第八节第八节第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第九节第九节第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第十节第十节第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第一章函数与极限函数与极限1连续函数的概念一、函数的增量一、函数的增量函数在函数在函数在函数在x x0 0处的增量处的增量处的增量处的增量x x0 0处的增量处的增量处的增量处的增量 x xx xx x0 0 x x y yx x0 0x xx xy yx x= =x x0 0+ + x x x x0 0+ + x x0 0 y y= =f f( (x x) ) f f( (x x0 0) ) y y= =f f( (x x0 0+ + x x) ) f f(x(x0 0) )x x x x y=y=2x .2x . x+( x+( x)x)2 2( ( x)x)2 2连续函数的概念x x x x00+ + y y00xx0+f(x)f(x0) x x y yx x0 0y y x x0 0f ( f ( x x0 0) )f ( x)f ( x)x x x x00- - y y00xx0-f(x)f(x0)或或连续函数的概念二、函数在点二、函数在点x0处连续定义处连续定义设函数设函数f(x)在点在点x0的某个领域的某个领域U(x0;h)内有定义，若内有定义，若则称则称f(x)在点在点x0处连续。点处连续。点x0为连续点为连续点.或或左连续左连续：右连续右连续：连续函数的概念函数在点函数在点x0处连续当且仅当左连续且右连续处连续当且仅当左连续且右连续5连续函数的概念例1在定义域内每一点x处连续连续函数的概念7例2在定义域内每一点x处连续连续函数的概念8例例4有界量乘以无穷小量是无穷小量有界量乘以无穷小量是无穷小量在定义域内每一点x处连续连续函数的概念例例5 确定函数确定函数中中的值，使函数的值，使函数在在处连续处连续。解解 与与9连续函数的概念3 3、区间上的连续函数、区间上的连续函数、区间上的连续函数、区间上的连续函数（1）如果）如果在在内的每一点都连续，则称它在内的每一点都连续，则称它在内连续内连续；（2）如果）如果在在内连续，又在内连续，又在 点右连续，在点右连续，在点左连续，则称它在闭区间点左连续，则称它在闭区间上连续；上连续；（3）如果）如果在它的整个定义区间连续，则简称在它的整个定义区间连续，则简称是连续函数。是连续函数。基本初等函数在其定义域内都是连续函数基本初等函数在其定义域内都是连续函数基本初等函数在其定义域内都是连续函数基本初等函数在其定义域内都是连续函数10连续函数的概念11三、间断点三、间断点连续必须同时满足的三个条件：（连续必须同时满足的三个条件：（1）有确定的值；有确定的值；（2）存在；存在；（3）1、几种、几种 常见的间断点常见的间断点（1）跳跃间断点）跳跃间断点是是跳跃间断点。跳跃间断点。跳跃间断点。跳跃间断点。例例6不连续即间断不连续即间断不连续即间断不连续即间断连续函数的概念12(2)(2)(2)(2)可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点例例7是是的的可去间断点。可去间断点。可去间断点。可去间断点。是连续函数是连续函数连续函数的概念13（3 3）无穷间断点无穷间断点无穷间断点无穷间断点例例8 是是无穷间断点。无穷间断点。是无穷间断点。无穷间断点。无穷间断点。无穷间断点。在在在在(- (- ,+,+ ) )上有上有上有上有无穷间断点无穷间断点无穷间断点无穷间断点连续函数的概念14（4 4）振荡间断点）振荡间断点例例9在上来回振荡。是振荡间断点。振荡间断点。振荡间断点。振荡间断点。振荡不存在。振荡不存在。连续函数的概念152、间断点的分类、间断点的分类（1）第一类间断点：）第一类间断点：可去间断点可去间断点（2）第二类间断点：）第二类间断点：第一类除外第一类除外第一类除外第一类除外振荡间断点振荡间断点与与至少有一个不存在至少有一个不存在跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点振荡不存在。振荡不存在。左、右极限存在左、右极限存在左、右极限存在左、右极限存在连续函数的概念例例10 函数函数在在x=1处没有定义，所以函数在点处没有定义，所以函数在点x=1处间断，但处间断，但所以点所以点x=1是可去间断点是可去间断点若定义若定义f(1)=2，则新函数，则新函数为连续函数为连续函数连续函数的概念例例11 函数函数在在x=0处没有定义，所以函数在点处没有定义，所以函数在点x=0处间断，但处间断，但所以点所以点x=0是跳跃间断点是跳跃间断点问：问：有什么间断点？有什么间断点？连续函数的概念思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数x = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.2. 设设时时提示提示:为为连续函数连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,提示提示:连续函数的概念作业：作业： P.65 1,5书上；书上；3(1)(4)，4作业本作业本 上上4提示：提示：连续函数的概念第九节第九节第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性Th1Th1设设设设则则Th3Th3在点在点x0处连续，则处连续，则都在点都在点x0处连续。处连续。Th2Th2设设在区间在区间Ix上单调且连续，则其反函数上单调且连续，则其反函数在区间在区间Iy上也单调连续。上也单调连续。 20连续函数的概念由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则知，由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则知，任何初等函数在它们有定义的区间上都是连续的。任何初等函数在它们有定义的区间上都是连续的。任何初等函数在它们有定义的区间上都是连续的。任何初等函数在它们有定义的区间上都是连续的。例例例例1313解解解解 原式原式原式原式21连续函数的概念分段函数在分段点处连续，必须分段函数在分段点处连续，必须分段函数在分段点处连续，必须分段函数在分段点处连续，必须连续函数的概念作业：作业：P.69 1,5书上；书上；3(双数双数),4(双数双数)，6作业本作业本 上上23连续函数的概念第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质Th1 闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定能闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定能 取得最大值和最小值。取得最大值和最小值。例例在上连续。24连续函数的概念25注意：注意：注意：注意：如果定理的条件不满足，结论就不一定成立。如果定理的条件不满足，结论就不一定成立。在在内连续，内连续，函数在闭区间函数在闭区间-1，1上上x=0 处不连续，处不连续，没有最大值和最小值。没有最大值和最小值。也没有最大值和最小值。也没有最大值和最小值。连续函数的概念Th2（介值定理）（介值定理）推论推论1 在闭区间上连续的在闭区间上连续的函数必取得介于最大值和函数必取得介于最大值和最小值之间最小值之间 的任何值。的任何值。26连续函数的概念推论推论2（零点定理零点定理零点定理零点定理）利用零点定理，可以判断方程使使则则至至少少存存在在一一点点在某个范围内是否有实根。27且且 有有连续函数的概念例例. 证明方程证明方程证证: 显然显然又又故由零点定理故由零点定理, 至少存在一点至少存在一点使使即即说明说明:内必有方程的根内必有方程的根 ;取的中点的中点内必有方程的根内必有方程的根 ;可用此法逼近求近似根可用此法逼近求近似根.二分法二分法在区间在区间内至少有内至少有一个根一个根 .则则28连续函数的概念说明：说明：f(x)满足零点定理，则满足零点定理，则f(x)=0至少有一个根，至少有一个根，若函数又在该区间内单调，则只有唯一根。若函数又在该区间内单调，则只有唯一根。29连续函数的概念作业：作业：P.74 2,作业本作业本 上上30总复习题一总复习题一连续函数的概念备用题备用题 至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的正根正根 证：证：证明证明令令且且根据零点定理根据零点定理 ,原命题得证原命题得证 .内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间显然显然31连续函数的概念 谢谢 谢谢!32连续函数的概念