7.3.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题考向一考向二考向三圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题解题策略解题策略函数最值法函数最值法(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.2考向一考向二考向三(2)以AP斜率k为自变量,表示出|PA|,联立直线AP与BQ的方程用k表示出点Q的横坐标,从而用k表示出|PQ|,得到|PA|PQ|是关于k的函数,用函数求最值的方法求出最大值.3考向一考向二考向三所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,4考向一考向二考向三解题心得圆锥曲线中的有关平面几何图形面积的最值问题,通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式,转化为函数的最值问题,然后求导确定函数单调性求最值,或利用基本不等式,或利用式子的几何意义求最值.5考向一考向二考向三对点训练对点训练1在平面直角坐标系xOy中,ABC的周长为12,AB,AC边的中点分别为F1(-1,0)和F2(1,0),点M为BC边的中点.(1)求点M的轨迹方程;(2)设点M的轨迹为曲线T,直线MF1与曲线T另一个交点为N,线段MF2中点为E,记S=解:(1)由题意,|MF1|+|MF2|=6-2=42=|F1F2|,M的轨迹是以F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点的椭圆(除去与x轴的交点),a=2,c=1,6考向一考向二考向三(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则由题意,设直线MN的方程为x=my-1,代入椭圆方程,整理可得(3m2+4)y2-6my-9=0,7考向一考向二考向三圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题(多维探究多维探究)解题策略一解题策略一条件转化法条件转化法(1)求椭圆E的方程;(2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.8考向一考向二考向三由向量数量积的坐标公式,即可求得直线l斜率的取值范围. 9考向一考向二考向三解:(1)由题意知ABP是等腰直角三角形,a=2,B(2,0), (2)由题意可知,直线l的斜率存在,设方程为y=kx-2,设M(x1,y1),N(x2,y2),10考向一考向二考向三由坐标原点O位于以MN为直径的圆外, 解题心得求某一量的取值范围,要看清与这个量有关的条件有几个,有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式,解不等式取交集得结论.11考向一考向二考向三(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点.若点F1在以|MN|为直径的圆内部,求k的取值范围.12考向一考向二考向三解:(1)设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),P(x0,y0),点A,B,P三点均在椭圆上,(2)设F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为y=k(x-c),记M(x3,y3),N(x4,y4),得(1+4k2)x2-8ck2x+4c2k2-4b2=0,0, 13考向一考向二考向三14考向一考向二考向三解题策略二解题策略二构造函数法构造函数法(1)求椭圆C的方程; 15考向一考向二考向三16考向一考向二考向三(2)当PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),17考向一考向二考向三解题心得求直线与圆锥曲线的综合问题中,求与直线或与圆锥曲线有关的某个量d的范围问题,依据已知条件建立关于d的函数表达式,转化为求函数值的范围问题,然后用函数的方法或解不等式的方法求出d的范围.18考向一考向二考向三对点训练对点训练3(2018浙江,21)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+ =1(x0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.难点突破 (1)A是椭圆的左顶点及MANAAM的倾斜角为AM的方程再代入椭圆方程yMAMN的面积.(2)MANAkMAkNA=-1用k表示出两条直线方程,分别与椭圆联立,用k表示出|AM|与|AN|,2|AM|=|AN|t=f(k),由椭圆焦点在x轴t3g(k)0. 23考向一考向二考向三24考向一考向二考向三解题心得圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广,但无论证明什么,其常用方法有直接法和转化法,对于转化法,先是对已知条件进行化简,根据化简后的情况,将证明的问题转化为另一问题,如本例中把证明k的范围问题转化为方程的零点k所在的范围问题.25考向一考向二考向三对点训练对点训练4(2018全国,理19)设椭圆C: +y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.(1)解:由已知得F(1,0),l的方程为x=1. 26考向一考向二考向三(2)证明:当l与x轴重合时,OMA=OMB=0,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),27考向一考向二考向三从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以OMA=OMB.综上,OMA=OMB.28