4.3 4.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换）（原型变换） 对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下：原型变换映射变换频率变换也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计。模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。1低通变换通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率k。2）由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值k。3）根据k设计模拟滤波器的Ha(s)。4）把Ha(s)变换成H(z)（数字滤波器传递函数）。例例1设采样周期,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器，其3dB截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。解：a.脉冲响应不变法由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按c=2fc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率c归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数为：以代替其归一化频率，得：也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式的系数，之后以代替归一化频率，即得。将代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。 为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构： 对照前面学过的脉冲响应不变法的部分分式形式（见P155（4.31）式）有 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： 并将代入，得：合并上式后两项，并将代入，计算得：可见，H(Z)与采样周期T有关，T越小，H(Z)的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H(Z)后，再乘以因子T，使H(Z)只与有关，即只与fc和fs的相对值有关，而与采样频率fs无直接关系。例如，与的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。最后得：b.双线性变换法（一）首先确定数字域临界频率（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率(三)以代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数并将代入上式。 （四）将双线性变换关系 代入，求H(Z)。图1三阶Butterworth数字滤波器的频响脉冲响应不变法双线性变换法fs/2图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点，这个三阶零点正是模拟滤波器在处的三阶传输零点通过映射形成的。因此，双线性变换法使过渡带变窄，对频率的选择性改善，而脉冲响应不变法存在混淆，且没有传输零点。 B,A=butter(3,2*pi*1000,s); num1,den1=impinvar(B,A,4000); h1,w=freqz(num1,den1); B,A=butter(3,2/0.00025,s); %预畸 num2,den2=bilinear(B,A,4000); h2,w=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),-.,f,abs(h2),-); grid; xlabel(频率/Hz ) ylabel(幅值/dB)程序中第一个butter的边界频率21000，为脉冲响应不变法原型低通滤波器的边界频率；第二个butter的边界频率2/T=2/0.00025，为双线性变换法原型低通滤波器的边界频率. 用Matlab完成例1的设计：频率/Hz图3.14三阶巴特沃兹滤波器的频率响应幅度/dB2.高通变换 设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法：先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。模拟原型模拟高通、带通、带阻数字高通、带通、带阻设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。即确定转换为相应的高通、带通、带阻模拟滤波器的设计Ha(s)H(Z)直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换模拟原型数字高通、带通、带阻 这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。变换方法的选用：脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只能在加了保护滤波器后才可使用。因此，使用直接频率变换（第二种方法），对脉冲响应不变法要有许多特殊的考虑，它一般应用于第一种方法中。双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况也是如此。基于双线性变换法的高通滤波器设计基于双线性变换法的高通滤波器设计 在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是 S 变量的倒置。这一关系同样应用于数字高通滤波器的设计，只要将双线性变换式中的 S 代之以 1/S，就可得到数字高通滤波器。即由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。即，如图1 映射到即映射到即 图1 高通变换频率关系这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通，如图2。1.01.00 图2 高通原型变换注意：（1）所谓高通DF，并不是高到，由于数字频域存在折叠频率，对于实数响应的数字滤波器，部分只是的镜象部分，因此有效的数字域仅是，高通也仅指这一段的高端，即到为止的部分。（2）高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型预畸的临界频率时，应采用，不必加负号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。例例：采样设计一个三阶切比雪夫高通DF，其通过频率（但不必考虑以上的频率分量），通带内损耗不大于1dB。 解：首先确定数字域截止频率 , 则 切比雪夫低通原型的模函数为： 为N阶切比雪夫多项式通带损耗 时，N=3时,传递函数为（可由N、 查表得到，也可计算获得）：为方便，将和S用T/2归一化，则于是图3 三阶切比雪夫高通频响例5（书上例4.5），确定最小阶数N。 模拟切比雪夫滤波器设计中阶数的确定公式为 见书P148式（4.21)A2实际是与阻带最小衰减有关的值，见P147图4.6，1/A2是阻带内最大振幅平方，也就是最小阻带衰减，如以分贝值表示这一衰减量，则，e是以分贝计的阻带衰减今最小阻带衰减为e=19dB，故将一起代入上式，即求得最小的N。 3带通变换如图1,如果数字频域上带通的中心频率为，则带通变换的目的是将:（频率映射关系具有周期性,幅频响应具有原点对称性）。即将S的原点映射到，而将点映射到，满足这一要求的双线性变换为：模拟低通带通变换的频率关系 图1 带通原型变换 当时 因此 （带通变换关系，如图2） 图中点正好映射在上，而映射在，两端，因此满足带通变换的要求。图2 带通变换的频率关系稳定性证明：同时，这一变换也满足稳定性要求，设由于上式完全是实数，所以是映射在S平面轴上。其中分子永远非负的，因此的正负决定于分母由此证明了，S左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换关系，可用它来完成带通的变换，如图1。 设计：设计带通时，一般只给出上、下边带的截止频率作为设计要求。为了应用以上变换，首先要将上下边带参数换算成中心频率及模拟低通截止频率。为此将代入变换关系式：由于在模拟低通中是一对镜象频率，代入上面两等式，求出又同时也就是模拟低通的截止频率，有了这两个参数就可完成全部计算。例6：采样fs=400kHz，设计一巴特沃兹带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=90kHz，f1=110kHz，在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。解：确定数字频域的上下边带的角频率求中心频率：P172例11带通滤波器设计求模拟低通的通带截止频率 与阻带边界频率 ：从频率增加了约1.05倍，衰减增加了（10-3）dB，故选用二阶巴特沃兹滤波器可满足指标（查表）归一化的系统函数：代入，代入变换公式频率/Hz图4.25巴特沃思带通滤波器的频率响应幅度/dB4带阻变换把带通的频率关系倒置就得到带阻变换。给定的频率变换关系如图1。计算方法同带通，不再讨论。 图1 带阻变换的频率关系4.4 4.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换（Z Z平面变换法）平面变换法）上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域直接在数字域上进行。DF低通原型函数这种变换是由所在的Z平面到H(z)所在的Z平面的一个映射变换。为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示：各种DF的H(z)于是，DF的原型变换可表为： 对函数的要求：1)是的有理函数。2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部。3）u平面的单位圆必须映射到z平面的单位圆上。若以分别表示u平面和Z平面的单位圆，则式为且必有，其中是的相位函数 即函数 在单位圆上的幅度必须恒为1，称为全通函数。 全通函数的基本特性：任何全通函数都可以表示为：其中为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭。的所有零点都是其极点的共轭倒数；共轭倒数；N：全通函数的阶数。变化时，全通函数的相位的变化量为。不同的N和对应各类不同的变换。下面具体讨论几种原型变换：低通低通（LP）LPLP的变换中，和都是低通函数，只是截止频率互不相同（或低通滤波器的带宽不同），因此当时，相应的，如图1(a)，根据全通函数相位变化量为的性质，可确定全通函数的阶数N=1，且必须满足以下两条件：g(1)=1,g(-1)=-1满足以上要求的映射函数应为：(1)其中是实数，且 图1(a) LP-LP变换（有对称性） 代入（1）式，可得到上述变换所反映的频率变换关系频率变换关系：由此得上式把，。频率特性:呈线性关系；当时，带宽变窄，非线性；当时，带宽变宽，非线性；适当选择，可使变换为，如图1(b)所示。:低通原型截止频率，:变换后截止频率LP-LP频率变换特性图1(b) LP-LP频率变换特性确定：把变换关系带入（2）式，有： 得 （2）式的 频率关系，如图1(b) LP-HPa.基本思想：上述LP变换中的Z代以Z,则LP=HP。b.高通变换或LP-HP变换把如图2（a），在上述LP-LP变换中，将Z代以Z,得LP-HP变换关系：原型低通的截止频率对应于高通的边界频率，欲将变换到，由（2）式，有： （2）式的 频率关系，如图2(b)中的曲线（实线）图2(a)LPHp变换LP-Hp变换 图2（b）LP-HP频率变换LP-BPLP-BP变换把带通的中心频率故N=2。由以上分析得变换关系：或如图3(a),全通函数取负号。LP-BP变换图3(a)LP-BP变换 把变换关系 代入（2）式得：消去r1，得：令确定r1,r2：可证明，其中r1,r2代入（2）式，则可确定频率变换关系，如图3（b）。LP-BP频率关系LPBS如图4(a),LPBS变换把带阻的中心频率的变化范围为,故N=2又g(1)=1,所以，全通函数取正号。由以上分析得变换关系：（1）或（2）LP-BS变换图4(a)LP-BS变换确定r1,r2： 把变换关系 代入（2）式得：其中，r1,r2代入（2）式，得图4（b）,此频率变换关系与前面的分析相吻合。LP-BS频率变换关系LP-BS变换的又一种实现方法:由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到带阻,即其中的求取可利用低通到高通公式,可利用低通到带通公式求,最后可求得,如书中表格内表达式。低通