9.2点与直线、两条直线的位置关系必备知识关键能力-2-2-2-2-知识梳理考点自测1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括三种情况.(1)两条直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且b1b2.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10).平行、相交、重合 必备知识关键能力-3-3-3-3-知识梳理考点自测(2)两条直线垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1k2=-1.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2.A1A2+B1B2=0 必备知识关键能力-4-4-4-4-知识梳理考点自测2.两条直线的交点直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组相交方程组有;平行方程组;重合方程组有.唯一解 无解无数个解必备知识关键能力-5-5-5-5-知识梳理考点自测必备知识关键能力-6-6-6-6-知识梳理考点自测1.与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直或平行的直线方程可设为:(1)垂直:Bx-Ay+m=0;(2)平行:Ax+By+n=0.2.与对称问题相关的两个结论:(1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0).(2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P(x,y),则有必备知识关键能力-7-7-7-7-知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.()(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2均为常数),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0.() 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)必备知识关键能力-8-8-8-8-知识梳理考点自测234152.(2017福建莆田一模)设a为实数,直线l1:ax+y=1,l2:x+ay=2a,则“a=-1”是“l1l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案解析解析关闭由“l1l2”得到a2-1=0,解得a=-1或a=1,所以应是充分不必要条件.故选A. 答案解析关闭A必备知识关键能力-9-9-9-9-知识梳理考点自测234153.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0 答案解析解析关闭已知圆的圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1,故所求直线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.故选D. 答案解析关闭D必备知识关键能力-10-10-10-10-知识梳理考点自测234154.已知点M是直线x+ y=2上的一个动点,点P( ,-1),则|PM|的最小值为()A.B.1C.2D.3 答案解析解析关闭 答案解析关闭必备知识关键能力-11-11-11-11-知识梳理考点自测234155.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=. 答案解析解析关闭因为两条直线垂直,所以(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1. 答案解析关闭0或1必备知识关键能力-12-12-12-12-考点1考点2考点3考点4例1已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1l2时,求a的值.解: (1)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1不平行于l2;当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不平行于l2;综上可知,当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.必备知识关键能力-13-13-13-13-考点1考点2考点3考点4(方法二)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-12=0;由A1C2-A2C10,得a(a2-1)-160.必备知识关键能力-14-14-14-14-考点1考点2考点3考点4思考解含参数直线方程的有关问题时如何分类讨论?解解题题心得心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.必备知识关键能力-15-15-15-15-考点1考点2考点3考点4对对点点训练训练1已知直线l的倾斜角为 ,直线l1经过点A(3,2),B(-a,1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=()A.-4B.-2C.0D.2 答案解析解析关闭 答案解析关闭必备知识关键能力-16-16-16-16-考点1考点2考点3考点4例2求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.必备知识关键能力-17-17-17-17-考点1考点2考点3考点4(方法二)直线l过直线l1和l2的交点,可设直线l的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0(R),即(1+)x+(-2)y+4-2=0.l与l3垂直,3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.必备知识关键能力-18-18-18-18-考点1考点2考点3考点4思考求两条直线的交点坐标的一般思路是什么?解解题题心得心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.常见的三大直线系方程:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR,且mC).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.必备知识关键能力-19-19-19-19-考点1考点2考点3考点4对对点点训练训练2(1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=()(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭必备知识关键能力-20-20-20-20-考点1考点2考点3考点4例3(1)(2017四川绵阳一诊)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()(2)已知直线l:x- y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=.答案: (1)C(2)4 必备知识关键能力-21-21-21-21-考点1考点2考点3考点4必备知识关键能力-22-22-22-22-考点1考点2考点3考点4思考利用距离公式应注意的问题有哪些?解解题题心得心得利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数相等.必备知识关键能力-23-23-23-23-考点1考点2考点3考点4对对点点训练训练3(1)点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为 ,则点P的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)(2)若直线l1:x-2y+m=0(m0)与直线l2:x+ny-3=0之间的距离是 ,则m+n=()A.0B.1C.-1 D.2 答案解析解析关闭 答案解析关闭必备知识关键能力-24-24-24-24-考点1考点2考点3考点4考向1点关于点的对称问题例4过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.思考点关于点的对称问题该如何解? 答案解析解析关闭设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程为x+4y-4=0. 答案解析关闭x+4y-4=0必备知识关键能力-25-25-25-25-考点1考点2考点3考点4考向2点关于直线的对称问题例5已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A的坐标为.思考点关于直线的对称问题该如何解? 答案解析解析关闭 答案解析关闭必备知识关键能力-26-26-26-26-考点1考点2考点3考点4考向3直线关于直线的对称问题例6已知直线l:2x-3y+1=0,求直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程.思考直线关于直线的对称问题该如何解?必备知识关键能力-27-27-27-27-考点1考点2考点3考点4解: 在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点M(a,b),设直线m与直线l的交点为N,则又m经过点N(4,3),所以由两点式得直线m的方程为9x-46y+102=0.必备知识关键能力-28-28-28-28-考点1考点2考点3考点4解题心得解题心得1.点关于点的对称.求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.直线关于点的对称.求直线l关于点M(m,n)的对称直线l的问题,主要依据l上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T(2m-x,2n-y)必在l上.3.点关于直线的对称.求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A(x0,y0)的坐标,一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程.4.直线关于直线的对称.此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.必备知识关键能力-29-29-29-29-考点1考点2考点3考点4对对点点训练训练4(1)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于.(2)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.必备知识关键能力-30-30-30-30-考点1考点2考点3考点4必备知识关键能力-31-31-31-31-考点1考点2考点3考点4必备知识关键能力-32-32-32-32-考点1考点2考点3考点4必备知识关键能力-33-33-33-33-考点1考点2考点3考点41.对于两条直线的位置关系的判断或求解:(1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1l2k1=k2.(2)若直线斜率均存在,则一定有:l1l2k1k2=-1.2.中心对称问题(1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决.(2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.必备知识关键能力-34-34-34-34-考点1考点2考点3考点43.轴对称问题(1)点关于直线的对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,一般由方程必备知识关键能力-35-35-35-35-考点1考点2考点3考点4学科素养-36-思想方法转化思想在对称问题中的应用1.若在直线l上找一点P,使点P到两定点A,B的距离之和最小,则要看A,B两点相对直线l的位置.若A,B在直线l的异侧,则直接连接AB,AB与直线l的交点即为所求;若A,B在直线l的同侧,则需要找出A或B中一个点关于直线l的对称点,然后连接另一点与对称点,连线与直线l的交点即为所求.2.若在直线l上找一点使到两定点A,B的距离之差最大时,则与上面和最小问题正好相反.若A,B在直线l的异侧,则需要利用对称转化;若A,B在直线同侧,则A,B两点所在直线与l的交点即是所求.学科素养-37-典例已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小;(2)在直线l上求一点P,使|PB|-|PA|最大.解:(1)设A关于直线l的对称点为A(m,n),学科素养-38-(2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则|PB|-|PA|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,|PB|-|PA|取得最大值|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,又直线AB的方程为y=x-2,故所求的点P的坐标为(12,10).