1第第6次课次课:随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量的概念随机变量的概念 随机变量的分布函数的概率意义与数学性质随机变量的分布函数的概率意义与数学性质 离散型随机变量的概率函数或分布律离散型随机变量的概率函数或分布律 连续型随机变量的密度函数连续型随机变量的密度函数 分布函数与密度函数的关系分布函数与密度函数的关系习题二（习题二（2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) 2试验的所有可能结果构成的集合被称作样试验的所有可能结果构成的集合被称作样本空间本空间 , 而每一个可能的试验结果而每一个可能的试验结果 构成构成样本点样本点. 样本点的集合样本点的集合A称作事件称作事件, 只包含只包含一个样本点的集合一个样本点的集合 被称作基本事件被称作基本事件.从样本空间到实数集合的一个映射从样本空间到实数集合的一个映射称之为称之为随机变量随机变量, 即每给定一个试验结果或者样即每给定一个试验结果或者样本点本点 , 存在着唯一的一个实数存在着唯一的一个实数 ( )与之与之对应对应. 这样就建立了一个自变量为这样就建立了一个自变量为 ，函函数值则为实数的一个特殊的数值则为实数的一个特殊的函数函数. 3一些随机变量的例子(1) 一个射手对目标进行射击一个射手对目标进行射击, 击中目标记击中目标记为为1分分, 未中目标记为未中目标记为0分分. 如果用如果用 表示射手表示射手在一次射击中的得分在一次射击中的得分, , 则它是一个随机变量则它是一个随机变量, , 可以取可以取0 0和和1 1两个可能的值两个可能的值. .(2) (2) 某段时间内候车室的旅客数目记为某段时间内候车室的旅客数目记为 , , 它它是一个随机变量是一个随机变量, , 可以取可以取0 0及一切不大于及一切不大于MM的自然数的自然数, , MM为候车室的最大容量为候车室的最大容量. .(3) (3) 单位面积上某农作物的产量单位面积上某农作物的产量 是一个随是一个随机变量机变量, , 它可以取一个区间内的一切实数值它可以取一个区间内的一切实数值, , 即即 0,T, T是一个常数是一个常数.4按取值情况将随机变量分为两类按取值情况将随机变量分为两类:(1) 离散型随机变量离散型随机变量只可能取有限个或无限只可能取有限个或无限可列个值可列个值.(2) 非离散型随机变量非离散型随机变量可能取任何实数可能取任何实数.而非离散型随机变量中最常用的为而非离散型随机变量中最常用的为连续型随连续型随机变量机变量.5定义定义 2.1 如果随机变量如果随机变量 只取有限个或可列个只取有限个或可列个可能值可能值, 而且以确定的概率取这些不同的值而且以确定的概率取这些不同的值, 则称则称 为离散性随机变量为离散性随机变量. 为直观起见为直观起见, 将将 可能取的值及相应概率列可能取的值及相应概率列成成概率分布表概率分布表如下如下x1x2xkPp1p2pk此外此外, , 的概率分布情况也可以用一系列等式表的概率分布情况也可以用一系列等式表示示: :P( =xk)=pk(k=1,2,)这被称作随机变量这被称作随机变量 的的概率函数概率函数(或概率分布或概率分布)6其中=x1, =x2, , =xk, 构成一完备事件组. 因此概率函数具有如下性质:一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表概率函数或概率分布表.上面两个性质中的性质上面两个性质中的性质(2)经常在解题中构成经常在解题中构成解方程的一个条件解方程的一个条件.7例例1 一批产品的废品率为一批产品的废品率为5%, 从中从中任意抽取一个进行检验任意抽取一个进行检验, 用随机变用随机变量量 来描述废品出现的情况来描述废品出现的情况. 好写好写出出 的分布的分布.解解 用用 表示废品的个数表示废品的个数, 则它只能则它只能取取0或或1两个值两个值. =0表示表示产品为产品为合格合格, =1表示表示产品为废品产品为废品, 则概率分布表如下则概率分布表如下01P0.950.05即P=0=0.95, P=1=0.05, 或可写为P=k=0.05k0.951-k(k=0,1)8两点分布: 只有两个可能取值的随机变量所服从的分布, 称为两点分布. 其概率函数为P(=xk)=pk(k=1,2)概率分布表为:x1x2Pp1p2概率分布图为xp1p2x1x290-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为0-1分布. 其概率函数为P( =k)=pk(1-p)1-k(k=0,1)概率分布表为:01P1-pp概率分布图为x1-pp01110例2 产品有一,二,三等品及废品4种, 其一,二,三等品率和废品率分别为60%, 10%, 20%, 10%, 任取一个产品检验其质量, 用随机变量 描述检验结果并画出其概率函数图.解 令=k与产品为k等品(k=1,2,3)相对应, =0与产品为废品相对应. 是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意,P(=0)=0.1P(=1)=0.6P(=2)=0.1P(=3)=0.2则可列出概率分布表并画出概率分布图.11 的概率分布表为0123P0.10.60.10.2概率分布图为x01230.11p12例3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况解 ：令表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率分布表和概率分布图如下123456P1/61/61/61/61/61/661P0123456x13离散型均匀分布 如果随机变量有概率函数:则称服从离散型均匀分布.14例4 社会上定期发行某种奖券, 每券1元, 中奖率为p, 某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次再继续购买1张, 直到中奖为止. 求该人购买次数的分布.解 =1表示第一次购买的奖券中奖表示第一次购买的奖券中奖, 依题意依题意P( =1)=p, =2表示购买两次奖券表示购买两次奖券, 但第一次未中奖但第一次未中奖, 其其概率为概率为1- -p, 而第二次中奖而第二次中奖, 其概率为其概率为p. 由于各由于各期奖券中奖与否相互独立期奖券中奖与否相互独立, 所以所以P( =2)=(1- -p)p; =i表示购买表示购买i次次, 前前i- -1次都未中奖次都未中奖, 而第而第i次次中奖中奖, P( =i)=(1- -p)i- -1p.15由此得到的概率函数为P( =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,)称此分布为几何分布16例5 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡, 其中10个螺口, 5个卡口, 灯口向下放着, 现在需用1个螺口灯泡, 从盒中任取一个, 如果取到卡口灯泡就不再放回去. 求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的分布.17解解 =0表示第一个就取到了螺口灯泡表示第一个就取到了螺口灯泡, =1 表示第一个取到卡口而第二个才取到螺表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡口灯泡, 因此因此P( =0)=10/15=2/3,P( =1)=(5/15)(10/14)=5/21P( =2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273P( =3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273P( =4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003P( =5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003概率分布表为概率分布表为012345P2/35/2120/2735/273 10/30031/300318随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义 2.2 若若 是一个随机变量是一个随机变量(可以是离散可以是离散型的型的, 也可以是非离散型的也可以是非离散型的), 对任何实数对任何实数x, 令令F(x)=P( x)称称F(x)是随机变量是随机变量 的分布函数的分布函数(因此因此, 要求出一个随机变量的分布函数的要求出一个随机变量的分布函数的工作量是很大的工作量是很大的, 理论上要算无穷多个事理论上要算无穷多个事件的概率才行件的概率才行)19例6 求本节例1中的分布函数解 在例1中的分布函数如下表所示:01P0.950.05其分布函数为20对于一般的0-1分布: 其分布函数为x1-p011x1-pp011F(x)21例7 求例3中的分布函数F(x)解：22的概率函数及F(x)的图形为P0123456x0123456x1F(x)23分布函数与概率函数满足关系:这是因为在一般的公式中, 要考虑x1,x2,并非按从小到大的次序排列的可能性.例如, 假设x1=0, x2=-1, x3=1P(x1)=0.2=p1, P(x2)=0.3=p2, P(x3)=0.5=p3,24这时便有25F(x)的图形为x2x1x3F(x)26F(x), 即事件x的概率是x的一个实函数对任意实数x1x2, 有因x2x1x1x2=x2-x1P(x1x2)=P(x2)-P(x1)即P(x1x2)=F(x2)-F(x1)因此, 若已知的分布函数F(x), 就能知道在任何一个区间上取值的概率, 从这个意义上说, 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况27分布函数F(x)具有如下几个性质:28连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布一随机变量的分布函数是描述任何类型的一随机变量的分布函数是描述任何类型的随机变量的变化规律的最一般的形式，但随机变量的变化规律的最一般的形式，但由于它不够直观，往往不常用。由于它不够直观，往往不常用。比如，对离散型随机变量，用概率函数来比如，对离散型随机变量，用概率函数来描述即简单又直观。描述即简单又直观。对于连续型随机变量也希望有一种比分布对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式函数更直观的描述方式“概率密度函数概率密度函数”29例8 在区间4,10上任意抛掷一个质点, 用表示这个质点和原点的距离, 则是一随机变量, 如果这个质点落在4,10上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比, 求的分布函数.410x30解: 可以取4, 10上的一切实数, 即410是一个必然事件, P410=1,若c,d4,10, 有Pcd=(d-c), 为比例常数, 特别地, 取c=4, d=10, P410=(10-4)=6=1, 因此=1/6.31F(x)的图形如下所示0F(x)410x32定义定义: 对于连续型随机变量对于连续型随机变量 , 如果存在一定义如果存在一定义在在(- - , + )上的上的非负函数非负函数 (x), 对于任意实数对于任意实数x都有都有 (x) 0, 且满足且满足, 落在任意区间内的概率为落在任意区间内的概率为 (x)在此区间的积分在此区间的积分, 即即则称(x)为的概率密度函数,.33用概率密度函数计算用概率密度函数计算 落在任何落在任何区间内的概率如下图所示意区间内的概率如下图所示意.abx0(x)P(ab)34因此, 概率密度函数的两个性质一个是(x)0, 另一个则是x0(x)35概率密度函数(x)与分布函数F(x)的关系为x0(x)x36进一步剖析可得x0(x)xx+x这表明(x)不是取值x的概率, 而是它在x点概率分布的密集程度.37在例1中的概率密度函数(x)为0410x(x)38例9 若有概率密度则称服从区间a,b上的均匀分布, 试求F(x).解 因为39(x)的图形为求分布函数F(x)则是根据公式0abx(x)40当xa时0abx(x)x41当当axb时0abx(x)x43综上所述, 最后得分布函数为44F(x)与与 (x)的图形对照的图形对照如下如下:0abx(x)0abxF(x)145例例10 已知连续型随机变量已知连续型随机变量 有概有概率密度率密度求系数求系数k及分布函数及分布函数F(x), 并计算并计算P(1.5 2.5)解解 因因46则则 (x)及其图形如及其图形如下下120x(x)47x当x0时,120x(x)48x当当0x2时时,x120x(x)50综合前面最后综合前面最后得得120xF(x)51120x(x)120xF(x)将概率密度函数将概率密度函数 (x)与分布函数与分布函数F(x)对照对照52现根据概率密度函数和分布函数分现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率别计算概率P1.5 2.5根据分布函数计算根据分布函数计算: P1.5 2.5= P1.5 2.5- -P( =2.5)=F(2.5)- -F(1.5)- -0=1- - -(1.52/4)+1.5=1- -0.9375=0.0625根据概率密度函数进行计算则是根据概率密度函数进行计算则是53用两种方法计算用两种方法计算P1.5 0, 称pij/pj(2)(i=1,2,)为在h=yj条件下关于的条件分布, 记为显然P=xi|h=yj是非负的, 并且对于所有的i, 它们的和为1, 同样地, 若pi(1)0, 称为在=xi条件下关于h的分布.68求例1的各个条件分布210100.10.310.30.3P1=0|2=0=1/4, P1=1|2=0=3/4P1=0|2=1=1/2, P1=1|2=1=1/2P2=0|1=0=1/4, P2=1|1=0=3/4P2=0|1=1=1/2, P2=1|1=1=1/269例3 求出例2在2=1条件下1的分布1201204/164/161/1614/162/16021/1600101P1|2=1)2/31/370例4某射手在射击中, 每次都击中目标的概率为p(0p1), 射击进行到第二次击中目标为止, 1,2表示第1,2次击中目标时所进行的射击次数, 求1和2的联合分布以及它们的条件分布.解 令q=1-p, 事件1=i, 2=j表示第i次及第j次击中了目标(1ij), 而其余j-2次都没有击中目标. 已知各次射击是相互独立的, 所以pij=P1=i, 2=j=p2qj-2 (i=1,2,1i0, 因此关于1的条件分布为即在第二次命中是在第j次射击的条件下,第一次命中是在前j-1次射击中等可能的离散均匀分布. 同样可得关于2的条件分布为:74连续型 二元连续型随机变量是用联合概率密度函数(x,y)来描述的, 它具有性质因此对于平面上任何可积区域S, (, h)落在此区域内的概率是(x,y)在S上的二重积分, 即75二元概率密度函数(x,y)从图形上看是在xy平面上方的一个曲面, 包围着下方的体积为1.76显然, 对任意实数ab及cd, 有(,h)的分布函数F(x,y)也可由下式求出:77(,h)关于及h的边缘分布函数可按下式求出78若记称1(x)或(y)是(,h)中关于的边缘概率密度. 同样地记则称2(y)或h(y)是(,h)中关于h的边缘概率密度.79条件概率密度, 首先计算chc+条件下a0, 称为在h = y条件下, 关于的条件概率密度.而称为在=x条件下, 关于h的条件概率密度81随机变量的独立随机变量的独立性性两个随机变量两个随机变量 和和h h是相互独立的是相互独立的, 是指的其是指的其中一个变量取任意值的事件和另一个变量中一个变量取任意值的事件和另一个变量取任意值的事件总是相互独立的取任意值的事件总是相互独立的.严格的定义为严格的定义为:定义定义 2.9 对于任何实数对于任何实数x,y, 如果二元随机变如果二元随机变量量( ,h h)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)等于等于 和和h h的边的边缘分布函数的乘积缘分布函数的乘积, 即即F(x,y)=F (x)Fh h(y)则称随机变量则称随机变量 与与h h相互独立相互独立.82离散型离散型 与与h h相互独立的充要条相互独立的充要条件是对一切件是对一切i,j=1,2,pij=pi(1)pj(2)例例 如果如果 取值取值1,2,3的概率为的概率为0.2, 0.5, 0.3, 而而h h取值取值1,2的概率为的概率为0.6, 0.4, 与与h h相互独立相互独立, 则它们的联合则它们的联合概率分布如下表所示概率分布如下表所示:h12310.120.30.1820.080.20.1283在给定离散型随机变量的概率分布表的情况下，在给定离散型随机变量的概率分布表的情况下，如果要判定其不独立往往容易如果要判定其不独立往往容易, 只要任找一个只要任找一个pij不等于边缘概率不等于边缘概率pi(1)和和pj(2)的乘积就可断定其的乘积就可断定其不独立不独立. 经常的快捷办法就是经常的快捷办法就是, 只要发现联合概只要发现联合概率分布表中有率分布表中有0存在存在, 就基本可以认为这两个随就基本可以认为这两个随机变量不独立了机变量不独立了.而如果要判定其独立而如果要判定其独立, 则需要验证每一个则需要验证每一个pij是是否为各个边缘概率的乘积否为各个边缘概率的乘积.84连续连续型型如如 和和h h为连续型随机变量为连续型随机变量, 则它们相互独立则它们相互独立的充分必要条件为的充分必要条件为, 对任何实数对任何实数x, y (x, y)= 1(x) 2(y)= (x) h h(y)当一个二元函数当一个二元函数f(x, y)可写成两个单变量的可写成两个单变量的函数乘积函数乘积f(x, y)=g(x)h(y)时时, 称其为可分离变称其为可分离变量的量的. 不难证明如果不难证明如果 和和h h的联合概率密度的联合概率密度 (x,y)可分离变量的可分离变量的, 它们就是相互独立的它们就是相互独立的, 反之亦然反之亦然.85例例5 本节例本节例2的两个随机变量的两个随机变量 1和和 2是否相互独立是否相互独立?1201204/164/161/1614/162/16021/1600解解 p22=0 p2(1)p2(2)=(1/16)(1/16)因此因此 1和和 2不独立不独立.86例例6 两个随机变量两个随机变量x1与与x2相互独立相互独立, 其概率密度为其概率密度为求它们的联合概率密度求它们的联合概率密度.解解: 87第第8次课次课:随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布讲评第二章部分习题讲评第二章部分习题 习题二习题二（30，32，34，36） 88定义定义 2.10设设f(x)是定义在随机变量是定义在随机变量 的一切可能值的一切可能值x的集的集合上的函数合上的函数. 如果对于如果对于 的每一可能取值的每一可能取值x, 有有另一个随机变量另一个随机变量h h的相应取值的相应取值y=f(x). 则称则称h h为为 的函数的函数, 记作记作h h=f( ).我们的任务是我们的任务是, 如何根据如何根据 的分布求出的分布求出h h的分布的分布, 或由或由( 1, 2, n)的分布求出的分布求出h h=f( 1, 2, n)的的分布分布.89(一一) 离散型随机变量函数离散型随机变量函数的分布的分布如果相应的函数如果相应的函数f(x)在给定的试验范围内是在给定的试验范围内是单调函数或者存在反函数单调函数或者存在反函数, 则则h h=f( )的分布是的分布是很容易从很容易从 的分布中求出来的的分布中求出来的, 即当即当P( =xi)=pi时时, P(h h=f(xi)=pi, i=1,2,90例例1 测量一个正方形的边长测量一个正方形的边长, 其结其结果是一个随机变量果是一个随机变量 (为简便起见为简便起见把它看成是离散型的把它看成是离散型的), 的分布如的分布如下表所示下表所示, 求周长求周长h h和面积和面积z z的分的分布律布律. 9101112P0.20.30.40.191解解: 根据题意知根据题意知h h和和z z都是都是 的函数的函数,h h=4 , z z= 2,因此而计算出如下因此而计算出如下的结果的结果 9101112P0.20.30.40.1z81100121144P0.20.30.40.1h36404448P0.20.30.40.192例例2 的分布如下表所示的分布如下表所示, 求求 2的分布的分布-1011.53P0.20.10.30.30.1解 此题与上题的不同在于存在着取负数的可能, 而-1的平方与1的相同, 因此, 2=1的事件是=1和=-1两个互斥事件的和, 则P2=1=P=1+P=-1, 最后结果如下表:2012.259P0.10.50.30.193例例3 一个仪器的长度由两个主要部一个仪器的长度由两个主要部件构成件构成, 其总长度为此二部件之和其总长度为此二部件之和, 这两个部件的长度这两个部件的长度x和和h为两个相互为两个相互独立的随机变量独立的随机变量, 其分布律如下二表其分布律如下二表所示所示. 求此仪器长度的分布律求此仪器长度的分布律.91011P0.30.50.2h67P0.40.694解解 设仪器的总长度为设仪器的总长度为z z, ,h h的可能的可能取值的数对及概率与相应的和如下取值的数对及概率与相应的和如下面的表所示面的表所示91011P0.30.50.2h67P0.40.69910101111h676767z=+h151616171718P0.12 0.18 0.20.3 0.08 0.1295由此可计算出z的分布率如下表所示.9910101111h676767z=+h151616171718P0.12 0.180.20.30.08 0.12z15161718P0.120.380.380.1296例4 求2.3例2中两个邮筒内信的数目之和1+2的分布律.解 1和2的联合分布律如下表所示1201204/164/161/1614/162/16021/160097按斜线计算:1201204/164/161/1614/162/16021/16001+2=01+2=11+2=21+2=31+2=41+2012P1/41/21/498用斜线法计算1-2的分布1201204/164/161/1614/162/16021/16001-2=-21-2=-11-2=01-2=11-2=21-2-2-1012P1/164/166/164/161/1699(二)连续型例5 已知的概率密度是 (x), h=4-1, 求h的概率密度h(x).解 首先求h的分布函数Fh(x). 依题意, 有其中F(x)为的分布函数. 然后对上式两边求导即得和h的概率密度函数的关系.100对101例6 设随机变量的分布函数为F(x), 求2的分布函数.解:102特别地特别地, 如果如果 是具有概率密度为是具有概率密度为 (x)的连续型随机变量的连续型随机变量, 103例例7 和的分布和的分布, 已知已知( ,h h)的联合概的联合概率密度是率密度是 (t1,t2), z z= +h h, 求求z z的概的概率密度率密度 z z(x).解解 先求先求z z的分布函数的分布函数, 再求其概率再求其概率密度密度.104由概率密度函数的定义可知由概率密度函数的定义可知z z的概的概率密度函数为率密度函数为若若 与与h h相互独立相互独立, 则有则有105当固定一x时, t1+t2x积分区域的示意图t1t2t1+t2=x106在数学上, 给定两个函数g(x)和h(x), 称函数为函数为函数g(x)和和h(x)的卷积的卷积, 记作记作f(x)=g(x)*h(x), 卷积也具有某些卷积也具有某些乘法乘法的性质的性质, 如满足交换律如满足交换律和结合律等等和结合律等等.因此我们知道两个相互独立的连续型随机变量因此我们知道两个相互独立的连续型随机变量 和和h h相加得到的随机变量相加得到的随机变量z z= +h h的概率密度是的概率密度是 和和h h的概率密度之卷积的概率密度之卷积.107例例 随机变量随机变量 和和h h相互独立相互独立, 且且概率密度都由下式表示概率密度都由下式表示:求求 +h h的概率密度的概率密度.解解: 因为因为 和和h h都只取正值都只取正值, 因此因此 +h h也只取正值也只取正值, 即当即当x 0时时, +h h(x)=0, 而当而当x0时时, 它们的和的它们的和的概率密度为概率密度为(接后页接后页)108当当x0时时,109例例 假设假设n个随机变量个随机变量 1, 2,., n相互独立且它们都有相同的概相互独立且它们都有相同的概率密度函数为率密度函数为试证它们的和试证它们的和 1+ 2+.+ n的概率密度函数为的概率密度函数为110证证: 用归纳法用归纳法, 当当n=2时时, 由前例由前例已知命题成立已知命题成立, 假设当假设当n=k- -1时时, 命题成立命题成立, 即即则则k个相互独立的随机变量相加的概率密度个相互独立的随机变量相加的概率密度为为 k- -1(x)* 1(x), 111即有即有, 当当x0时时, k(x)=0, 当当x 0时时112进一步讨论进一步讨论, 由于由于