概概率率论论与与数数理理统统计计第七章第七章 参参 数数 估估 计计 概概率率论论与与数数理理统统计计 上一章介绍的抽样和抽样分布已为讨论统计推断上一章介绍的抽样和抽样分布已为讨论统计推断打下了必要的理论基础。何谓统计推断？就是利用打下了必要的理论基础。何谓统计推断？就是利用资资料提供的信息，做出尽可能精确和可靠的结论。严格料提供的信息，做出尽可能精确和可靠的结论。严格地说，就是从总体中抽取一个样本获得信息后，对地说，就是从总体中抽取一个样本获得信息后，对总体做出推断。由于信息的有限性和样本的随机性总体做出推断。由于信息的有限性和样本的随机性,做出的推断不可能绝对准确，总会有一定程度的不确做出的推断不可能绝对准确，总会有一定程度的不确定性，而所出现的不确定性可以用概率的大小来衡量。定性，而所出现的不确定性可以用概率的大小来衡量。于是，我们称伴有一定概率的推断为于是，我们称伴有一定概率的推断为统计推断统计推断（statistical inference）。）。概概率率论论与与数数理理统统计计 有两类重要的统计推断的问题：其中一类是总体有两类重要的统计推断的问题：其中一类是总体的的分布类型已知，而它的某些分布参数未知，如何分布类型已知，而它的某些分布参数未知，如何根据样本提供的信息，对这些未知参数做出推断，根据样本提供的信息，对这些未知参数做出推断，也就也就对对总体分布做出了推断。这类问题称为总体分布做出了推断。这类问题称为参数估计参数估计问题。问题。 在有些问题中，只须对总体的某些数字特征（如在有些问题中，只须对总体的某些数字特征（如数学期望和方差）做出估计，一般也称之为数学期望和方差）做出估计，一般也称之为参数估计参数估计或或参数推断参数推断（parameter inference）问题。问题。 另一类问题将在下一章介绍。另一类问题将在下一章介绍。概概率率论论与与数数理理统统计计7.1 点点 估估 计计概概率率论论与与数数理理统统计计 点估计问题的一般提法是：设总体点估计问题的一般提法是：设总体X X的分布函数的分布函数定义定义1 设总体设总体X的分布函数已知为的分布函数已知为 是是X的样本，称统计量的样本，称统计量是未知参数的是未知参数的点估计量（点估计量（point estimator），记为记为对样本值对样本值称为参数的称为参数的估计值（估计值（estimate value）。概概率率论论与与数数理理统统计计 下面介绍两种常用的点估计方法下面介绍两种常用的点估计方法：矩估计法矩估计法和和极大极大似然估计法似然估计法。概概率率论论与与数数理理统统计计7.1.1 矩估计法矩估计法若总体矩存在，那么若总体矩存在，那么概概率率论论与与数数理理统统计计概概率率论论与与数数理理统统计计定义定义2 称方程组称方程组 的解的解 的的矩估计矩估计为为参数参数概概率率论论与与数数理理统统计计例例1 设总体设总体X服从指数分布，即服从指数分布，即X的分布密度为的分布密度为解：解：总体一阶矩为总体一阶矩为令令则则概概率率论论与与数数理理统统计计例例3 解：解：令令解方程组，未知参数的矩估计分别为解方程组，未知参数的矩估计分别为概概率率论论与与数数理理统统计计概概率率论论与与数数理理统统计计7.1.2 7.1.2 极大似然估计法极大似然估计法概概率率论论与与数数理理统统计计1.离散型总体分布中含一个未知参数离散型总体分布中含一个未知参数概概率率论论与与数数理理统统计计概概率率论论与与数数理理统统计计称此方程为称此方程为似然方程似然方程，通过求解方程得到似然估计。，通过求解方程得到似然估计。概概率率论论与与数数理理统统计计解：解：概概率率论论与与数数理理统统计计故似然方程为：故似然方程为：求得求得p的极大似然估计的极大似然估计概概率率论论与与数数理理统统计计2.连续型总体分布中只含一个未知参数连续型总体分布中只含一个未知参数为什么，想过吗？为什么，想过吗？概概率率论论与与数数理理统统计计例例5： 已知总体已知总体X的概率密度的概率密度解：解：故似然函数为故似然函数为似然方程为似然方程为概概率率论论与与数数理理统统计计3.总体分布中含多个未知参数总体分布中含多个未知参数或或概概率率论论与与数数理理统统计计解：解：X的概率密度为的概率密度为似然函数为：似然函数为：概概率率论论与与数数理理统统计计求得的极大似然估计分别为：求得的极大似然估计分别为：似然方程组为：似然方程组为：它们与相应的矩估计相同。它们与相应的矩估计相同。概概率率论论与与数数理理统统计计解：解： X的概率密度函数为的概率密度函数为记记概概率率论论与与数数理理统统计计此例告诉我们，极大似然估计并不总是用解似然此例告诉我们，极大似然估计并不总是用解似然方程（组）的方法得到，而且极大似然估计有时不惟一方程（组）的方法得到，而且极大似然估计有时不惟一概概率率论论与与数数理理统统计计4.极大似然估计的性质极大似然估计的性质概概率率论论与与数数理理统统计计本节习题本节习题概概率率论论与与数数理理统统计计点击查看答案点击查看答案概概率率论论与与数数理理统统计计2、求下列题中各参数的极大似然估计。、求下列题中各参数的极大似然估计。概概率率论论与与数数理理统统计计点击查看答案点击查看答案概概率率论论与与数数理理统统计计5、 一批产品中含有废品，从其中随机抽取一批产品中含有废品，从其中随机抽取75件，发件，发现有废品现有废品10件，试估计这批产品的废品率。件，试估计这批产品的废品率。 (极大似然估计极大似然估计)点击查看答案点击查看答案点击查看答案点击查看答案点击查看答案点击查看答案概概率率论论与与数数理理统统计计习题答案习题答案返回返回1题题概概率率论论与与数数理理统统计计返回第返回第2题题概概率率论论与与数数理理统统计计返回返回3题题概概率率论论与与数数理理统统计计概概率率论论与与数数理理统统计计返回第返回第4题题概概率率论论与与数数理理统统计计返回第返回第5题题概概率率论论与与数数理理统统计计