同的角考点一象限角及终边相同的角考点突破考点突破典例典例1(1)设集合M=,N=,那么()A.M=NB.MNC.NMD.MN=(2)终边在直线y=x上的角的集合是.(3)如果是第三象限角,那么角2的终边落在.答案答案(1)B(2)(3)第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上解析解析(1)M=,-45,45,135,225,N=,-45,0,45,90,135,180,225,显然有MN.故选B.(2)在(0,)内终边在直线y=x上的角是,终边在直线y=x上的角的集合为.(3)由是第三象限角,得+2k+2k(kZ),2+4k23+4k(kZ).角2的终边落在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.方法技巧方法技巧(1)给出一个角,判断该角的终边所在象限的方法:先将此角化为k360+(0360,kZ)的形式,即找出与此角终边相同的角(0360),再由角终边所在的象限来判断此角是第几象限角.(2)已知的终边所在的象限,求或n(nN*)的终边所在的象限的方法:将的范围用不等式(含有k(kZ)表示,然后两边同除以n或乘以n,再对k进行讨论,得到或n(nN*)的终边所在的象限.1-1若角是第二象限角,则是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角答案答案C是第二象限角,+2k+2k,kZ,+k+k,kZ.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.C1-2在与2010角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为.-解析解析2010=12-,与2010角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为-.答案答案-考点二扇形的弧长与面积公式考点二扇形的弧长与面积公式典例典例2(1)已知扇形周长为10,面积是4,则扇形的圆心角的大小为.(2)如图,已知扇形的圆心角=120,弦AB长12cm,则该扇形的弧长l=cm.答案答案(1)(2)解析解析(1)设圆心角是,半径是r,则或(舍),故扇形的圆心角的大小为.(2)设扇形的半径为rcm,如图.由sin60=,得r=4,l=|r=4=cm.方法技巧方法技巧解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项(1)解决有关扇形的弧长和面积问题时,要注意角的单位,一般将角度化为弧度.(2)求解扇形面积的最值问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.变式变式2-1在本例(1)中,若去掉条件中的“面积是4”,则扇形的半径和圆心角取何值时,可使其面积最大?解析解析设圆心角是,半径是r,则2r+r=10.所以扇形的面积S=r2=r(10-2r)=r(5-r)=-+,当且仅当r=时,扇形面积S最大,且Smax=,此时=2.所以当r=,=2时,扇形面积最大.2-2已知圆中一段弧的长度等于该圆内接正方形的边长,求这段弧所对的圆心角是多少.解析解析设圆的半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,正方形的边长为r,所求圆心角的弧度数是=.考点三三角函数的定义考点三三角函数的定义典例典例3已知角的终边上一点P(-,m)(m0),且sin=,求cos,tan的值.解析解析由题设知x=-,y=m,r2=|OP|2=(-)2+m2(O为原点),r=.sin=,r=2,即3+m2=8,解得m=.当m=时,r=2,x=-,y=,cos=-,tan=-;当m=-时,r=2,x=-,y=-,cos=-,tan=.易错警示易错警示利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线(非坐标轴)上,则要注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).3-2(2015北京石景山一模)已知角的终边过点P(x,-6),且tan=-,则x的值为.答案答案103-2(2015北京石景山一模)已知角的终边过点P(x,-6),且tan=-,则x的值为.答案答案10解析解析由tan=-得=-,解得x=10.10