材料力学材料力学刘鸿文主编刘鸿文主编( (第第4 4版版) ) 高等教育出版社高等教育出版社目录目录附录附录I11 静矩与形心位置静矩与形心位置附录附录I12 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩附录附录I13 惯性矩和惯性积的平行移轴惯性矩和惯性积的平行移轴 公式公式附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质附录附录I14 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩1-1 1-1 1-1 1-1 面积矩与形心位置面积矩与形心位置面积矩与形心位置面积矩与形心位置一、静矩一、静矩一、静矩一、静矩是面积与它到轴的距离之积。是面积与它到轴的距离之积。dAxyyxo附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质二、形心：二、形心：二、形心：二、形心：( (等厚均质板的质心与形心重合。等厚均质板的质心与形心重合。) )dAxyyx等厚均质质心：等于形心坐标o附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质例例例例1 1 试确定下图的形心。试确定下图的形心。解解解解 ： 组合图形，用正负面积法解之。组合图形，用正负面积法解之。1.1.用正面积法求解，图形分割及坐标用正面积法求解，图形分割及坐标如图如图( (a a) )801201010xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质2.2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图( (b b) )图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1xy附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质1-2 1-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：一、惯性矩：一、惯性矩：一、惯性矩：( (与转动惯量类似）与转动惯量类似）与转动惯量类似）与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。是面积与它到轴的距离的平方之积。 dAxyyxr二、极惯性矩：二、极惯性矩：二、极惯性矩：二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。是面积对极点的二次矩。o附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质dAxyyxr三、惯性积：三、惯性积：三、惯性积：三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。面积与其到两轴距离之积。如果如果如果如果 x x 或或或或 y y 是图形的对称轴，是图形的对称轴，是图形的对称轴，是图形的对称轴，则则则则I Ixyxy =0 =0o附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质按按定义：定义：例例 求图示矩形截面对于对称轴x和y的惯性矩。dA=bdy 同理， 取微面积 例例 求图示圆形截面对于对称轴x和y的惯性矩。取微面积 利用圆的对称性 例例 求图示圆形截面对于对称轴x和y的惯性矩。利用圆的对称性 还可以怎样求？还可以怎样求？1-3 1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式：（与转动惯量的平行移轴公式类似）与转动惯量的平行移轴公式类似）以形心为原点，建立与原坐标轴平行以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyCo附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质注意注意: C点必须为形心点必须为形心附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质例例例例2 2 求图示圆对其切线求图示圆对其切线ABAB的惯性矩。的惯性矩。解解 ：求解此题有两种方法：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分；一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。二是用平行移轴定理等知识求。B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyOcircle附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质 例例 求图示槽形截面对水平形心轴x的惯性矩。 (1) 确定形心位置：=317mm (2) 计算惯性矩Ix：y C =450mm，y C=200mma= y C - y C = 450-317 = 133mma=yC - y C = 200-317 = -117mm (2) 计算惯性矩Ix：(Ix) =( IxC ) +a2 A=64810 6mm4 (Ix) =( IxC ) + a2 A =541106 mm4 最后可得 Ix =64810 6+2541106=1730106 mm4课堂练习课堂练习1-4 1-4 惯性矩和惯性积的转轴惯性矩和惯性积的转轴惯性矩和惯性积的转轴惯性矩和惯性积的转轴 公式公式公式公式* * 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩一、一、一、一、 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxx1y1x1y1o附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1.1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到 = = 0 0 时；恰好有时；恰好有 与与 0 0 对应的旋转轴对应的旋转轴x x0 0 y y0 0 称称为为主惯性轴主惯性轴主惯性轴主惯性轴；平面图形对；平面图形对主惯性轴之惯性矩称主惯性轴之惯性矩称为为主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩。附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质2.2.形心主轴和形心主惯性矩：形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为主惯性轴过形心时，称其为形心主轴形心主轴形心主轴形心主轴。平面图形对形心。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩：附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质3.3.求截面形心主惯性矩的方法求截面形心主惯性矩的方法建立坐标系计算面积和面积矩求形心位置建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质例例例例3 3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。( (b b=1.5=1.5d d) )解： 建立坐标系如图。求形心C的位置。 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy Cdb2dxyOxCyCx1C附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质db2dxyOxCyCx1附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质