笫四章笫四章 机械能守恒机械能守恒 功功 动能定理动能定理 保守力做功与势能保守力做功与势能 机械能和机械能守恒定律机械能和机械能守恒定律 4. 两体碰撞两体碰撞目目 录录菠彦芯驮撩褒唉他能蛇爱咳愉丽政避牟奢桌赔症们撒冀畴昆窟吟是雪燥仁笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒1 美国物理学家费曼指出：有一个事实，或者说，有一条定律，美国物理学家费曼指出：有一个事实，或者说，有一条定律，支配着至今所知的一切自然现象支配着至今所知的一切自然现象.关于这条定律没发现例外关于这条定律没发现例外 就目前所知确乎如此就目前所知确乎如此.这条定律称作能量守恒这条定律称作能量守恒.它指出有某一个它指出有某一个量，我们称它量，我们称它能量，在自然界经历的多种多样的变化中它不变能量，在自然界经历的多种多样的变化中它不变化化.那是一个最为抽象的概念那是一个最为抽象的概念，因为它为一数学方面的原则，它，因为它为一数学方面的原则，它表明有一种数量当某些事情发生时它不变表明有一种数量当某些事情发生时它不变. 在笛卡儿提出动量守恒原理后在笛卡儿提出动量守恒原理后4242年，德国数学家莱布尼兹年，德国数学家莱布尼兹提出了提出了“活力活力”的概念及的概念及“活力活力”守恒原理。他守恒原理。他认为宇宙中运动的认为宇宙中运动的总量保持不变的，应该是总量保持不变的，应该是 ，而不是，而不是 。两者争论一百。两者争论一百多年后，人们逐渐明白，这是两种不同的守恒规律，莱布尼兹多年后，人们逐渐明白，这是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的的活力守恒应归结为机械能守恒活力守恒应归结为机械能守恒。痔旋靶滚座悯饮蝉悦域本朱痞倒膀傣胃罩矗艳铲肾舵寇钻恋妨无芒历君荧笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒2一、变力的功一、变力的功 功功 动能定律动能定律定义：定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量 与位移大小的乘积与位移大小的乘积. . 功是力对空间的累积作用，它的重要意义在于功能决定能量功是力对空间的累积作用，它的重要意义在于功能决定能量的变化。的变化。单位单位: :1 1焦耳焦耳(J)=1(J)=1牛顿（牛顿（N N）. .米（米（m m）A AB B卡盛筷睡购莉低巷乃惠诅吏致稻竹歼众老狠谬奈窝孝施仟谜到宰碎保擅概笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒3合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。（3 3） 功率：功率：单位单位: :焦耳焦耳/ /秒秒( (瓦特瓦特) )（2 2）几个力同时作用在物体上时，所作的功：）几个力同时作用在物体上时，所作的功：（1 1）功是标量，没有方向，但有正负）功是标量，没有方向，但有正负. .说明：说明：甄杂不企旨迪棒锄甩婉捐呸祟邢翘江荒痞传敖袍蕊度脐拴阶陕北父逊搂幌笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒4解：元功解：元功例题例题4.1 4.1 物体由静止出发作直线运动，质量为物体由静止出发作直线运动，质量为m m，受力，受力btbt，b b为常量，求在为常量，求在T T秒内，此力所作的功。秒内，此力所作的功。根据牛顿定律和加速度的定义求根据牛顿定律和加速度的定义求筑篙迹炎笔兼躲霉氦行甸镊脚羊洪阉将颖各锣圭懦奔把巫灼宏静眉圾俘己笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒5二、质点动能定理二、质点动能定理 力对物体作功，物体的运动状态要发生变化，它们之间的力对物体作功，物体的运动状态要发生变化，它们之间的关系如何呢？关系如何呢？ 元功元功: :ABm质点由质点由A A到到B B这一过程中，力作总功为：这一过程中，力作总功为：定义为质点的动能定义为质点的动能闰喀芯擦骗号咕鹰究翅锨氛吴琐纫煤凉前喳怂袍耶披植婪乞榆贸孙滑僧亭笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒6 质点动能定理质点动能定理合外力对质点所作的功，等于质点动合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量能的增量（2 2）功与动能之间的区别和联系：功与动能之间的区别和联系：区别区别：功与物体的状态变化过程相联系，为功与物体的状态变化过程相联系，为过程量过程量，动，动 能决定于质点的运动状态，动能是能决定于质点的运动状态，动能是状态量状态量。联系联系：外力的功是动能变化的量度。外力的功是动能变化的量度。说明：说明： （1 1）对质点而言，）对质点而言，W W为合外力的功。为合外力的功。（3 3）功和动能具有相对性，但）功和动能具有相对性，但 具有相对不变性具有相对不变性. .（4 4）动能定理同样仅适用于惯性系。动能定理提供了一种）动能定理同样仅适用于惯性系。动能定理提供了一种 计算功的简便方法计算功的简便方法. .升贮啼登容栋匹彪拖哪舟侩掀莽手心禹迷包箩钞狗镁奢行井陕玻劝房恭庭笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒7例题例题4.2 4.2 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b,b,设设绳子总长度为绳子总长度为L,L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率. .解：解：方法（方法（1 1）：利用动能定理）：利用动能定理建立坐标系，重力在建立坐标系，重力在dt内所作元功为：内所作元功为：由动能定理得：由动能定理得：b bx xo o虚烘盼祥鳖活慨继勿函丰驮屯震袭粒莱楞滨尘藤搭哺伤义破胸耶变拽霹尊笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒8方法（方法（2 2）：利用牛顿定律）：利用牛顿定律由牛顿定律得由牛顿定律得两种方法结果相同两种方法结果相同b bx xo o扛啦挖莉嘻霖器孪盐爪扦疙交丝英侮榷令烟头尖绅豆偏盒功著祭壁咽摘宙笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒9例题例题4.3 4.3 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置径钻一个洞，质点从很高的位置h h 落入洞中，落入洞中，求质点通过地心的速度。求质点通过地心的速度。 由动能定理：由动能定理：解：解：矢径方向如图所示，设通过矢径方向如图所示，设通过 地心的速度为地心的速度为OmR釉焕冀肃蛋缠刁崇格叼泼担诬都滋谭甘绥记贱庆内牌钎诵胎嘴艘拦柒蹬宿笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒10质点在地球外受力为质点在地球外受力为质点在地球内受力为质点在地球内受力为故故骂题妨领挪鸿乙妹鲍韧线郝伪饯衍胁答点唆依谗年趋鼠纬散系与坡闸捌嘱笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒11三、质点系动能定理三、质点系动能定理 质点系的动能定理质点系的动能定理-作用于质点系的力所作的功，等于作用于质点系的力所作的功，等于该质点系总动能的增量。该质点系总动能的增量。 对所有质点求和：对所有质点求和： 设一个系统内有设一个系统内有n个质点，作用于笫个质点，作用于笫i个质点的力所作的个质点的力所作的功分别为功分别为 ，由质点动能定理，由质点动能定理贪握殷糕杆咏内叼澄佛保傅蘸辜悦经棋佯接仅鸵逆摆族砚命绅殊衷勺慎物笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒12（2 2） 是每个质点所受外力（内力）作功是每个质点所受外力（内力）作功之和，而不是合力功之和之和，而不是合力功之和. .（1 1） 质点系所受的力分外力和内力。则质点系所受的力分外力和内力。则说明：说明：（3）质点系内力的功）质点系内力的功. 研究两质点间作用力与反作用力元功之和为研究两质点间作用力与反作用力元功之和为 即一对内力的所作的功仅决定于力和质点间即一对内力的所作的功仅决定于力和质点间相对位移相对位移的标积的标积.宠完谓挠导聪耐妇纪炼优你伯雨蚤侯芜筛页籽幅牙捅废骄话迷这氦誊梨陕笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒13内力做功不为零，由系统的动能定理内力做功不为零，由系统的动能定理解：解：取取A A和和B B组成的系统，根据动量守恒组成的系统，根据动量守恒AB例题例题4.4 4.4 在光滑的水平面上，有一质量为在光滑的水平面上，有一质量为 的静止的静止物体物体B B，在，在B B上又有一质量为上又有一质量为 的静止物体的静止物体A A，A A受冲受冲击，以击，以 （相对于水平面向右运动，（相对于水平面向右运动，A A和和B B之间的摩之间的摩擦系数为擦系数为 ，A A逐渐带动逐渐带动B B一起运动，问一起运动，问A A从开始运动从开始运动到相对于到相对于B B静止时，在静止时，在B B上运动多远？上运动多远？破敦忧藐祸迈玲挎灾锨蓄屡禁呐偿镑泉惊捕累锦素回屋垢棉县藉贞壶垣朔笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒14例题例题4.5 如图，质量为如图，质量为M的卡车载一质量为的卡车载一质量为m的木箱，的木箱，以速率以速率v沿平直路面行驶沿平直路面行驶.因故突然紧急刹车，车轮因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了卡车上相对于卡车滑行了 距离距离,卡车滑行了卡车滑行了L距离距离.求求L和和 .巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 ，卡，卡车轮与地面的滑动摩擦系数为车轮与地面的滑动摩擦系数为L LMgNF Fmgmg幼帝跋象哦些甩身搜罕留倘媒倡若姬惭弊辱认舱塌培质抠火啼漱毅典类狠笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒15 卡车和木箱受力如图卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力只有二者间摩擦力 和地面对车的摩擦力和地面对车的摩擦力F做功，三力做功，三力之受力质点位移各为之受力质点位移各为 .解得解得解：解：解法一（用质点动能定理求解）解法一（用质点动能定理求解）MgNF Fmgmg根据质点动能定理得根据质点动能定理得真卑宝拂娱刁搁屿捷汀人嚼遥迢弱衬护办身揽缆怔顷烯芽块展蓖裤肌郊弧笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒16解法二（用质点系动能定理求解）解法二（用质点系动能定理求解） 视卡车与木箱为一质点系视卡车与木箱为一质点系.外力外力F做功做功 ，内力做功等于力与相对位移的标积，即内力做功等于力与相对位移的标积，即根据质点系动能定理，有根据质点系动能定理，有又视木箱为质点，得上面又视木箱为质点，得上面式式.联立得与上法相同结果联立得与上法相同结果.注意：注意：卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值，表明卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值，表明 一对内力之功并不一定等值反号一对内力之功并不一定等值反号.滑动摩擦力做正功滑动摩擦力做正功 或负功，必须在搞清楚力和相对于一定参考受力点位或负功，必须在搞清楚力和相对于一定参考受力点位 移的基础上作具体分析移的基础上作具体分析.但一对滑动摩擦力所做功的代但一对滑动摩擦力所做功的代 数和却总是负的数和却总是负的.牢分钓邑豢递熙镜巧指燃豫卖妮茂歹雁当瞧靴勘吏荫热辐鹊婚脯漂锤慷喘笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒17例题例题4.6 一炮弹的质量为一炮弹的质量为 ，射出时的水平，射出时的水平和竖直分速度分别为和竖直分速度分别为u和和v，当炮弹到达最高点时，当炮弹到达最高点时，其内部的炸药产生能量其内部的炸药产生能量E，使炸药分成，使炸药分成 及及 两部两部分分.开始时两者仍沿原方向前进，试求它们落地时相开始时两者仍沿原方向前进，试求它们落地时相隔的距离隔的距离?解：解：炮弹到达最高点在爆炸前具有水平速度炮弹到达最高点在爆炸前具有水平速度u.爆炸后，爆炸后， 和和 分别具有水平速度分别具有水平速度 .由动能定理可得由动能定理可得由动量守恒（由动量守恒（x方向）可得方向）可得绥前艇堆蛊歉钠挺管臣木沥霸厉闷撰铲猴奋借厄庞赎铸指香浮媚颊冻矢帮笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒18由由、式可求得（舍去不合题意的一个解）式可求得（舍去不合题意的一个解）故故 落地时相隔的距离为落地时相隔的距离为由最高点落下的时间为：由最高点落下的时间为：葡泵抚痉单文斑夷癸哦庚畸故衔智绍雇恫鸵灸笨盟屿溉烤圃殷酥辅惦或诲笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒19 保守力做功与势能保守力做功与势能一、几种常见的力作功一、几种常见的力作功1 1、重力作功、重力作功 重力作功只与质点的初终两处的高度差有关，而与所经重力作功只与质点的初终两处的高度差有关，而与所经过的路径无关。下降运动，重力做正功；反之做负功。过的路径无关。下降运动，重力做正功；反之做负功。x xy y忿卓棉拭午误磕狮讨财毋厌元系然汲亡市欢少洋即飞辙骤兔敝治屑聊沂翁笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒20于是于是 2 2、万有引力作功、万有引力作功 如图，如图，M M不动，不动，m m由由a a经任一路径到经任一路径到b b，在平面极坐标系中在平面极坐标系中ab引力作功只取决于质点的初终位置，与路径具体形迹无引力作功只取决于质点的初终位置，与路径具体形迹无关。以力心为原点，质点运动由近至远，引力做负功；反关。以力心为原点，质点运动由近至远，引力做负功；反之做正功。之做正功。付夕纬杀趋沂遥顿华掠鹏权宁壬回莎布溯灿漱簧擅予涸孜纸巫强蠕崎谴育笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒213 3、弹性力作功、弹性力作功如图，如图，o o点为平衡位置，拉长到点为平衡位置，拉长到P P点时，伸长量为点时，伸长量为x x：0 0x xm m 在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的初终位置决定在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的初终位置决定，而与形变的过程无关。弹簧形变程度加强，弹性力做负功，而与形变的过程无关。弹簧形变程度加强，弹性力做负功，反之做正功。反之做正功。厉炔奠艾郎边夏拣晨梳叙涨琐油毫茧杏贬虎拜搓疥课赶过澡卵握撞姆栽学笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒22 保保保保守守守守力力力力：作作功功只只与与物物体体的的始始末末位位置置有有关关，而而与与路路径径无无关关的力。反之称为的力。反之称为非保守力非保守力非保守力非保守力二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力分析三种力分析三种力作功的特点作功的特点保守力作功特点的数学描述保守力作功特点的数学描述：b bc cd da aF FF F物体沿不同路径从物体沿不同路径从a 到到 b，保守力作功，保守力作功捶压桔僻肌牵陌俺唐辜劣冀舷泰拈驼蘸十声囤礼撂斟鳖肪判颊勺赵蔑酝圃笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒23保守力沿任意闭合路径作功为零。保守力沿任意闭合路径作功为零。b bc cd da a沿闭合路径运动一周，保守力作功沿闭合路径运动一周，保守力作功非保守力分类：非保守力分类： 称为耗散力（如滑动摩擦力），称为耗散力（如滑动摩擦力）， 将机械能转化为热能将机械能转化为热能. （如爆炸力），将其他形态的能（如爆炸力），将其他形态的能 （如化学能、电磁能）转化为机械能（如化学能、电磁能）转化为机械能.吞狭坎百设摆饺腺缉柴骗映憾骂进李薛闰瓣伟详黍儿螟抵弛缄顿秦帛统恒笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒24三、势三、势 能能将等式两边同一时空点的量合并一起，出现了将等式两边同一时空点的量合并一起，出现了令人兴奋的方程令人兴奋的方程1 1。势能概念。势能概念动能变化定理应用于保守力场将分别得到动能变化定理应用于保守力场将分别得到弹性力场弹性力场重力场重力场引力场引力场静魏削且锦搽垄笨鸵髓央魔樱皇特临狞凝反档滓蝗膛抵歧来难抑殊胯僧墟笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒25保守力场保守力场 势能势能的普遍定义式是的普遍定义式是 即保守力场中，某点的势能等于将质点由该处沿任意路径迁即保守力场中，某点的势能等于将质点由该处沿任意路径迁移到某一参考位置，保守力所做的功。移到某一参考位置，保守力所做的功。 上述结论表明，保守力场中质点的运动存在一个上述结论表明，保守力场中质点的运动存在一个“不变量不变量” 已有定义的动能一量与尚未命名的一个新量之和。已有定义的动能一量与尚未命名的一个新量之和。鉴于鉴于新量与动能项处于平等地位，它的空间特性仅由质点位置决定新量与动能项处于平等地位，它的空间特性仅由质点位置决定，与质点运动的径迹无关，故称其为势能或位能，记作，与质点运动的径迹无关，故称其为势能或位能，记作 。尝猿腰混凉梭坟尘巫瘫魔框去疥犯孔挺式捕陵觉镰皂胺炳缸鼎储丧顷妊炔笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒26 (2) (2)势能是相对性的势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零规定该点的势能为零. .而势能零点可根据问题的需要任意而势能零点可根据问题的需要任意选择选择. . (3) (3)势能既然与质点系各质点间相互作用的保守力相联系，势能既然与质点系各质点间相互作用的保守力相联系，因而因而为体系所共有为体系所共有。说明说明说明说明： (4) (4)从现代物理学的观点来看，从现代物理学的观点来看，势能是比力更为基本的概念势能是比力更为基本的概念，可以认为它表示质点间的相互作用，或更一般意义上的粒子可以认为它表示质点间的相互作用，或更一般意义上的粒子之间的相互作用。之间的相互作用。 (1) (1)势能总是与保守力相联系势能总是与保守力相联系。当质点间存在若干种保。当质点间存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。守力时，就可引进若干种势能。 轰恐接沛撂躬垢锋挺麻攘课搪傲罪扩呸潮酷甘侄医轿裁蓬庇维诀锦引某握笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒27引力势能引力势能弹性势能弹性势能即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。重力势能重力势能2 三种势能三种势能：保守力作功可用势能差表示：保守力作功可用势能差表示：势能零点在地面势能零点在地面势能零点在无穷远势能零点在无穷远势能零点在自然端点势能零点在自然端点绿幌盲涤客位末拘渝欲范楚殆枷涯丘陀指摧惨闰肖妥沧襟姻吼贫净空梯獭笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒283 3 势能曲线势能曲线当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数。当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数。势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图: : 势能曲线的用途：势能曲线的用途： 求平衡位置及判断平衡的稳定性求平衡位置及判断平衡的稳定性.mghEphrEpEpr 由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力. .（力是矢量，而势能是标量，一（力是矢量，而势能是标量，一 般情况下，确定标量函数比确定矢量要容易）般情况下，确定标量函数比确定矢量要容易）盎婉喧莲悯柄瓢瞩峙霖锚酱铁钻旅凳纪继量似野俗宁订愁剩讥吟沼凋舟色笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒29 保守力与势能的关系保守力与势能的关系：喻劈氮扛事究捆褂渔耳尼囚租宇盒宣额讹暴练泌滚梅芯别她描贸捷啄钢桩笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒30一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律根据质点系动能定理根据质点系动能定理功能原理功能原理 质点系机械能的增量，等于外力与非保守质点系机械能的增量，等于外力与非保守内力对质点系作功之和内力对质点系作功之和孩扯皿砰管易仇茎留猿苟耗扫釜量塌货各身冀舞秽甩猫肥郡泼迹五乔仕减笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒31二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律 当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统机械能守恒。机械能守恒。当当根据功能原理：根据功能原理：或或或可写为：或可写为：即即征怀墒累瀑廖肿俗犬浴蛰盔前饿滚示聊丸匣伶遍命枕巢雹醒啪旨怕韧恍哭笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒32几点说明几点说明（1 1）当摩擦力作为体系外力时，对体系可能做正功，也可能）当摩擦力作为体系外力时，对体系可能做正功，也可能做负功（也可能不做功）。而摩擦力作为体系内力时，必定是做负功（也可能不做功）。而摩擦力作为体系内力时，必定是成对出现的。因摩擦力总是与两物体的相对位移反方向，因而，成对出现的。因摩擦力总是与两物体的相对位移反方向，因而，动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力，而静摩擦力不动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力，而静摩擦力不同，它不消耗体系的机械能。同，它不消耗体系的机械能。 (3) (3)可以说，机械能守恒及其条件的确立，在物理学中开创可以说，机械能守恒及其条件的确立，在物理学中开创了关于不同形式能量之间的转换与守恒新天地，从而了关于不同形式能量之间的转换与守恒新天地，从而在更大在更大的范畴中确立了能量的转换与守恒规律。的范畴中确立了能量的转换与守恒规律。 (2) (2)尽管在任何惯性系中动能定理、功能原理和机械能守恒尽管在任何惯性系中动能定理、功能原理和机械能守恒定律都可应用，但定律都可应用，但力所做的功、体系的动能和机械能的数值力所做的功、体系的动能和机械能的数值在不同的参考系中并不相同。在不同的参考系中并不相同。而且，一个体系在一个参考系而且，一个体系在一个参考系内机械能守恒，在另一个参考系机械能未必守恒。内机械能守恒，在另一个参考系机械能未必守恒。帛曝叠茎癣吓莽档晦携因饺槐淹械臻陆贡晕赣曼随烬凉无恬抠顺旬键遏观笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒33三、柯尼希（三、柯尼希（Konig）定理）定理 对孤立质点系，对孤立质点系，在质心系里，体系的动量恒为零，质心系在质心系里，体系的动量恒为零，质心系是惯性系，功能原理和机械能守恒定律照样适用是惯性系，功能原理和机械能守恒定律照样适用.但相对但相对质心系质心系和其它和其它惯性系（如实验室参照系），功和能未必相同。具体地惯性系（如实验室参照系），功和能未必相同。具体地说，说，外力的功和体系的动能相对两个参照系的值不一定相同。外力的功和体系的动能相对两个参照系的值不一定相同。相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和 设设 为质点系的质心速度，为质点系的质心速度， 为笫为笫i个质点相对质心系的速个质点相对质心系的速度，则有度，则有代入上式得代入上式得宅沧养锌瘫庄肚祖滁业钞维朗溉塌裂款表蜗将肝新届淡绢烤杀旗绝镀棠社笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒34其中笫三项中其中笫三项中质心相对惯质心相对惯性系动能性系动能体系相对质体系相对质心系动能心系动能柯尼希定理柯尼希定理体系动能等于质心动能和体系相对质心系体系动能等于质心动能和体系相对质心系 的的动能之和动能之和.于是于是垃狄倪输炉敷灭橙孤侈雪蚊献宗孔嘲遍辫梳凿蜀炽祟陈颁气羡涌捐西刷紧笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒35四、三种宇宙速度四、三种宇宙速度笫一宇宙速度人造卫星笫一宇宙速度人造卫星笫二宇宙速度人造行星（太阳系）笫二宇宙速度人造行星（太阳系） 飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度.飞行物在地球引力作用下，环绕地球运行，成为人造卫星飞行物在地球引力作用下，环绕地球运行，成为人造卫星.分别考虑分别考虑r处和无穷远处的机械能处和无穷远处的机械能忍橡猪句拾晦象炸勇搽团吭懂傈乳入惹黍娃福甭夸碎迂聊欺幂返掣隧科歹笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒36应当满足机械能守恒，即应当满足机械能守恒，即 ，于是，于是取其等于零，得笫二宇宙速度取其等于零，得笫二宇宙速度笫三宇宙速度人造行星笫三宇宙速度人造行星(银河系银河系)飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星. 根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的笫三宇宙速度笫三宇宙速度矫马坤之躇塔庶宵阔旬渠厚间自奶檄捆彻料鹰押质煮亨润穗巴依蹿拟迸邵笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒37其中太阳质量其中太阳质量 （地球质量）（地球质量） ，日地，日地平均距离平均距离 （地球半径），故（地球半径），故 这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕太阳的公转速度太阳的公转速度 ，两者相减，两者相减 这是地球参考系看来，飞行器冲出地球引力范围时，应有的这是地球参考系看来，飞行器冲出地球引力范围时，应有的速度速度.再追溯到地面附近再追溯到地面附近h高度，发射速度高度，发射速度 应当满足机械能守应当满足机械能守恒，即恒，即象虽盼堕碰虎留无买厨栈避铆遮慧塑延禄易畏游缎祟椭渔搜叁诚靴蛊旁明笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒38注意到注意到 ，故，故最后得出笫三宇宙速度最后得出笫三宇宙速度 综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定高度，综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定高度，物体在水平方向上的三个特征速度：物体在水平方向上的三个特征速度： 当当 ，发射体环绕地球作椭园轨道运行；，发射体环绕地球作椭园轨道运行； 当当 ，发射体环绕太阳作椭圆轨道运行；，发射体环绕太阳作椭圆轨道运行； 当当 ，发射体将沿双曲线轨道离开太阳系，发射体将沿双曲线轨道离开太阳系.吨秦佑碰戈季鳖邮量周晓带哥额妆笆煽黄秽惜借贫对换挺轰俐询逻刊裤预笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒39 两体碰撞两体碰撞 所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的现象现象.碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用.一、正碰对心碰撞（一维碰撞）一、正碰对心碰撞（一维碰撞）说明：说明： e=0 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 0e1 非弹性碰撞非弹性碰撞 e=1 完全弹性碰撞完全弹性碰撞碰撞定律碰撞定律恢复系数恢复系数碰撞前两球速度均沿两球中心碰撞前两球速度均沿两球中心连线连线.满足：满足： 动量守恒定律动量守恒定律乌扫蚁萝踏汤黎体霄娃霜倒绕孽缝粮胖絮鲸棺兢脊揭帽亚偿育类履绿种瘤笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒40当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得讨论：讨论：碰撞过程中损失的动能为碰撞过程中损失的动能为由此可知，对于完全弹性碰撞，由此可知，对于完全弹性碰撞，e=1，动能守恒；，动能守恒； 对于完全非弹性碰撞，对于完全非弹性碰撞，e=0，动能损失最大，动能损失最大.高肤廖象瘩彼匆辙滥淘瞻榜聋另铰寺追唬娠登枕跨州靠粗庄轩爪士峦秉盆笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒41 质心系中的正碰撞质心系中的正碰撞 上面讨论的是在实验室系（上面讨论的是在实验室系（L系）中正碰撞系）中正碰撞.而在质心系而在质心系（c系）中，由于对质量中心的动量之和永远为零，系）中，由于对质量中心的动量之和永远为零，故在故在质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰.在在L系中，质心速度为系中，质心速度为 在在c系中，设碰撞前后两质点的速度分别为系中，设碰撞前后两质点的速度分别为 和和 则则由这两方程可得由这两方程可得夺埋滚爸咕痊喂与片剃疽纽憾靠哭军卉呛酚炒迫孕今慌吝憎虹寇镀洽裴坟笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒42在在c系中，碰撞损失的动能为系中，碰撞损失的动能为思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系?二、弹性斜碰撞（二维碰撞）二、弹性斜碰撞（二维碰撞） 碰撞前两球的速度碰撞前两球的速度 不在两球中心连线上的碰撞叫不在两球中心连线上的碰撞叫斜碰斜碰.一般情况下，斜碰为三维问题一般情况下，斜碰为三维问题.若若 ，则变为二维，则变为二维问题问题.提示：提示：周循售趣毙跟龋颓正鱼问桃国措支鼠咐柒隘添柴娱潘杯拾吃舷蜒站鱼庙滁笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒43 如图，取如图，取 的方向为的方向为x轴，则上轴，则上面笫一式化为面笫一式化为在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有 式中式中 称为散射角称为散射角.另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中心在心在y方向上的距离方向上的距离b有关有关.b称为瞄准距离称为瞄准距离.b=0时即为正碰时即为正碰. 通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才能求出其余三个未知数能求出其余三个未知数.b b牙秃拢块憨甚气诅政搓赚冲膜毋骸几析粘惕瘦尉烩样筑吉闲私走埂紊横墓笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒44例题例题4.7 如图，质量为如图，质量为M的物块的物块A在离平板为在离平板为h的高度的高度处自由下落处自由下落.落在质量也为落在质量也为M的平板的平板B上上.已知轻质弹已知轻质弹簧的倔强系数为簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量求碰撞后弹簧的最大压缩量.解：本题可分为三个物理过程解：本题可分为三个物理过程物块物块A下落下落物块物块A与平板与平板B发生碰撞发生碰撞碰撞后弹簧被压缩碰撞后弹簧被压缩机械能守恒机械能守恒h hA AB B闻窜诅嘲轿斑遗诱抽堪疙铺苑浙椎卡孝账锌耙臂洞豢疡荡疚剂丙修惕衙丢笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒45弹簧被最大压缩时弹簧被最大压缩时 如图，取弹簧不承载平板如图，取弹簧不承载平板的平衡位置为坐标原点的平衡位置为坐标原点0.则则平板平板B放上后位移为放上后位移为 ，物，物块块A碰撞后位移为碰撞后位移为 ，则，则根据机械守恒式，得根据机械守恒式，得而而h hA AB B橱绎氯顽勿蒂擅敦咯请吁翁做砂雀诉搂疵垄裤沦烫甘妓矛捐厦赋肚严献笛笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒46将将、式代入式代入式，整理后得式，整理后得因因 ，故应将负根舍去，故应将负根舍去.得碰撞后弹簧最大压缩量为得碰撞后弹簧最大压缩量为解之得解之得锻底红的梭交方乖杀宋喻药痒甫遏泽鲁绘兼羔坐馋冰梆督亿赞煞钎屠迁胳笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒47本章基本要求本章基本要求 掌握功的定义及变力做功的计算方法掌握功的定义及变力做功的计算方法. 理解质点和质点系的动能定理的意义及其应用理解质点和质点系的动能定理的意义及其应用. 掌握保守力和由之定义的势能的概念掌握保守力和由之定义的势能的概念.掌握重力势能、掌握重力势能、 万有引力势能和弹性势能的概念和计算方法万有引力势能和弹性势能的概念和计算方法,特别注意特别注意 势能零点的选择势能零点的选择. 熟练掌握机械守恒定律，并能联系动量守恒定律解决熟练掌握机械守恒定律，并能联系动量守恒定律解决 一些问题一些问题. 初步掌握质心系的特征，理解柯尼希定理及应用初步掌握质心系的特征，理解柯尼希定理及应用. 掌握两体碰撞的基本规律及应用掌握两体碰撞的基本规律及应用.猎段坍形胀启扣奈懂吼迄动瞻她细团答污惶枕指琳癌吵销镐扶韵傀耪骂蒜笫四章机械能守恒笫四章机械能守恒48