4.2 4.2 图形的全等图形的全等第四章第四章 三角形三角形1课堂讲解课堂讲解u全等图形全等图形 u全等三角形及对应元素全等三角形及对应元素 u全等三角形的性质全等三角形的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？的几何图形吗？追问追问你能再举出生活中的一些类似例子吗？你能再举出生活中的一些类似例子吗？1知识点全等图形全等图形知知1 1导导知知1 1导导知知1 1导导知知1 1导导知知1 1讲讲形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合能够完全重合 的两个图形叫做全等形的两个图形叫做全等形.（来自（来自教材教材）定义定义 一个图形经过平移一个图形经过平移,翻折，旋转后，位置变化了，翻折，旋转后，位置变化了，但和都没有改变，即平移，翻折，但和都没有改变，即平移，翻折，旋转前后的图形旋转前后的图形_ .完全重合完全重合形状形状大小大小知知1 1讲讲例例1 下图下图中中是全等图形的是是全等图形的是_和和形状相同，但大小不同，形状相同，但大小不同，和和大小、形状都不同；大小、形状都不同；和和、和和、和和尽管方向不同，但大小、形状完尽管方向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等图形，全相同，所以它们是全等图形，和和都是五角星，大小、都是五角星，大小、形状都相同，是全等图形形状都相同，是全等图形导引：导引：（来自（来自点拨点拨）和和、和和、和和、和和(1)此此题题运运用用定定义义识识别别全全等等图图形形，确确定定两两个个图图形形全全等等要要符合符合两个条件：两个条件：形状相同，形状相同，大小相同；是否大小相同；是否是是全等图形全等图形与位置无关与位置无关(2)判判断断两两个个图图形形是是否否全全等等还还可可以以通通过过平平移移、旋旋转转、翻翻折折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能否等方法把两个图形叠合在一起，看它们能否完全完全重合重合，即用，即用叠合法叠合法判断判断总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲例例2 如如图的图的图案是由全等的图形拼成的，其中图案是由全等的图形拼成的，其中AD0.5 cm，BC1 cm，则，则AF_cm.由图可知，所示的图案是由梯形由图可知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它和七个与它全等的梯形拼接而成的，根据全等则重合的性质有全等的梯形拼接而成的，根据全等则重合的性质有AF4AD4BC40.5416(cm)导引：导引：（来自（来自点拨点拨）6 本题利用了全等图形一定重合的性质来求解，做本题利用了全等图形一定重合的性质来求解，做题的关键是找清相互重合的对应边题的关键是找清相互重合的对应边总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练1下列四组图形中，是全等图形的一组是下列四组图形中，是全等图形的一组是()（来自（来自典中点典中点）D知知1 1练练2下列说法中正确的有下列说法中正确的有()用一张底片冲洗出来的用一张底片冲洗出来的10张张1寸相片是全等图形；寸相片是全等图形；我国国旗上的我国国旗上的4颗小五角星是全等图形；颗小五角星是全等图形；所有的正方形是全等图形；所有的正方形是全等图形；全等图形的面积一定相等全等图形的面积一定相等A1个个 B2个个 C3个个 D4个个（来自（来自典中点典中点）C知知1 1练练3如图，将标号为如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为线剪开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，的四个图形，填空：填空： A与与_对应；对应；B与与_对应；对应； C与与_对应；对应；D与与_对应对应（来自（来自典中点典中点）MNQP2知识点全等三角形及对应元素全等三角形及对应元素知知2 2导导ABCEDF例例如如能够完全重合的两个三角形能够完全重合的两个三角形, ,叫做叫做_._.全等三角形全等三角形知知2 2讲讲记作记作:ABCDEF读作读作 :ABC全等于全等于DEF互相重合的顶点叫互相重合的顶点叫对应顶点对应顶点.互相重合的边叫互相重合的边叫对应边对应边.互相重合的角叫互相重合的角叫对应角对应角.知知2 2讲讲点点A 与点与点D、点、点B 与点与点E、点、点C 与点与点F 重合，称为重合，称为对应顶点对应顶点； 边边AB 与与DE、边、边BC 与与EF、边、边AC 与与DF 重合，称为重合，称为对应边对应边； A 与与D、B 与与E、C 与与F 重合，称为重合，称为对应角对应角. ABCEDF知知2 2讲讲例例3 如如图，图，已知已知ABDCDB，ABDCDB，写，写出其对应边和对应角出其对应边和对应角在在ABD和和CDB中，中，ABDCDB，则，则ABD，CDB所对的边所对的边AD与与CB是对应边，是对应边，公共边公共边BD与与DB是对应边，余是对应边，余下的一对边下的一对边AB与与CD是对应边由对应边所对的角是是对应边由对应边所对的角是对应角可确定其他两组对应角对应角可确定其他两组对应角BD与与DB，AD与与CB，AB与与CD是对应边；是对应边；A与与C，ABD与与CDB，ADB与与CBD是对应角是对应角导引：导引：解：解： 利用图形的位置特征确定对应边和对应角利用图形的位置特征确定对应边和对应角时，要时，要抓住对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对抓住对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边，两对应边的夹角是对应角，两对应角的夹边是应边，两对应边的夹角是对应角，两对应角的夹边是对应边；当全等三角形的两组对应边对应边；当全等三角形的两组对应边(角角)已确定时，已确定时，剩下的一组边剩下的一组边(角角)就是对应边就是对应边(角角)总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例4 如如图，图，ACBBDA，AC和和BD对应，对应，BC和和AD对应，对应，写出其他的对应边及对应角写出其他的对应边及对应角因为已经知道了两组对应边，所以因为已经知道了两组对应边，所以剩下的一组边是对应边根据对应剩下的一组边是对应边根据对应边所对的角是对应角，容易发现对边所对的角是对应角，容易发现对应角，所以比较容易发现应角，所以比较容易发现AC的对角的对角CBA和和BD的对角的对角DAB是对应角，是对应角，BC的对角的对角CAB和和AD的对角的对角DBA是对应角，剩下的一组角：是对应角，剩下的一组角：ACB和和BDA是对应角是对应角其他的对应边是其他的对应边是AB和和BA，对应角是，对应角是CBA和和DAB，CAB和和DBA，ACB和和BDA.导引：导引：解：解：（来自（来自点拨点拨） 根据对应边根据对应边(角角)找对应角找对应角(边边)的方法：的方法：对应边所对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边对的角是对应角，对应角所对的边是对应边总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）1在图中找出两对全等的三角形，在图中找出两对全等的三角形，并指出其中的对应角和对应边并指出其中的对应角和对应边.知知2 2练练（来自（来自教材教材）解：解：如图，在图中标注一些字母如图，在图中标注一些字母 OABOCD，它们的对应角是，它们的对应角是AOB和和COD，A和和C，B和和D，对应边是，对应边是OA和和OC，OB和和 OD，AB和和CD；OEFOGH，它们的对应角是，它们的对应角是EOF和和GOH，OEF和和OGH，OFE和和 OHG，对应边是，对应边是OE和和OG，OF和和OH，EF和和GH.2如如图图，将将ABC沿沿BC所所在在的的直直线线平平移移到到ABC的的位位 置置 ， 则则 ABC_ABC， 图图 中中 A与与_，B与与_，ACB与与_是是对对应角应角知知2 2练练（来自（来自典中点典中点） ABCAC3知识点全等三角形的性质全等三角形的性质知知3 3导导图图 (中中)，ABCDEF，对应边有什么关系？，对应边有什么关系？对应角有什么关系？对应角有什么关系？知知3 3导导还具备：还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应边全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积也相等长相等、面积也相等全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。全等三角形的对应角相等。全等三角形的性质全等三角形的性质知知3 3讲讲例例5 如如图，图，已知点已知点A，D，B，F在同一条直线上，在同一条直线上，ABCFDE，AB8 cm，BD6 cm.求求FB的长的长（来自（来自点拨点拨）由全等三角形的性质知由全等三角形的性质知ABFD，由等式的性质可得由等式的性质可得ADFB，所以要求所以要求FB的长，只需求的长，只需求AD的长的长因为因为ABCFDE，所以，所以 ABFD.所以所以 ABDBFDDB，即，即ADFB.因为因为AB8 cm，BD6 cm，所以所以ADABDB862(cm)所以所以FBAD2cm.导引：导引：解：解：(1)全等三角形的性质在几何推理和计算中起着重要全等三角形的性质在几何推理和计算中起着重要作用，当所求线段不是全等三角形的对应边时，作用，当所求线段不是全等三角形的对应边时，可利用等式的性质进行转换，从而找到所求线段可利用等式的性质进行转换，从而找到所求线段与已知线段的关系与已知线段的关系(2)本题利用全等三角形的性质，可把线段本题利用全等三角形的性质，可把线段AB转化转化成成线段线段DF，再利用等式的性质可把求线段，再利用等式的性质可把求线段FB的长的长转化转化成求线段成求线段AD的长的长总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲例例6 如如图图，RtABC RtCDE，BD90，且且B，C，D三点在一条直三点在一条直线线上，求上，求ACE的度数的度数要求要求ACE，只需求，只需求ACB、ECD或或ACBECD即可即可由于由于ACB和和ECD无法求出，无法求出，因此必须求因此必须求ACBECD.由由RtABC RtCDE，可知，可知BACDCE，结合直角三角形的两个锐角互余的性质，可求结合直角三角形的两个锐角互余的性质，可求ACB与与ECD的度数和，再根据平角的定义可求的度数和，再根据平角的定义可求ACE的的度数度数导引：导引：（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲因为因为RtABC RtCDE，所以所以BACDCE.又因为在又因为在RtABC中，中，B90，所以所以ACBBAC90.所以所以ACBECD90.所以所以ACE180(ACBECD)1809090.解：解：（来自（来自点拨点拨）(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角的对应全等三角形的性质先确定两个三角形中角的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角之间的转关系，由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的度数换，从而求出所要求的角的度数(2)本题主要利用了全等三角形对应角相等的性质，本题主要利用了全等三角形对应角相等的性质，通过全等三角形把属于两个三角形的通过全等三角形把属于两个三角形的ACB、ECD联系在一起，并将它们作为一个联系在一起，并将它们作为一个整体整体求出求出其度数的和其度数的和总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）1如图，如图，ABCAEC，B30，ACB85，求出，求出AEC各各内角的度数内角的度数.知知3 3练练（来自（来自教材教材）解：解：因为因为B30，ACB85，BACBBAC180，所以，所以BAC180BACB180308565. 又因为又因为ABCAEC，所以，所以EB30，EACBAC65，ACEACB85.2【2016成都成都】如图，如图，ABCABC，其中，其中A36，C24，则，则B_.知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）1203【2016厦门厦门】如图，点如图，点E，F在线段在线段BC上，上，ABF与与DCE全等，点全等，点A与点与点D，点，点B与点与点C是对应顶点，是对应顶点，AF与与DE交于点交于点M，则，则DCE等等于于()AB BA CEMF DAFB知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）A4如图，如图，ABCCDA，并且，并且BCDA，那么，那么下列结论错误的是下列结论错误的是()A12 BACBDACCABAD DBD知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）C5【2017聊城聊城】如图，将如图，将ABC绕点绕点C顺时针旋顺时针旋转，使点转，使点B落在落在AB边上点边上点B处，此时，点处，此时，点A的的对应点对应点A恰好落在恰好落在BC的延长线上，下列结论的延长线上，下列结论错误的是错误的是()ABCBACA BACB2BCBCABAC DBC平分平分BBA知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）C6如图，如图，D，E分别是分别是ABC的边的边AC，BC上的上的点，若点，若ADBEDBEDC，则，则C的度的度数为数为()A15 B20 C25 D30知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）D7【2017山西山西】如图，将长方形纸片如图，将长方形纸片ABCD沿沿BD折叠，得到折叠，得到BCD，CD与与AB交于点交于点E.若若135，则，则2的度数为的度数为()A20 B30 C35 D55知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）A1.全等图形：全等图形：(1)定义定义;(2)性质性质.2.全等三角形：全等三角形：(1)定义定义;(2)性质性质.3.全等三角形全等三角形的性质的作用的性质的作用：(1)求角的度数；求角的度数；(2)说明两个角相等说明两个角相等；(3)求线段的长度；求线段的长度；(4)说明两条线段相等说明两条线段相等；(5)判断两条直线的位置关系等判断两条直线的位置关系等1知识小结知识小结2易错小结易错小结如图，已知如图，已知ABEACD，12，BC，指出，指出其他的对应边和对应角其他的对应边和对应角AB与与AC，AE与与AD，BE与与CD是对应边；是对应边；E与与D是对应角是对应角解：解：易错点：易错点：不能准确确定全等三角形中的对应关系不能准确确定全等三角形中的对应关系错解：错解：诊断：诊断：AB与与AD，AE与与AC，BE与与CD是对应边；是对应边；BAC与与DAE是对应角是对应角一般情况下，对于图形的全等来说，能够完全重一般情况下，对于图形的全等来说，能够完全重合的部分是相互对应的实际应用中，应结合图合的部分是相互对应的实际应用中，应结合图形将对应点写在对应位置上，以免出现错误形将对应点写在对应位置上，以免出现错误 请完成请完成典中点典中点 、 板块板块 对应习题！对应习题！