北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 第2课时圆与圆的位置关系问题引航引航1.1.两两圆在同一平面内有几种位置关系？分在同一平面内有几种位置关系？分别是哪些位置是哪些位置关系？关系？2.2.影响影响圆与与圆的位置关系的数量因素是什么？的位置关系的数量因素是什么？圆与与圆的位置关系及判定的位置关系及判定已知两已知两圆C C1 1：(x-x(x-x1 1) )2 2+(y-y+(y-y1 1) )2 2= = ，C C2 2：(x-x(x-x2 2) )2 2+(y-y+(y-y2 2) )2 2= = ，则圆心距心距d=|Cd=|C1 1C C2 2|=_.|=_.则两两圆C C1 1，C C2 2有以下位有以下位置关系：置关系：位置关系位置关系公共点个数公共点个数圆心距与半径的心距与半径的关系关系图示图示两两圆相离相离_个个_两两圆内含内含_两两圆相交相交_个个_两两圆内切内切_个个_两两圆外切外切_0 0drdr1 1+r+r2 2d|rd|r1 1-r-r2 2| |2 2|r|r1 1-r-r2 2|dr|dd(1)R+r=8d，又，又R-r=2dR-r=200时两两圆相交；当相交；当=0=0时两两圆外切外切或内切；当或内切；当00时两两圆相离或内含相离或内含. .2.2.圆与圆位置关系判定的关注点圆与圆位置关系判定的关注点(1)(1)仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的，如有仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的，如有1 1个交点，就个交点，就不能判定是内切还是外切，应再结合图象判定不能判定是内切还是外切，应再结合图象判定. .(2)(2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的判定相切时的判定. .(3)(3)一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少运算量，提高解题的速度运算量，提高解题的速度. .3.3.公共点个数公共点个数(1)(1)两圆相离和内含时，公共点个数为两圆相离和内含时，公共点个数为0.0.(2)(2)两圆相交时，公共点个数为两圆相交时，公共点个数为2.2.(3)(3)两圆内切和外切时，公共点个数为两圆内切和外切时，公共点个数为1.1.【知识拓展知识拓展】两圆公切线的条数问题两圆公切线的条数问题两圆相离时，有四条公切线；外切时，有三条公切线；相交时，两圆相离时，有四条公切线；外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；内切时，仅有一条公切线；内含时，没有公切有两条公切线；内切时，仅有一条公切线；内含时，没有公切线线. .【微思考微思考】(1)(1)判断两判断两圆的位置关系需要确定哪些量？如何确定的位置关系需要确定哪些量？如何确定这些量？些量？提示：提示：需要确定圆心距和两圆半径，圆心距由两圆圆心坐标利需要确定圆心距和两圆半径，圆心距由两圆圆心坐标利用两点间的距离公式可得，半径可由圆的标准方程得出用两点间的距离公式可得，半径可由圆的标准方程得出. .(2)(2)利用代数法确定两利用代数法确定两圆位置关系的关位置关系的关键是什么？是什么？提示：提示：由两圆方程联立消元后得出一元二次方程，关键看此一由两圆方程联立消元后得出一元二次方程，关键看此一元二次方程的判别式，判别式的符号决定两圆的位置关系元二次方程的判别式，判别式的符号决定两圆的位置关系. .【即时练即时练】1.1.两两圆x x2 2+y+y2 2=9=9和和x x2 2+y+y2 2-8x+6y+9=0-8x+6y+9=0的位置关系是的位置关系是( () )A.A.相离相离 B.B.相交相交 C.C.内切内切 D.D.外切外切2.2.判断判断圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2x-3=0-2x-3=0和和圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2-4x+2y+3=0-4x+2y+3=0的位置关的位置关系系. .【解析解析】1.1.选选B.B.把方程把方程x x2 2+y+y2 2-8x+6y+9=0-8x+6y+9=0化为标准方程为化为标准方程为(x-4)(x-4)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=16=16，则两圆的圆心距为，则两圆的圆心距为而而4-354+34-354+3，故两圆相交，故两圆相交. .2.2.方法一：两圆的方程分别变形为方法一：两圆的方程分别变形为(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=4=4，(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=2=2，所以两个圆心的坐标分别为所以两个圆心的坐标分别为(1(1，0)0)和和(2(2，-1)-1)，两圆的圆心距，两圆的圆心距d=|Cd=|C1 1C C2 2|= |= 由由|r|r1 1-r-r2 2|=2- |=2- ，|r|r1 1+r+r2 2|=2+ |=2+ ，因为因为2- |C2- |C1 1C C2 2|2+ |03=40，方程组有两组不相同的实数解，所以圆方程组有两组不相同的实数解，所以圆C C1 1与圆与圆C C2 2相交相交. .知知识点点2 2 两两圆相交的公共弦相交的公共弦1.1.两两圆相交相交时公共弦所在的直公共弦所在的直线方程方程若若圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0与与圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0=0相交，相交，则两两圆公共弦所在直公共弦所在直线的方程的方程为(D(D1 1- D- D2 2)x+(E)x+(E1 1- E- E2 2)y+ F)y+ F1 1- -F F2 2=0.=0.2.2.两两圆相交相交时常用的四个常用的四个结论(1)(1)当两当两圆的的圆心心连线长介于两介于两圆的半径差的的半径差的绝对值与半径和与半径和之之间时，两，两圆相交相交. .(2)(2)两两圆相交相交时，公切，公切线有两条有两条. .(3)(3)求解两求解两圆的公共弦所在直的公共弦所在直线的方程可由两的方程可由两圆的方程作差消的方程作差消去二次去二次项即可即可. .(4)(4)两两圆的的圆心所在的直心所在的直线垂直平分公共弦垂直平分公共弦. .【微思考微思考】(1)(1)将两个相交的将两个相交的圆的方程的方程x x2 2+y+y2 2+D+Di ix+Ex+Ei iy+Fy+Fi i=0(i=1=0(i=1，2)2)相减，相减，可得一直可得一直线方程，方程，这条直条直线方程具有什么方程具有什么样的特殊性呢？的特殊性呢？提示：提示：这条直线为两圆相交弦所在直线这条直线为两圆相交弦所在直线. .(2)(2)两两圆的公共弦所在直的公共弦所在直线是否是两是否是两圆圆心心连线的垂直平分的垂直平分线？提示：提示：不一定不一定. .当半径相等时是，否则不是当半径相等时是，否则不是. .【即时练即时练】1.1.圆x x2 2+y+y2 2-2x-5=0-2x-5=0和和圆x x2 2+y+y2 2+2x-4y-4=0+2x-4y-4=0交点交点为A A，B B，则线段段ABAB的垂直平分的垂直平分线的方程的方程为_._.2.2.已知两已知两圆x x2 2+y+y2 2=10=10和和(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=20=20相交于相交于A A，B B两点，两点，则直直线ABAB的方程是的方程是_._.【解析解析】1.1.线段线段ABAB的垂直平分线即为两圆连心线所在的直线，的垂直平分线即为两圆连心线所在的直线，两圆心分别为两圆心分别为(1(1，0)0)，(-1(-1，2)2)，k= =-1k= =-1，y=-1(x-1)y=-1(x-1)，y+x-1=0.y+x-1=0.答案：答案：x+y-1=0x+y-1=02.2.由由-得得2x+6y=02x+6y=0，即，即x+3y=0.x+3y=0.答案：答案：x+3y=0x+3y=0【题型示范型示范】类型一型一 由两由两圆的位置关系求参数的位置关系求参数【典例典例1 1】(1)(1)若若圆x x2 2+y+y2 2-2ax+a-2ax+a2 2=2=2和和x x2 2+y+y2 2-2by+b-2by+b2 2=1=1相离，相离，则a a，b b满足的足的条件是条件是_._.(2)(2)已知已知圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0-5=0，圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2+2x-2my+m+2x-2my+m2 2- -3=03=0，求，求m m为何何值时，圆C C1 1与与圆C C2 2外切；外切；圆C C1 1与与圆C C2 2内切内切. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中，两圆相离时，两圆的圆心距及半径中，两圆相离时，两圆的圆心距及半径之间具有什么关系？之间具有什么关系？2.2.题题(2)(2)中，两圆外切和内切时分别应满足怎样的数量关系？中，两圆外切和内切时分别应满足怎样的数量关系？【探究提示探究提示】1.1.两圆相离时，圆心距大于两圆的半径之和两圆相离时，圆心距大于两圆的半径之和. .2.2.外切：外切：r r1 1+r+r2 2=d(d=d(d为圆心距为圆心距) )，内切：内切：|r|r1 1-r-r2 2|=d.|=d.【自主解答自主解答】(1)(1)由题意可得，两圆圆心坐标和半径长分别为由题意可得，两圆圆心坐标和半径长分别为(a(a，0)0)， 和和(0(0，b)b)，1 1，因为两圆相离，所以，因为两圆相离，所以 即即a a2 2+b+b2 23+2 .3+2 .答案：答案：a a2 2+b+b2 23+23+2(2)(2)对于圆对于圆C C1 1与圆与圆C C2 2的方程，的方程，经配方后，经配方后，C C1 1：(x-m)(x-m)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9=9；C C2 2：(x+1)(x+1)2 2+(y-m)+(y-m)2 2=4.=4.所以两圆的圆心坐标分别为所以两圆的圆心坐标分别为C C1 1(m(m，-2)-2)和和C C2 2(-1(-1，m)m)，两圆的半径为两圆的半径为r r1 1=3=3，r r2 2=2=2，如果圆如果圆C C1 1与圆与圆C C2 2外切，外切，则有则有 (m+1)(m+1)2 2+(m+2)+(m+2)2 2=25=25，m m2 2+3m-10=0+3m-10=0，解得解得m=-5m=-5或或m=2.m=2.如果圆如果圆C C1 1与圆与圆C C2 2内切，则有内切，则有 (m+1)(m+1)2 2+(m+2)+(m+2)2 2=1=1，m m2 2+3m+2=0+3m+2=0，解得解得m=-2m=-2或或m=-1.m=-1.所以当所以当m=-5m=-5或或m=2m=2时，圆时，圆C C1 1与圆与圆C C2 2外切，外切，当当m=-2m=-2或或m=-1m=-1时，圆时，圆C C1 1与圆与圆C C2 2内切内切. .【方法技巧方法技巧】由两圆位置关系求参数的方法由两圆位置关系求参数的方法(1)(1)用几何法的操作步骤用几何法的操作步骤将两圆的方程化为标准方程将两圆的方程化为标准方程. .找到两圆的圆心坐标和半径找到两圆的圆心坐标和半径R R，r r及圆心距及圆心距d.d.据两圆的位置关系找出据两圆的位置关系找出d d与与|R-r|R-r|，R+rR+r的大小关系，列出不的大小关系，列出不等式等式( (方程方程).).解不等式解不等式( (方程方程) )，求出参数，求出参数. .(2)(2)用代数法的操作步骤用代数法的操作步骤把两个圆的方程联立为方程组把两个圆的方程联立为方程组. .两式相减消去二次项两式相减消去二次项. .将所得将所得y y代入一个圆的方程得到一个一元二次方程代入一个圆的方程得到一个一元二次方程. .求一元二次方程的求一元二次方程的，通过两圆位置关系来判断，通过两圆位置关系来判断的符号的符号. .据据的符号，解出参数的符号，解出参数. .【变式式训练】(2014(2014长春高一春高一检测) )已知已知圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2+2x=0+2x=0与与圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0.-5=0.(1)(1)当当m=1m=1时，圆C C1 1与与圆C C2 2的位置关系如何？的位置关系如何？(2)(2)是否存在是否存在m m，使，使圆C C1 1与与圆C C2 2具有内含关系？具有内含关系？【解析解析】(1)(1)当当m=1m=1时，时，C C1 1：(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=1=1，C C2 2：(x-1)(x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9=9，则两圆的圆心距为，则两圆的圆心距为 又因为又因为r r1 1+r+r2 2=1+3=4=1+3=4，|r|r1 1-r-r2 2|=|1-3|=2|=|1-3|=2，所以所以|r|r1 1-r-r2 2|dr|dr1 1+r+r2 2，所以圆，所以圆C C1 1与圆与圆C C2 2相交相交. .(2)(2)圆圆C C2 2：(x-m)(x-m)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9=9，圆心为，圆心为(m(m，-2)-2)，所以两圆的圆心距所以两圆的圆心距 令令d|rd|r1 1-r-r2 2| |，即，即 平方，得平方，得(m+1)(m+1)2 200).=0(a0).试求求a a为何何值时，两两圆C C1 1，C C2 2：(1)(1)相切相切.(2).(2)相交相交.(3).(3)相离相离.(4).(4)内含内含. .【解析解析】对圆对圆C C1 1，C C2 2的方程，经配方后可得：的方程，经配方后可得：C C1 1：(x-a)(x-a)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=16=16，C C2 2：(x-2a)(x-2a)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1，所以圆心所以圆心C C1 1(a(a，1)1)，半径，半径r r1 1=4=4，圆心，圆心C C2 2(2a(2a，1)1)，半径，半径r r2 2=1=1，所以所以|C|C1 1C C2 2|= |= (1)(1)当当|C|C1 1C C2 2|=r|=r1 1+r+r2 2=5=5，即，即a=5a=5时，两圆外切时，两圆外切. .当当|C|C1 1C C2 2|=|r|=|r1 1-r-r2 2|=3|=3，即，即a=3a=3时，两圆内切时，两圆内切. .(2)(2)当当3|C3|C1 1C C2 2|5|5，即，即3a53a5|5，即，即a5a5时，两圆相离时，两圆相离. .(4)(4)当当|C|C1 1C C2 2|3|3，即，即0a30a0)(r0)，由题知所求圆与圆由题知所求圆与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0外切，外切，则则 =r+1.=r+1.又所求圆过点又所求圆过点M M的切线为直线的切线为直线x+ y=0x+ y=0，故故 解由解由组成的方程组得组成的方程组得a=4a=4，b=0b=0，r=2r=2或或a=0a=0，b=-4 b=-4 ，r=6.r=6.故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x-4)(x-4)2 2+y+y2 2=4=4或或x x2 2+(y+4 )+(y+4 )2 2=36.=36.【延伸探究延伸探究】将将题(2)(2)变为“求与求与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0外切，外切，圆心在心在x x轴上，且上，且过点点(3(3，- )- )的的圆的方程的方程”. .【解析解析】因为圆心在因为圆心在x x轴上，所以可设圆心坐标为轴上，所以可设圆心坐标为(a(a，0)0)，设，设半径为半径为r r，则所求圆的方程为，则所求圆的方程为(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=r=r2 2，又因为与圆又因为与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0外切，且过点外切，且过点(3(3，- )- )，所以所以 解得解得所以圆的方程为所以圆的方程为(x-4)(x-4)2 2+y+y2 2=4.=4.【方法技巧方法技巧】处理两圆相切问题的两个步骤处理两圆相切问题的两个步骤(1)(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论. .(2)(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值两圆半径之差的绝对值( (内切时内切时) )或两圆半径之和或两圆半径之和( (外切时外切时) )的问的问题题. .【变式式训练】(2014(2014南昌高二南昌高二检测) )已知已知圆C C：(x-3)(x-3)2 2+(y-+(y-4)4)2 2=4=4，(1)(1)若直若直线l1 1过定点定点A(1A(1，0)0)，且与，且与圆C C相切，求相切，求l1 1的方程的方程. .(2)(2)若若圆D D的半径的半径为3 3，圆心在直心在直线l2 2：x+y-2=0x+y-2=0上，且与上，且与圆C C外切，外切，求求圆D D的方程的方程. .【解题指南解题指南】(1)(1)此问注意直线斜率不存在的情况，应分斜率此问注意直线斜率不存在的情况，应分斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时由圆心到直线的距离等于半是否存在进行讨论，当斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径，求出直线斜率径，求出直线斜率. .(2)(2)先设出圆心坐标，然后由两圆外切，知圆心距等于两半径先设出圆心坐标，然后由两圆外切，知圆心距等于两半径之和，从而求出圆心之和，从而求出圆心D D的坐标，写出圆的坐标，写出圆D D的方程的方程. .【解析解析】(1)(1)若直线若直线l1 1的斜率不存在，即直线是的斜率不存在，即直线是x=1x=1，符合题，符合题意意. .若直线若直线l1 1斜率存在，设直线斜率存在，设直线l1 1为为y=k(x-1)y=k(x-1)，即，即kx-y-k=0.kx-y-k=0.由题意知，圆心由题意知，圆心(3(3，4)4)到直线到直线l1 1的距离等于半径的距离等于半径2 2，即即 解之得解之得k= .k= .故所求直线方程是故所求直线方程是x=1x=1或或3x-4y-3=0.3x-4y-3=0.(2)(2)依题意设依题意设D(aD(a，2-a)2-a)，又已知圆的圆心，又已知圆的圆心C(3C(3，4)4)，r=2r=2，由两圆外切，可知由两圆外切，可知CD=5CD=5，所以所以 解得解得a=3a=3或或a=-2a=-2，所以所以D(3D(3，-1)-1)或或D(-2D(-2，4)4)，所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=9=9或或(x+2)(x+2)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=9.=9.【补偿训练】(2014(2014唐山高一唐山高一检测) )已知已知圆P P与与y y轴相切，且与相切，且与圆A A：x x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0也相切，求也相切，求圆P P的的圆心心满足的方程足的方程. .【解析解析】把圆把圆A A的方程配方得的方程配方得(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4=4，设设P P点坐标为点坐标为(x(x，y).y).(1)(1)当圆当圆P P与定圆与定圆A A外切时，不妨设两圆切点为外切时，不妨设两圆切点为B B，且圆，且圆P P与与y y轴相轴相切于点切于点N N，则，则|PA|=|PN|+|AB|PA|=|PN|+|AB|，即，即 当当x0x0时，时，y y2 2=8x=8x；当；当x0x0x0时，时，y=0y=0；当当x0x0)+2ay-6=0(a0)的公共弦的公共弦长为2 2 ，则a=_.a=_.(2)(2)已知已知圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-4=0-4=0与与圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2-4x+4y-12=0-4x+4y-12=0相交于相交于A A，B B两点两点. .求求圆C C1 1与与圆C C2 2的公共弦所在直的公共弦所在直线的方程的方程. .求求圆C C1 1与与圆C C2 2的公共弦的的公共弦的长度度. .【解题探究解题探究】1.1.在题在题(1)(1)中两圆公共弦所在的直线方程是什么中两圆公共弦所在的直线方程是什么？圆心？圆心O O到公共弦的距离是多少？到公共弦的距离是多少？2.2.题题(2)(2)中求公共弦所在直线方程的常用方法是什么？利用几中求公共弦所在直线方程的常用方法是什么？利用几何法求弦长的公式是什么？何法求弦长的公式是什么？【探究提示探究提示】1.y= 1.y= ，d= .d= .2.2.两圆方程相减即得公共弦的方程；弦长两圆方程相减即得公共弦的方程；弦长 【自主解答自主解答】(1)(1)由两圆方程作差知公共弦所在的直线方程为由两圆方程作差知公共弦所在的直线方程为y= .y= .如图，由已知得如图，由已知得|AC|= |AC|= ，|OA|=2|OA|=2，因为因为a0a0，所以，所以|OC|= =1|OC|= =1，所以所以a=1.a=1.答案：答案：1 1(2)(2)联立方程得联立方程得()-()()-()得：得：x-y+2=0x-y+2=0，公共弦所在直线方程为：公共弦所在直线方程为：x-y+2=0.x-y+2=0.方法一：因为两圆公共弦所在直线方程为方法一：因为两圆公共弦所在直线方程为lABAB：x-y+2=0.x-y+2=0.圆心圆心C C1 1到直线到直线ABAB的距离的距离d= d= ，设圆，设圆C C1 1的半径为的半径为r r1 1，所以公共弦长即所以公共弦长即 方法二：解两圆方程组成的方程组得两圆交点坐标是方法二：解两圆方程组成的方程组得两圆交点坐标是A(-2A(-2，0)0)，B(0B(0，2)2)，所以公共弦长即，所以公共弦长即【延伸探究延伸探究】题(2)(2)条件不条件不变，求以两，求以两圆公共弦公共弦为直径的直径的圆的的方程方程. .【解析解析】圆圆C C1 1与圆与圆C C2 2的圆心坐标为：的圆心坐标为：C C1 1(0(0，0)0)，C C2 2(2(2，-2)-2)，连心线连心线C C1 1C C2 2的方程为的方程为x+y=0x+y=0，它与公共弦所在直线的交点为它与公共弦所在直线的交点为所以所以 点点(-1(-1，1)1)即为所求圆的圆心即为所求圆的圆心. .又所求圆半径为又所求圆半径为 所以圆的方程为所以圆的方程为(x+1)(x+1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2.=2.【方法技巧方法技巧】求两圆公共弦长及公共弦所在直线的方程的两种求两圆公共弦长及公共弦所在直线的方程的两种方法方法(1)(1)方法一：解方程组求出两圆交点坐标，然后由两点间距离方法一：解方程组求出两圆交点坐标，然后由两点间距离公式求弦长，由两点坐标求公共弦所在直线方程，本方法运算公式求弦长，由两点坐标求公共弦所在直线方程，本方法运算量较大，一般不常用量较大，一般不常用. .(2)(2)方法二：方法二：【变式式训练】(2014(2014潍坊高一坊高一检测) )已知两已知两圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2x-2x-6y+1=06y+1=0和和圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2-10x-12y+45=0.-10x-12y+45=0.求两求两圆的公共弦所在直的公共弦所在直线的方程和公共弦的的方程和公共弦的长. .【解题指南解题指南】将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，求将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，求出圆心出圆心(1(1，3)3)到公共弦的距离，利用公式可求出弦长到公共弦的距离，利用公式可求出弦长. .【解析解析】设两圆的交点为设两圆的交点为A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，则则A A，B B两点满足方程组两点满足方程组将两个方程相减得将两个方程相减得4x+3y-22=04x+3y-22=0，即为两圆公共弦所在直线的，即为两圆公共弦所在直线的方程方程. .易知圆易知圆C C1 1的圆心的圆心(1(1，3)3)，半径，半径r=3r=3，则点，则点C C1 1到直线到直线4x+3y-22=04x+3y-22=0的的距离距离 故公共弦故公共弦ABAB的长为的长为 【补偿训练】圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2=1=1与与圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2-2x-2y+1=0-2x-2y+1=0的公共弦的公共弦所在直所在直线l被被圆C C3 3：(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2= = 所截得的弦所截得的弦长为_._.【解题指南解题指南】首先求出两圆的公共弦所在直线方程，再利用弦首先求出两圆的公共弦所在直线方程，再利用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形求解心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形求解. .【解析解析】由题意圆由题意圆C C1 1和圆和圆C C2 2的公共弦所在直线的公共弦所在直线l为为x+y-1=0x+y-1=0，圆，圆C C3 3的圆心为的圆心为(1(1，1)1)，其到，其到l的距离的距离 由条件知：由条件知： 所以弦长为所以弦长为答案：答案：【拓展拓展类型型】求求过两两圆交点的交点的圆系方程系方程【备选例例题】(1)(1)经过两两圆x x2 2+y+y2 2-2x+10y-24=0-2x+10y-24=0和和x x2 2+y+y2 2+2x+2y-+2x+2y-8=08=0的交点，并且的交点，并且圆心在直心在直线x+y=0x+y=0上的上的圆的方程的方程为_._.(2)(2)求求圆心在直心在直线x-y-4=0x-y-4=0上，且上，且经过两两圆x x2 2+y+y2 2-4x-3=0-4x-3=0，x x2 2+y+y2 2- -4y-3=04y-3=0的交点的的交点的圆的方程的方程. .【解析解析】(1)(1)可设圆的方程为可设圆的方程为x x2 2+y+y2 2-2x+10y-24+(x-2x+10y-24+(x2 2+y+y2 2+2x+2y-8)+2x+2y-8)=0(-1)=0(-1)，化简得化简得(1+)x(1+)x2 2+(1+)y+(1+)y2 2+(2-2)x+(2+10)y-8-24=0+(2-2)x+(2+10)y-8-24=0，圆心坐标为圆心坐标为 因为圆心在直线因为圆心在直线x+y=0x+y=0上，所以上，所以 解得解得=-2=-2，所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2+6x-6y+8=0.+6x-6y+8=0.答案：答案：x x2 2+y+y2 2+6x-6y+8=0+6x-6y+8=0(2)(2)方法一：联立方法一：联立x x2 2+y+y2 2-4x-3=0-4x-3=0，x x2 2+y+y2 2-4y-3=0-4y-3=0解得两圆交点为：解得两圆交点为：因为所求圆经过此两点，连接因为所求圆经过此两点，连接MNMN，MNMN即是所求圆的一段弦即是所求圆的一段弦. .因为因为MNMN的斜率的斜率k k1 1=1=1，所以其垂直平分线的斜率所以其垂直平分线的斜率k k2 2=-1=-1，MNMN中点中点P P坐标为坐标为(1(1，1)1)，所以垂直平分线的方程为所以垂直平分线的方程为y=-x+2y=-x+2，垂直平分线与直线垂直平分线与直线x-y-4=0x-y-4=0的交点即为圆心，的交点即为圆心，联立两方程联立两方程解得解得x=3x=3，y=-1y=-1，所以圆心，所以圆心O(3O(3，-1).-1).连接连接OMOM即为圆半径即为圆半径所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=13=13，即：即：x x2 2+y+y2 2-6x+2y-3=0.-6x+2y-3=0.方法二：设所求的圆的方程为方法二：设所求的圆的方程为x x2 2+y+y2 2-4x-3+(x-4x-3+(x2 2+y+y2 2-4y-4y-3)=0(-1)3)=0(-1)，即即(1+)x(1+)x2 2+(1+)y+(1+)y2 2-4x-4y-3-3=0-4x-4y-3-3=0，故圆心的坐标为故圆心的坐标为 由题意：由题意： 解得解得 故所求圆的方程为故所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2-6x+2y-3=0.-6x+2y-3=0.【方法技巧方法技巧】过两圆交点的圆系方程的设法过两圆交点的圆系方程的设法(1)(1)求过两圆交点的圆的方程，可联立两个圆的方程，求出两求过两圆交点的圆的方程，可联立两个圆的方程，求出两交点的坐标，再由一个独立的条件，代入圆的一般方程求解交点的坐标，再由一个独立的条件，代入圆的一般方程求解. .(2)(2)过两圆过两圆f fi i(x(x，y)=xy)=x2 2+y+y2 2+D+Di ix+Ex+Ei iy+Fy+Fi i=0(i=1=0(i=1，2)2)的交点的圆的交点的圆系方程可设为系方程可设为x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1+(x+(x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2)=0()=0(-1)-1)，即，即f f1 1(x(x，y)+fy)+f2 2(x(x，y)=0(-1).y)=0(-1).提醒：提醒：用上述圆系的设法表示的圆中不含圆用上述圆系的设法表示的圆中不含圆f f2 2(x(x，y)=0.y)=0.【易错误区易错误区】圆与圆的位置关系应用的误区圆与圆的位置关系应用的误区【典例典例】与与圆(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4相切于点相切于点(4(4，-1)-1)，且半径，且半径为1 1的的圆的方程的方程为( () )A.(x-5)A.(x-5)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1B.(x-3)B.(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1C.(x-5)C.(x-5)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1或或(x-3)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1D.(x+5)D.(x+5)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1或或(x+3)(x+3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1 【解析解析】选选C.C.设所求圆的圆心为设所求圆的圆心为P(aP(a，b)b)，所以所以 ()()(1)(1)若两圆外切若两圆外切，则有则有 ()()由由()()()()，解得，解得a=5a=5，b=-1.b=-1.所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x-5)(x-5)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1.=1.(2)(2)若两圆内切若两圆内切，则有，则有 =2-1=1.()=2-1=1.()由由()()()()，解得，解得a=3a=3，b=-1.b=-1.所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1.=1.综上，可知所求圆的方程为综上，可知所求圆的方程为(x-5)(x-5)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1或或(x-3)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1.=1.故选故选C.C.【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析选选A A或选或选B B考虑外切，忽视内切，错选考虑外切，忽视内切，错选A A或忽视外切，或忽视外切，只考虑内切，错选只考虑内切，错选B B，原因是阴影处没有，原因是阴影处没有分类讨论，对相切关系认识不清，从而致分类讨论，对相切关系认识不清，从而致误误【防范措施防范措施】1.1.细心审题，充分挖掘隐含条件细心审题，充分挖掘隐含条件对题设条件认真分析，深入思考确保解答正确，对有些题目需对题设条件认真分析，深入思考确保解答正确，对有些题目需要挖掘出隐含的含义，从而找出正确解答的思路，如本例的要挖掘出隐含的含义，从而找出正确解答的思路，如本例的“相切相切”应分为应分为“内切内切”与与“外切外切”两层含义两层含义. .2.2.正确运用数学思想，培养良好的思维习惯正确运用数学思想，培养良好的思维习惯在对题目条件进行分析时，要注重数学思想的应用，数形结合在对题目条件进行分析时，要注重数学思想的应用，数形结合思想、分类讨论思想是解决此类题目常用的数学思想，如本例思想、分类讨论思想是解决此类题目常用的数学思想，如本例中如果能正确运用分类讨论思想，就不会导致错选中如果能正确运用分类讨论思想，就不会导致错选. .【类题试解解】已知半径已知半径为1 1的的动圆与与圆(x-5)(x-5)2 2+(y+7)+(y+7)2 2=16=16相切，相切，则动圆圆心心满足的方程足的方程为_._.【解析解析】设动圆圆心坐标为设动圆圆心坐标为(x(x，y)y)，因为动圆与圆因为动圆与圆(x-5)(x-5)2 2+(y+7)+(y+7)2 2=16=16相切，相切，所以圆心距等于所以圆心距等于3 3或或5 5，即即 所以动圆圆心满足的方程为：所以动圆圆心满足的方程为：(x-5)(x-5)2 2+(y+7)+(y+7)2 2=9=9或或(x-5)(x-5)2 2+(y+7)+(y+7)2 2=25.=25.答案：答案：(x-5)(x-5)2 2+(y+7)+(y+7)2 2=9=9或或(x-5)(x-5)2 2+(y+7)+(y+7)2 2=25=25