第二章函数概念与基本初等函数 I2.2函数的单调性与最值内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析答题模板系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习增函数减函数定义一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1f(x2)f(x1)0，则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).()(4)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).()(5)所有的单调函数都有最值.()(6)对于函数yf(x)，若f(1)f(3)，则f(x)为增函数.()答案思考辨析所以函数在(0，)上为增函数，故正确；中，函数y(x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故错误；中，函数ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错误.考点自测2 2解析答案123452.若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为_.解析解析由图象易知函数f(x)|2xa|的单调增区间是6a6.解析答案123453.设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(a)，则g(a)_.解析解析函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1.当2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.解析答案123452解析答案123455.(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_.解解析析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示.(，12，)由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，). 解析答案12345返回题型分类深度剖析题型一确定函数的单调性(区间)命题点命题点1给出具体解析式的函数的单调性给出具体解析式的函数的单调性解析解析 yln(x2)的增区间为(2，)，在区间(0，)上为增函数.解析答案(2)函数 的单调递增区间是_.解析解析 因为 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2).(，2)解析答案(3)函数yx22|x|3的单调增区间为_.解析解析 由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0恒成立，试求实数a的取值范围.当a0时，f(x)在1，)内为增函数.最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，所以3a0.当00，a3，所以0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1.解析答案思维升华所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.2跟踪训练2解析答案解析答案题型三函数单调性的应用命题点命题点1比较大小比较大小当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.解析答案命题点命题点2解不等式解不等式1x0或0x1.(1,0)(0,1)解析答案命题点命题点3求参数范围求参数范围例例6(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_.解析解析当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增； 因为f(x)在(，4)上单调递增，解析答案解析解析由已知条件得f(x)为增函数，解析答案思维升华(1)f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是_.解析解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，(8,9跟踪训练3解析答案解析解析 由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得1,2a，)，a1.故00时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答题模板系列1.确定抽象函数单调性解函数不等式解析答案思维点拨 对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.思维点拨(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思维点拨 将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)0且a10，a1.1，)1234567891011121314解析答案解析解析函数图象关于x1对称，又yf(x)在(1，)上单调递增，ba1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为1a2.(1,21234567891011121314解析答案所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.31234567891011121314解析答案证明证明任设x1x20，x1x20，f(x1)0，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)上恒成立，a1.综上所述，a的取值范围是(0,1.(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围.解解任设1x11时，f(x)0；f(3)1.解解 令xy1易得f(1)0.而f(9)f(3)f(3)112，1234567891011121314解析答案(2)如果不等式f(x)f(2x)2成立，求x的取值范围.1 12 23 34 45 56 67 78 89 91011 1112 1213 1314 14解析答案当0x2时，h(x)log2x是增函数；当x2时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.11234567891011121314解析答案12.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_.解析解析由已知，得当2x1时，f(x)x2，当11时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)，当a1时，定义域为x|x0且x1，1234567891011121314解析答案(2)当a(1,4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值；当a(1,4)，x2，)时，1234567891011121314解析答案(3)若对任意x2，)恒有f(x)0，试确定a的取值范围.解解 对任意x2，)恒有f(x)0，所以a3xx2，令h(x)3xx2，所以h(x)maxh(2)2，所以a2.1234567891011121314解析答案返回