第二节空间几何体的表面积和体积总纲目录教材研读空间几何体的表面积与体积公式考点突破考点二空间几何体的体积考点二空间几何体的体积考点一空间几何体的表面积考点三与球有关的切、接问题考点三与球有关的切、接问题空间几何体的表面积与体积公式空间几何体的表面积与体积公式教材研读教材研读几个与球切、接有关的结论几个与球切、接有关的结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,若球为正方体的外接球,则2R=a;若球为正方体的内切球,则2R=a;若球与正方体的各棱相切,则2R=a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.1.(2016北京西城期末)一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的表面积是()A.16+2B.16+2C.20+2D.20+2B答案答案B由三视图,得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱柱,其底面面积为(1+2)2=3,底面周长为2+2+1+=5+,高为2,故四棱柱的表面积S=32+(5+)2=16+2.故选B.2.一个球的表面积是16,那么这个球的体积为()A.B.C.16D.24答案答案B设球的半径为R,则由4R2=16,解得R=2,所以这个球的体积为R3=.B3.(2016北京西城一模)一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.答案答案解析解析如图所示,正方体被截去一个三棱锥P-ABC,故所得几何体的体积V=23-112=8-=.4.(2017北京东城期末)一个四棱锥的三视图如图所示(单位:cm),这个四棱锥的体积为cm3.答案答案72解析解析由已知中的三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,其底面面积S=66=36cm2,高h=6cm,故棱锥的体积V=Sh=72cm3.72考点一空间几何体的表面积考点一空间几何体的表面积考点突破考点突破典例典例1(1)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36B.54+18C.90D.81(2)(2016北京朝阳一模)已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是()A.3+B.3+C.1+2D.1+2答案答案(1)B(2)B解析解析(1)由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为3的斜四棱柱.其表面积S=232+233+236=54+18.故选B.(2)将三视图还原成立体图形并嵌在长方体中,如图中四棱锥P-ABCD.由三视图得AB=2,P为A1B1的中点,BB1=1,PB=PA=.PD=PC=.易知PCD的DC边上的高=2.S侧=SPAB+SPBC+SPAD+SPCD=21+22=3+.方法技巧方法技巧空间几何体表面积的求法(1)表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积,只需将它们沿着棱剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要弄清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出不规则几何体的表面积.1-1如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28A答案答案A由三视图可知该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则=R3,解得R=2.故其表面积为422+322=17.选A.1-2某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12B答案答案B如图所示:将三棱锥置于长方体中.此长方体的长为5、宽为4、高为4,三棱锥为P-ABC,P在底面内的射影为P,SP-ABC=SPAB+SPBC+SPAC+SABC=26+45+54+54=6+10+10+10=30+6.故选B.典例典例2(1)(2016北京海淀一模)某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为()A.B.C.D.考点二空间几何体的体积考点二空间几何体的体积(2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.答案答案(1)A(2)解析解析(1)根据三视图将几何体还原并嵌到长方体中,如图中三棱锥P-AEC.由三视图得EC=2,CC1=1,BC=,所以体积V=SAEC1=1=.(2)由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱柱ABCD-ABCD.故该四棱柱的体积V=Sh=(1+2)11=.方法技巧方法技巧空间几何体体积的求法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,等体积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.2-1(2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.60B.30C.20D.10D答案答案D本题考查三视图的相关知识,三棱锥体积的计算,考查学生的空间想象能力.根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示,VP-ABC=354=10.故选D.典例典例3体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.C.8D.4考点三与球有关的切、接问题考点三与球有关的切、接问题命题角度一正方体的外接球命题角度一正方体的外接球答案答案A解析解析设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=a,即R=,所以球的表面积S=4R2=12.故选A.A命题角度二直棱柱的外接与内切球命题角度二直棱柱的外接与内切球典例典例4(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为()A.B.2C.D.3(2)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.C.6D.解析解析(1)如图所示,由球心作平面ABC的垂线,垂足为BC的中点M.连接OA,AM,又AM=BC=,OM=AA1=6,所以球O的半径R=OA=.(2)易知AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则68=(6+8+1答案答案(1)C(2)B0)r,所以r=2,因为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=R3=.故选B.命题角度三正棱锥的外接与内切球命题角度三正棱锥的外接与内切球典例典例5(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16C.9D.(2)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则=.答案答案(1)A(2)解析解析(1)如图所示,设球的半径为R,底面中心为O,球心为O,由题意得AO=.PO=4,OO=4-R,在RtAOO中,AO2=AO2+OO2,R2=()2+(4-R)2,解得R=,该球的表面积为4R2=4=.(2)设正四面体内切球的半径为r,正四面体的棱长为a,则正四面体的表面积S1=4a2=a2,其内切球的半径为正四面体高的,即r=a=a,因此内切球的表面积S2=4r2=,则=.方法指导方法指导“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题时要找准切点.(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在同一球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.3-1三棱锥P-ABC中,PAAB,PAAC,BAC=120,PA=AB=AC=2,则此三棱锥外接球的体积为.答案答案解析解析设ABC外接圆的半径为r,三棱锥外接球的半径为R,AB=AC=2,BAC=120,BC=2,2r=4,r=2,由题意知PA平面ABC,则将三棱锥补成三棱柱可得R=,此三棱锥外接球的体积为()3=.