大学物理一复习第四章刚体的转动本章学习要点本章学习要点1. .角坐标、角位移、角速度、角加速度。角坐标、角位移、角速度、角加速度。2. .转动惯量、力矩，转动定律。转动惯量、力矩，转动定律。3. .刚体转动的动能定理。刚体转动的动能定理。4. .角动量定理、角动量守恒定律。角动量定理、角动量守恒定律。第一类问题：第一类问题：已知已知J和力矩和力矩M M ：求：求 和以和以及及F F。 书例书例2 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水平面静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径半径R、质量、质量mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质，并系在另一质量为量为mB 物体物体B上，上，B 竖直悬挂竖直悬挂滑轮与绳索间滑轮与绳索间无滑动，无滑动， 滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计( (1) )两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两水平和竖直两段绳索的张力各为多少？段绳索的张力各为多少？( (2) ) 物体物体 B 从静止落下从静止落下距离距离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？ABC解：解：隔离法，受力分析隔离法，受力分析分别根据牛二定律和转动定律列方程：分别根据牛二定律和转动定律列方程：角量、线量关系式角量、线量关系式A解得：解得：如令如令 ，可得：，可得：2 2）物体物体B B 由静止出发作由静止出发作匀加速匀加速直线运动直线运动第二类问题：第二类问题：已知运动情况和力矩已知运动情况和力矩M M ，求，求 J。例：测轮子的转动惯量例：测轮子的转动惯量用一用一根轻绳缠绕在半径为根轻绳缠绕在半径为 R、质、质量为量为 M 的轮子上若干圈后，的轮子上若干圈后，一端挂一质量为一端挂一质量为 m 的物体，的物体，从静止下落从静止下落 h 用了时间用了时间 t ,求求轮子的转动惯量轮子的转动惯量 J。hP P144144作业作业-11-11h受力分析：受力分析：m：M：物体从静止下落时满足物体从静止下落时满足稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动动试试计算计算细杆转动到与竖直线成细杆转动到与竖直线成 角时角时的的角加速度和角速度角加速度和角速度书例书例3一长为一长为 l 、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lOmg 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得式中式中得得m,lOmg由角加速度的定义由角加速度的定义代入初始条件积分得代入初始条件积分得m,lOmg或由能量守恒：或由能量守恒：得：得：4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律方向方向：右手定则确定右手定则确定1 1、质点的角动量、质点的角动量Oxyz大小大小：BA讨论讨论 掌握掌握2 2）角动量与角动量与参考点参考点的选取有关的选取有关o oo oo o掌握掌握2 2、质点的角动量守恒定理、质点的角动量守恒定理守恒条件：守恒条件：(1)(1)(2)(2)熟练掌握熟练掌握例：例：彗星绕太阳作椭圆彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的恒？近日点与远日点的速度谁大？速度谁大？二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律掌握掌握 1刚体的角动量刚体的角动量2 2 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律 在在冲击冲击等问题中等问题中 常量常量子子弹弹击击入入杆杆以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .例例1：光滑水平桌面上光滑水平桌面上 有一长为有一长为 2L、质量为、质量为 m 匀质细杆，可绕其中点且垂直于杆的竖直光滑匀质细杆，可绕其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量固定轴自由转动，转动惯量 mL2/3， 起初杆静起初杆静止，桌面上有两个质量均为止，桌面上有两个质量均为 m 的小球，各自在的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率速率 v 相向运动，当两个小球同时与杆的两个相向运动，当两个小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，与杆粘在一起转端点发生完全非弹性碰撞后，与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为: （D）（A）（B）（C）例例2：如图所示，一静止的均匀细棒，长为如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为在水平面内转动，转动惯量为一质量为一质量为m、速率为、速率为v的子弹在水平面内沿的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度应为应为 (A) (B) (C) (D) B B期中考题期中考题直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动解：解：重力矩作功：重力矩作功：练习练习1：一细杆质量为一细杆质量为m，长度为长度为l，一端固定在轴上，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角细杆摆到铅直位置时的角速度。速度。始末两态动能：始末两态动能：由动能定理：由动能定理：小小 结结一、基本物理量一、基本物理量熟练掌握熟练掌握二、基本定理、定律二、基本定理、定律1 1、转动定律、转动定律2 2、动能定理、动能定理3 3、角动量定理、角动量定理4 4、角动量守恒定律、角动量守恒定律条件：条件：M=0M=0熟练掌握熟练掌握熟练掌握熟练掌握 1 如如图图：一一定定滑滑轮轮两两端端分分别别悬悬挂挂质质量量都都是是m的的物物块块A和和B，图图中中R和和r，已已知知滑滑轮轮的的转转动动惯惯量量为为J，求求A、B两两物物体体的的加加速速度度及及滑轮的角加速度滑轮的角加速度解解 rRFT1FT2mgmgAB解得解得例例2：光滑斜面倾角为光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半，顶端固定一半径为径为 R ，质量为，质量为 M 的定滑轮，质量为的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求滑，求:下滑的加速度下滑的加速度 a 。解：解：物体系中先以物体系中先以物体物体 m 研究对象，研究对象，受力分析受力分析,在斜面在斜面 x 方向上方向上补充方程：补充方程：联立三个方程求解：联立三个方程求解：定滑轮可视为圆盘，定滑轮可视为圆盘，转动惯量转动惯量J以滑轮为研究对象以滑轮为研究对象例例3：质量为质量为 m、长为、长为 l 的细杆一端固定的细杆一端固定在地面的轴上可自由转动，问当细杆摆至在地面的轴上可自由转动，问当细杆摆至与水平面与水平面 60 角和水平位置时的角加速度角和水平位置时的角加速度为多大。为多大。解：解：由转动定律由转动定律例例4：在光滑水平桌面上放置一个静止的在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为质量为 M、长为、长为 2l 、可绕中心转动的细、可绕中心转动的细杆，有一质量为杆，有一质量为 m 的小球以速度的小球以速度 v0 与杆与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度速度 v 及杆的转动角速度及杆的转动角速度 。解：解：在水平面上，在水平面上，碰撞过程中系统角碰撞过程中系统角动量守恒，动量守恒，（1）弹性碰撞机械能守恒，弹性碰撞机械能守恒，（2）联立联立(1)、(2)式求解式求解注意没有关系：注意没有关系：例例5:细线一端连接一质量细线一端连接一质量 m 小球，另一端小球，另一端穿过水平桌面上的光滑小孔，小球以角速穿过水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度度 0 转动，用力转动，用力 F 拉线，使转动半径从拉线，使转动半径从 r0 减小到减小到 r0/2 。求：。求：（1）小球的角速度；小球的角速度；（2）拉力拉力 F 做的功。做的功。解：解：（1）由于线由于线的张力过轴，小的张力过轴，小球受的合外力矩球受的合外力矩为为0，角动量守恒角动量守恒。半径减小角速度增加。半径减小角速度增加。（2）拉力作功。）拉力作功。请考虑合外力矩为请考虑合外力矩为0，为什么拉力还作功呢？为什么拉力还作功呢？在定义力矩作功在定义力矩作功时，我们认为只时，我们认为只有切向力作功，有切向力作功，而法向力与位移而法向力与位移垂直不作功。垂直不作功。但在例题中，小但在例题中，小球受的拉力与位球受的拉力与位移并不垂直，小移并不垂直，小球的运动轨迹为球的运动轨迹为螺旋线，法向力螺旋线，法向力要作功。要作功。由动能定理：由动能定理：7、均匀细棒均匀细棒OA可绕通过其一端可绕通过其一端O而与棒垂直的而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小角速度从小到大，角加速度从大到小. (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大角速度从小到大，角加速度从小到大. (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小角速度从大到小，角加速度从大到小.（D）角速度从大到小，角加速度从小到大）角速度从大到小，角加速度从小到大. OAA期中考题期中考题8、在光滑的水平面上，一根长在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，的绳子，一端固定于一端固定于O点，另一端系一质量为点，另一端系一质量为m=0.5kg的的物体，开始时，物体位于位置物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以初速绳子处于松弛状态，现在使物体以初速度度VA =4m /s垂直于垂直于OA向右滑动，设在以后的向右滑动，设在以后的运动中物体到达位置运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向，此时物体速度的方向与绳垂直。与绳垂直。OABdvAvB则则此时刻物体对此时刻物体对O点的角点的角动量的大小动量的大小LB= ，物体，物体速度的大小速度的大小vB= . 1Nms, 1m/s. 9、人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的(A)动量不守恒，动能守恒。动量不守恒，动能守恒。(B)动量守恒，动能不守恒。动量守恒，动能不守恒。(C)角动量守恒，动能不守恒。角动量守恒，动能不守恒。(D)角动量不守恒，动能守恒。角动量不守恒，动能守恒。 C 13、 一一轻轻绳绳绕绕在在有有水水平平轴轴的的定定滑滑轮轮上上，滑滑轮轮质质量量为为m，绳绳下下端端挂挂一一物物体体，物物体体所所受受重重力力为为G, 滑滑轮轮的的角角加加速速度度为为1，若若将将物物体体去去掉掉而而以与以与G相等的力直相等的力直接向下拉绳子，滑轮接向下拉绳子，滑轮的角加速度的角加速度2 将将( (A) ) 不变不变 ( (B) ) 变小变小( (C) ) 变大变大( (D) ) 无法判断无法判断G1 12 2RR解解选选（C）G 1 1 2 2FTGFTRR14、一轻绳跨过两个质量为一轻绳跨过两个质量为 m、半径为、半径为 r 的均的均匀圆盘状定滑轮匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为绳的两端分别挂着质量为 2m 和和 m 的重物的重物,如图所示如图所示,绳与滑轮间无相对滑动绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑滑轮轴光滑, 将此系统从静止释放将此系统从静止释放,求重物的加求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。速度和两滑轮之间绳内的张力。