学科素养3.2导数与函数的单调性、 极值、最值 知识体系知识梳理学科素养-2-2-2-2-知识梳理双基自测231自测点评41.导数与函数的单调性设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,如果在(a,b)内,则f(x)在此区间是增函数;如果在(a,b)内,则f(x)在此区间是减函数.f(x)0 f(x)0 知识体系知识梳理学科素养-3-3-3-3-知识梳理双基自测自测点评23142.函数的极值与导数已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近所有点x,都有,则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作,并把x0称为函数f(x)的一个;如果在x0附近都有,则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作,并把x0称为函数f(x)的一个.f(x)f(x0) y极小=f(x0) 极小值点 知识体系知识梳理学科素养-4-4-4-4-知识梳理双基自测自测点评23143.求可导函数极值的步骤(1)求导数f(x).(2)求方程的所有实数根.(3)考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f(x)的符号如何变化.如果f(x)的符号由正变负,则f(x0)是;如果f(x)的符号由负变正,则f(x0)是.如果在f(x)=0的根x=x0的左、右侧,f(x)符号不变,则f(x0).f(x)=0 极大值 极小值 不是极值 知识体系知识梳理学科素养-5-5-5-5-知识梳理双基自测自测点评23144.函数的最值(1)连续的函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值. (3)求可导函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤. 求f(x)在(a,b)内的;将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.f(a) f(b) f(a) f(b) 极值 f(a),f(b) 知识体系知识梳理学科素养-6-6-6-2-6-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f(x)0. ()(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. ()(3)导数为零的点不一定是极值点. ()(4)函数的极大值不一定比极小值大. ()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. () 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5) 知识体系知识梳理学科素养-7-7-7-7-知识梳理双基自测自测点评234152.函数y=f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是()A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数B.在区间(1,3)内f(x)是减函数C.在区间(4,5)内f(x)是增函数D.在区间(2,3)内f(x)不是单调函数 答案解析解析关闭因为导数大于0的区间是函数的递增区间,导数小于0的区间是函数的递减区间,所以由图象可知在区间(4,5)内f(x)0,故f(x)在区间(4,5)内是增函数. 答案解析关闭C知识体系知识梳理学科素养-8-8-8-8-知识梳理双基自测自测点评234153. 已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2 答案解析解析关闭f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2.易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增,故f(x)的极小值为f(2),由已知得a=2,故选D. 答案解析关闭D知识体系知识梳理学科素养-9-9-9-9-知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识体系知识梳理学科素养-10-10-10-10-知识梳理双基自测自测点评234155.(2017河北保定二模)已知函数 在x=1处取得极值0,则a+b=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识体系知识梳理学科素养-11-11-11-11-知识梳理双基自测自测点评1.若函数f(x)在区间(a,b)内递增,则f(x)0;“f(x)0在(a,b)内恒成立”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.如函数y=x3在x=0处的导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点.3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然地认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.核心考点-12-考点1考点2考点3 考向一讨论函数的单调性或求函数的单调区间(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求函数的单调区间?核心考点-13-考点1考点2考点3核心考点-14-考点1考点2考点3令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.核心考点-15-考点1考点2考点3考向二已知函数的单调性求参数的取值范围例2已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.思考已知函数的单调性求参数的一般思路是什么?核心考点-16-考点1考点2考点3核心考点-17-考点1考点2考点3(2)因为f(x)在(-,+)内是增函数,所以f(x)=3x2-a0在(-,+)内恒成立,即a3x2对xR恒成立.因为3x20,所以只需a0,即实数a的取值范围为(-,0.核心考点-18-考点1考点2考点3解题心得1.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)内单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)内的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).核心考点-22-考点1考点2考点3核心考点-23-考点1考点2考点3核心考点-24-考点1考点2考点3例3(1)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1(2)已知函数f(x)=x-aln x(aR).当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程;求函数f(x)的极值.思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?核心考点-25-考点1考点2考点3(1)A解析: 由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.核心考点-26-考点1考点2考点3()当a0时,f(x)0,函数f(x)在(0,+)内是增函数,函数f(x)无极值;()当a0时,由f(x)=0,解得x=a.又当x(0,a)时,f(x)0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.核心考点-27-考点1考点2考点3解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.3.利用导数研究函数极值的一般流程:核心考点-28-考点1考点2考点3(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.核心考点-29-考点1考点2考点3令f(x)=0,解得x=-1或x=5.由x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去.当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,+)内为增函数.由此可知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5;函数f(x)没有极大值.核心考点-30-考点1考点2考点3(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)+2aln x,且g(x)有两个极值点为x1,x2,其中x10,e,求g(x1)-g(x2)的最小值.思考求函数的最值可划分为哪几步?核心考点-31-考点1考点2考点3令f(x)=0得x2-ax+1=0.当-2a2时,=a2-40,此时,f(x)0,且f(x)在(0,+)内的任意子区间内都不恒等于0,所以f(x)在定义域(0,+)内单调递增;当a0时,但x2-ax+1=0的两根x1,x2均为负数,此时,f(x)0在(0,+)内恒成立,所以f(x)在定义域(0,+)内单调递增;核心考点-32-考点1考点2考点3核心考点-33-考点1考点2考点3核心考点-34-考点1考点2考点3核心考点-35-考点1考点2考点3解题心得求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.核心考点-36-考点1考点2考点3对点训练对点训练3(1)(2017湖南衡阳三次联考)已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是()A.ln ab-1B.ln a-b0,得b0,此时ab=0;若a0,知函数单调增,x-,此时f(x)-,不可能恒有f(x)0.若a0,由f(x)=ex-a=0,得极小值点x=ln a,由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a),aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a),核心考点-39-考点1考点2考点31.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0f(x)在(a,b)内为增函数;f(x)0f(x)在(a,b)内为减函数.2.求可导函数极值的步骤:(1)求定义域及f(x);(2)求f(x)=0的根;(3)判定定义域内的根两侧导数的符号;(4)下结论.3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值;然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).核心考点-40-考点1考点2考点31.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.2.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,可以在区间的端点处取得.3. 要注意区分求函数的单调性和已知函数的单调区间求参数的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.知识体系知识梳理学科素养-41-41-41-41-答案: C 知识体系知识梳理学科素养-42-42-42-42-知识体系知识梳理学科素养-43-43-43-43-知识体系知识梳理学科素养-44-44-44-44-典例2设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()答案: D解析: 设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.知识体系知识梳理学科素养-45-45-45-45-知识体系知识梳理学科素养-46-46-46-46-反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参数的不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.