第第2 2节等差数列节等差数列考纲展示考纲展示1.1.理解等差数列的概念理解等差数列的概念. .2.2.掌握等差数列的通项公掌握等差数列的通项公式与前式与前n n项和公式项和公式. . 3.3.能在具体的问题情境中识别数能在具体的问题情境中识别数列的等差关系列的等差关系, ,并能用等差数列并能用等差数列的有关知识解决相应的问题的有关知识解决相应的问题. .4.4.了了解解等等差差数数列列与与一一次次函函数数的的 关系关系. . 知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来提示提示: :充分必要条件充分必要条件. .2.2.如何推导等差数列的通项公式如何推导等差数列的通项公式? ?提示提示: :可用累加法可用累加法. .3.3.如何推导等差数列的前如何推导等差数列的前n n项和公式项和公式? ?提示提示: :利用倒序相加法推导利用倒序相加法推导. .知识梳理知识梳理 1.1.等差数列的相关概念等差数列的相关概念(1)(1)定义定义: :如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起, ,每一项与它的前一项的每一项与它的前一项的 都等于都等于 常数常数, ,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列. .符号表示为符号表示为 (n2,(n2,nnN N* *,d,d为常数为常数).).差差同一个同一个a an n-a-an-1n-1=d=d2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式(1)(1)若等差数列若等差数列aan n 的首项是的首项是a a1 1, ,公差为公差为d,d,则其通项公式为则其通项公式为a an n= = . .(2)(2)通项的推广通项的推广:a:an n=a=am m+(+( )d.)d.a a1 1+(n-1)d+(n-1)dn-mn-m3.3.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式(1)(1)已知等差数列已知等差数列aan n 的首项的首项a a1 1和第和第n n项项a an n, ,则其前则其前n n项和公式项和公式S Sn n= = . .(2)(2)已知等差数列已知等差数列aan n 的首项的首项a a1 1与公差与公差d,d,则其前则其前n n项和公式项和公式S Sn n= = . .4.4.等差数列等差数列aan n 的性质的性质(1)(1)若若m+n=p+q,m+n=p+q,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q( (其中其中m,n,p,qm,n,p,qN N* *),),特别地特别地, ,若若p+q=2m,p+q=2m,则则a ap p+a+aq q= = (p,q,m(p,q,mN N* *).).(2)(2)若等差数列若等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,则则S Sk k,S,S2k2k-S-Sk k,S,S3k3k-S-S2k2k,成等差数列成等差数列. .(3)(3)若下标成等差数列若下标成等差数列, ,则相应的项也成等差数列则相应的项也成等差数列, ,即即a ak k,a,ak+mk+m,a,ak+2mk+2m,(k,m,(k,mN N* *) )成等差数列成等差数列. .(4)(4)若等差数列若等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,则则S S2n-12n-1=(2n-1)a=(2n-1)an n. .2a2am m5.5.等差数列的增减性与最值等差数列的增减性与最值公差公差d0d0时为递时为递 数列数列, ,且当且当a a1 100时时, ,前前n n项和项和S Sn n有最有最 值值;d0;d00时时, ,前前n n项和项和S Sn n有最有最 值值. .6.6.等差数列与一次函数的关系等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d可得可得a an n=dn+(a=dn+(a1 1-d),-d),如果设如果设p=d,q=ap=d,q=a1 1-d,-d,那么那么a an n=pn+q,=pn+q,其中其中p,qp,q是常数是常数. .当当p0p0时时,(n,a,(n,an n) )在一次函数在一次函数y=px+qy=px+q的图象上的图象上, ,即公差即公差不为零的等差数列的图象是直线不为零的等差数列的图象是直线y=px+qy=px+q上的均匀排开的一群孤立的点上的均匀排开的一群孤立的点. .当当p=0p=0时时,a,an n=q,=q,等差数列为常数列等差数列为常数列, ,此时数列的图象是平行于此时数列的图象是平行于x x轴的直线轴的直线( (或或x x轴轴) )上的均上的均匀排开的一群孤立的点匀排开的一群孤立的点. .增增小小减减大大【重要结论重要结论】 1.1.等差数列等差数列aan n 中中, ,若若a am m=n,a=n,an n=m,=m,则则a am+nm+n=0.=0.2.2.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S Sm m=S=Sn n(mn),(mn),则则S Sm+nm+n=0.=0.3.3.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S Sm m=n,S=n,Sn n=m,=m,则则S Sm+nm+n=-(m+n).=-(m+n).双基自测双基自测 1.1.已知数列已知数列aan n 中中,a,an n=3n+4,=3n+4,若若a an n=13,=13,则则n n等于等于( ( ) )(A)3(A)3 (B)4(B)4(C)5(C)5 (D)6(D)6A A解析解析: :由由a an n=3n+4=13,=3n+4=13,解得解得 n=3. n=3.故选故选A.A.2.(2.(20172017临川一中期中临川一中期中) )设设S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,若若a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3,=3,则则S S5 5等于等于( ( ) )(A)5(A)5 (B)7(B)7(C)9(C)9 (D)11(D)11A A3.3.等差数列等差数列aan n 中中,a,a4 4+a+a8 8=10,a=10,a1010=6,=6,则公差则公差d d等于等于( ( ) )A A答案答案: :1313 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 等差数列的基本量运算等差数列的基本量运算答案答案: :(1)A(1)A(2)(2)(20172017衡水中学调研衡水中学调研) )已知已知S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,且且S S6 6SS7 7SS5 5, ,给出下给出下列五个命题列五个命题: :d0;Sd0;S0;S12120;|a|a7 7|.|.其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是. .解析解析: :(2)(2)因为等差数列因为等差数列aan n 中中,S,S6 6最大最大, ,且且S S6 6SS7 7SS5 5, ,所以所以a a1 10,d0,dSS7 7SS5 5, ,所以所以a a6 60,a0,a7 70,0,所以所以a a1 1+6d0,a+6d0,S+5d0,S6 6最大最大, ,所以所以不正确不正确;S;S1111=11a=11a1 1+55d=11(a+55d=11(a1 1+5d)0,S+5d)0,S1212=12a=12a1 1+66d=6(a+66d=6(a1 1+a+a1212)=6(a)=6(a6 6+a+a7 7)0,)0,所以所以正确正确,错误错误. .故正确命题的个数为故正确命题的个数为3.3.答案答案: :(2)3(2)3反思归纳反思归纳 等差数列基本运算的方法策略等差数列基本运算的方法策略(1)(1)等差数列中包含等差数列中包含a a1 1,d,n,a,d,n,an n,S,Sn n五个量五个量, ,可知三求二可知三求二. .解决这些问题一般设基解决这些问题一般设基本量本量a a1 1,d,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程利用等差数列的通项公式与求和公式列方程( (组组) )求解求解, ,体现方程思体现方程思想想. .跟踪训练跟踪训练1:1:(1)(1)(20172017宁夏银川一模宁夏银川一模) )设设S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和,a,a1212=-=-8,8,S S9 9=-9,=-9,则则S S1616等于等于( () )(A)-72(A)-72(B)-76(B)-76(C)-80(C)-80(D) -84(D) -84答案答案: :(1)A(1)A(2) (2) 导学号导学号 38486095 (201638486095 (2016嘉兴一中期中嘉兴一中期中) )已知等差数列已知等差数列aan n,S,Sn n是数列是数列aan n 的前的前n n项和项和, ,且满足且满足a a4 4=10,S=10,S6 6=S=S3 3+39,+39,则数列则数列aan n 的首项的首项a a1 1= =, ,通项通项a an n= =. .解析解析: :(2)(2)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,因为因为a a4 4=10,S=10,S6 6=S=S3 3+39,+39,所以所以a a4 4+a+a5 5+a+a6 6=39,=39,所以所以3a3a4 4+3d=39,+3d=39,所以所以d=3,d=3,所以所以a a1 1=a=a4 4-3d=1,-3d=1,所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)3=3n-2.+(n-1)3=3n-2.答案答案: :(2)1(2)13n-23n-2解析解析: :(3)(3)设公差为设公差为d,d,则由题意可得则由题意可得a a1 1+(a+(a1 1+d)+d)2 2=-3,5a=-3,5a1 1+10d=10,+10d=10,解得解得a a1 1=-4,d=3,=-4,d=3,则则a a9 9=-4+83=20.=-4+83=20.答案答案: :(3)20(3)20考点二考点二 等差数列的判断与证明等差数列的判断与证明反思归纳反思归纳 判定数列判定数列aan n 是等差数列的常用方法是等差数列的常用方法(1)(1)定义法定义法: :对任意对任意nnN N* *,a,an+1n+1-a-an n是同一个常数是同一个常数. .(2)(2)等差中项法等差中项法: :对任意对任意n2,nn2,nN N* *, ,满足满足2a2an n=a=an+1n+1+a+an-1n-1. .(3)(3)通项公式法通项公式法: :数列的通项公式数列的通项公式a an n是是n n的一次函数的一次函数. .(4)(4)前前n n项和公式法项和公式法: :数列的前数列的前n n项和公式项和公式S Sn n是是n n的二次函数的二次函数, ,且常数项为且常数项为0.0.考点三考点三 等差数列的性质等差数列的性质【例例3 3】 (1)( (1)(20172017葫芦岛一中期中葫芦岛一中期中) )在等差数列在等差数列aan n 中中, ,若若a a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+a1010+a+a1212= =120,120,则则a a7 7- a- a5 5的值为的值为( () )(A)8(A)8 (B)12 (C)16 (B)12 (C)16 (D)72 (D)72(2)(2)(20172017西安一模西安一模) )已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,满足满足a a1313=S=S1313=13,=13,则则a a1 1等等于于( () )(A)-14(A)-14(B)-13(B)-13(C)-12(C)-12(D)-11(D)-11反思归纳反思归纳跟踪训练跟踪训练3:3:(1)(1)(20172017湖南益阳二模湖南益阳二模) )若若S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,且且S S8 8-S-S3 3=10,=10,则则S S1111的值为的值为( () )(A)12(A)12 (B)18 (B)18 (C)22 (C)22 (D)44 (D)44答案答案: :(1)C(1)C(2)(2)设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已知前已知前6 6项和为项和为36,36,最后最后6 6项的和为项的和为180,180,S Sn n=324(n6),=324(n6),则数列则数列aan n 的项数的项数n=n=. .答案答案: :(2)18(2)18考点四考点四 等差数列的最值问题等差数列的最值问题【例例4 4】 已知等差数列已知等差数列aan n 的首项的首项a a1 10,0,设其前设其前n n项和为项和为S Sn n, ,且且S S5 5=S=S1212, ,则当则当n n为何为何值时值时,S,Sn n有最大值有最大值? ?解析解析: :由题意由题意, ,不妨设不妨设a a6 6=9t,a=9t,a5 5=11t,=11t,则公差则公差d=-2t,d=-2t,其中其中t0,t0,因此因此a a1010=t,a=t,a1111=-t,=-t,即当即当n=10n=10时时,S,Sn n取得最大值取得最大值. .故选故选B.B.备选例题备选例题 【例题例题】 在公差为在公差为d d的等差数列的等差数列aan n 中中, ,已知已知a a1 1=10,=10,且且a a1 1,2a,2a2 2+2,5a+2,5a3 3成等比数列成等比数列. .(1)(1)求求d,ad,an n; ;解解: :(1)(1)由题意得由题意得a a1 15a5a3 3=(2a=(2a2 2+2)+2)2 2, ,由由a a1 1=10,a=10,an n 为公差为为公差为d d的等差数列得的等差数列得, ,d d2 2-3d-4=0,-3d-4=0,解得解得d=-1d=-1或或d=4.d=4.所以所以a an n=-n+11(n=-n+11(nN N* *) )或或a an n=4n+6(n=4n+6(nN N* *).).(2)(2)若若d0,d0,求求|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a3 3|+|+|a+|an n|.|. 解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化审题指导审题指导答题模板答题模板: :