第第七七章章 静电场静电场图为图为19301930年年E.O.E.O.劳伦斯制成的世界上第一台回旋加速器劳伦斯制成的世界上第一台回旋加速器第一节第一节 电荷与库仑定律电荷与库仑定律一、电一、电 荷荷1. 正负性正负性 2. 量子性量子性盖尔盖尔曼提出夸克模型曼提出夸克模型 : :3. 守恒性守恒性在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在任何时刻系统在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在任何时刻系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变，这称为中的正电荷与负电荷的代数和保持不变，这称为电荷守恒电荷守恒定律。定律。 4. 相对论不变性相对论不变性电荷的电量与它的运动状态无关电荷的电量与它的运动状态无关 二、二、 库仑定律库仑定律1. 点电荷点电荷(一种理想模型一种理想模型)当当带电体的大小、形状带电体的大小、形状 与带电体间的距离相比可以忽略时与带电体间的距离相比可以忽略时, ,就可把带电体视为一个带电的几何点。就可把带电体视为一个带电的几何点。2. 库仑定律库仑定律处在静止状态的两个点电荷，在真空（空气）中的相互作用处在静止状态的两个点电荷，在真空（空气）中的相互作用力的大小，与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距力的大小，与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。 电荷电荷q1 对对q2 的作用力的作用力F21电荷电荷q2对对q1的作用力的作用力F12 真空中的电容率（介电常数）真空中的电容率（介电常数） 讨论：讨论：(1) 库仑定律适用于真空中的点电荷；库仑定律适用于真空中的点电荷；(2) 库仑力满足牛顿第三定律；库仑力满足牛顿第三定律；(3) 一般一般267 例1例2结论：结论： (1)(1) 一般一般(2)(2) 原子尺度内电力是很强的原子尺度内电力是很强的 三三. 电场力的叠加电场力的叠加q3 受的受的力：力：对对n n个点电荷：个点电荷：对对电荷连续分布的带电体电荷连续分布的带电体Qr已知两杆电荷线密度为已知两杆电荷线密度为 ，长度为，长度为L，相距相距L 解解例例两带电直杆间的电场力。两带电直杆间的电场力。求求L3L2LxO 第二节第二节 电场强度电场强度一一. 静电场静电场 后来后来: : 法拉第提出法拉第提出场场的概念的概念 早期：早期：电磁理论是电磁理论是超距超距作用理论作用理论 电场的特点电场的特点(1) 对位于其中的带电体有力的作用对位于其中的带电体有力的作用(2) 带电体在电场中运动带电体在电场中运动, ,电场力要作功电场力要作功二二. 电场强度电场强度检验电荷检验电荷带电量足够带电量足够小小点电荷点电荷场源电荷场源电荷产生电场的电荷产生电场的电荷=在在电场中任一位置处：电场中任一位置处：=电场中某点的电场强度的大小等于单电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。正电荷在该点受力的方向。 三三. 电场强度的计算电场强度的计算点电荷的电场点电荷的电场定义：定义：点电荷系点电荷系的电场的电场 点电荷系在某点点电荷系在某点P 产生的电场强度等于各点电荷单独在该产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这称为点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理。电场强度叠加原理。连续分布带电体连续分布带电体 : : 线密度线密度 : : 面密度面密度 : : 体密度体密度P上节课到此求电偶极子在延长线上和中垂线上一点产生的电场强度。求电偶极子在延长线上和中垂线上一点产生的电场强度。解：解：例例3OxP令：令：电偶极矩电偶极矩Pr中垂线上中垂线上x当 r l 时延长线上延长线上 查积分表积分变量就是l，其他暂时当着常量aPxyO它在空间一点它在空间一点P产生的电场强度（产生的电场强度（P点到杆的垂直距离为点到杆的垂直距离为a)解解dqr由图上的几何关系由图上的几何关系 21例例 长为长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为的均匀带电直杆，电荷线密度为 求求- tan(90 o -)(1) a L 杆可以看成点电荷杆可以看成点电荷讨论讨论(2) 无限长直导线无限长直导线aPx yOdqr21一一. .电通量电通量1 1、电场线（电力线）电场线（电力线） 电场线的特点电场线的特点: :(2) 反映电场强度的分反映电场强度的分布布电场线上每一点的电场线上每一点的切线方向切线方向反映该点反映该点的场强方向的场强方向 , ,电场电场线的线的疏密疏密反映场强反映场强大小。大小。(3) 静静电场线是非闭合曲线电场线是非闭合曲线(4) 电场线不相电场线不相交交(1) 由正电荷指向负电荷由正电荷指向负电荷或无穷远处或无穷远处第三节第三节 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+q-qA2 2、电通量、电通量 在电场中穿过任意曲面在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称为穿过该面的电通的电场线条数称为穿过该面的电通量。量。 1. 均匀场中均匀场中定义定义2. 非均匀场中非均匀场中dS En 非闭合曲面非闭合曲面凸为凸为正，凹为负正，凹为负闭合曲面闭合曲面向外为正，向内为负向外为正，向内为负(2) 电通量是代数量电通量是代数量为正为正 为负为负 对闭合曲面对闭合曲面方向的规定：方向的规定：(1)讨论讨论二二. .高斯定理高斯定理 取任意闭合曲面时取任意闭合曲面时以点电荷为例建立以点电荷为例建立eq 关系关系: :结论结论: : e 与曲面的形状及与曲面的形状及 q 在曲面内的位置无关！在曲面内的位置无关！? 取球对称闭合曲面取球对称闭合曲面-q+q+qS+qS1S2 q在曲面外时：在曲面外时： 当存在多个电荷时：当存在多个电荷时：q1q2q3q4q5 是所有电荷产生的，是所有电荷产生的， e 只与内部电荷有关只与内部电荷有关! ! !?!?结论结论:1（不连续分布的源电荷）（不连续分布的源电荷） （连续分布的源电荷）（连续分布的源电荷） 反映静电场的性质反映静电场的性质 有源场有源场真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以 高斯定理高斯定理意义意义复习1.1.无限长均匀带电直杆的电场无限长均匀带电直杆的电场非闭合曲面非闭合曲面凸为凸为正，凹为负正，凹为负闭合曲面闭合曲面向外为正，向内为负向外为正，向内为负方向的规定方向的规定：2. 是所有电荷产生的，是所有电荷产生的， e 只与内部电荷有关只与内部电荷有关! ! !?!?3.取任意闭合曲面时取任意闭合曲面时4.均匀带电球面，总电量为均匀带电球面，总电量为Q，半径为半径为R电场强度分布电场强度分布QR解解取过场点取过场点 P P 的同心球面为高斯面的同心球面为高斯面P对对球面外一点球面外一点P : :r根据高斯定理根据高斯定理+例例求求三三. 高斯定理高斯定理应用（应用（求求特殊特殊带电体的电场强度）带电体的电场强度）R+（1 1）对球面内一点）对球面内一点: :E = 0rEO均匀带电球面电场分布曲线均匀带电球面电场分布曲线（2 2）对球面外一点）对球面外一点: :和点电荷周围电场分布相同和点电荷周围电场分布相同红线表示均匀红线表示均匀带电的球体内带电的球体内部的电场分布部的电场分布例例 已知球体半径为已知球体半径为R，带电量为带电量为q（电荷体密度为电荷体密度为 ）R+解解 球外球外r均匀带电球体的电场强度分布均匀带电球体的电场强度分布求求球内球内( )r电场分布曲线电场分布曲线REOr内部是成正比例增加外部平方反比减小解解 电场强度分布具有面对称性电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面选取一个圆柱形高斯面 已知已知“无限大无限大”均匀带电平面上电荷面密度为均匀带电平面上电荷面密度为 电场强度分布电场强度分布求求例例根据高斯定理有根据高斯定理有 xOEx已知已知“无限长无限长”均匀带电直线的电荷线密度为均匀带电直线的电荷线密度为+ 解解 电场分布具有轴对称性电场分布具有轴对称性 过过P点作一个以带电直线为轴，点作一个以带电直线为轴，以以l 为高的圆柱形闭合曲面为高的圆柱形闭合曲面S 作作为高斯面为高斯面 例例距直线距直线r 处一点处一点P 的电场强度的电场强度求求根据高斯定理得根据高斯定理得 rlP电场分布曲线电场分布曲线总结总结用高斯定理求电场强度的步骤：用高斯定理求电场强度的步骤：(1) 分析电荷对称性；分析电荷对称性； (2) 根据对称性取高斯面；根据对称性取高斯面； 高斯面必须是闭合曲面高斯面必须是闭合曲面 高斯面必须通过所求的点高斯面必须通过所求的点EOr(3) 根据高斯定理求电场强度根据高斯定理求电场强度。 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算第四节第四节 电电 势势一、一、静电能与静电场的环路定理静电能与静电场的环路定理1 .电势能电势能baLq0O电场力做功为电场力做功为 结论结论电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力静电力是是保守力保守力，静电场是静电场是保守力场保守力场。 电势能电势能取取M点的势能为零，点的势能为零， q0 在电场中某点在电场中某点 a 的电势能：的电势能：(1) 电势能应属于电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。和产生电场的源电荷系统共有。说明说明(3) 选势能零点原则：选势能零点原则：(2) 电荷在某点电势能的值与零点选取有关电荷在某点电势能的值与零点选取有关, ,而两点的差值而两点的差值与零点选取无关与零点选取无关 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。 当当( (源源) )电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在 无穷远处。无穷远处。 无限大带电体，无限大带电体，势能零点一般势能零点一般选在有限远处一点。选在有限远处一点。则则 q0 在电场中从在电场中从 a 运动到运动到b电场力所做的功：电场力所做的功：如图所示如图所示, , 在带电量为在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，有的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为一带电量为q 的点电荷的点电荷解解 选选无穷远为电势能零点无穷远为电势能零点bacQq 在在a 点和点和 b 点的电势点的电势能能求求例例选选 C 点为电点为电势势能能零点零点两点的电势两点的电势能能差：差：daoci（2） 证明：证明：在静电场中，沿闭合路径移动在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功电场力作功L1L22.2.静电场的环路定理静电场的环路定理环路定理环路定理ab（1 1) )表述：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零表述：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零 即：即： 电势差电势差二、二、 电电 势势单位正电荷自单位正电荷自ab 过程中电过程中电场力作的功。场力作的功。1. 电势定义电势定义单位正电荷自该点单位正电荷自该点“势能零点势能零点”过程中电场力作的功。过程中电场力作的功。arq 点电荷的电势点电荷的电势点电荷系的电势点电荷系的电势P对对n 个点电荷个点电荷2. 电势的叠加电势的叠加对对连续分布连续分布的带电体的带电体方法方法（1 1） 已知电荷分布已知电荷分布（2 2） 已知场强分布已知场强分布 电势的计算电势的计算281例9例10286例13例例1010 计算均匀带电球面的计算均匀带电球面的 电势如图电势如图解：解：均匀带电球面电场的分布为均匀带电球面电场的分布为 与电量集中在球心的与电量集中在球心的点电荷点电荷的电势分布相同的电势分布相同图图 示示等势体等势体半径为半径为R ，带电量为带电量为q 的均匀带电球体的均匀带电球体解解 根据高斯定律可得：根据高斯定律可得：求求 带电球体的电势分布带电球体的电势分布例例+RrP对球外对球外一点一点P 对球对球内一点内一点P1 P1三三、三、 电场强度与电势的微分关系电场强度与电势的微分关系1. 等势面等势面电场中电势相等的点连成的面称为等势面。电场中电势相等的点连成的面称为等势面。等势面的性质等势面的性质: :(1)证明证明: (2) 规定相邻两等势面间的电势差都相同规定相邻两等势面间的电势差都相同 等势面密等势面密大大等势面疏等势面疏小小pN(3) 电场强度的方向总是指向电势降落的方向电场强度的方向总是指向电势降落的方向设等势面上设等势面上P点的电场强度与等势面夹角为点的电场强度与等势面夹角为 , ,把把q0 在等势面上移动在等势面上移动, ,电场力作功为电场力作功为uU+dU2.场强与电势的微分关系场强与电势的微分关系取取两个相邻的等势面，等势面法线方向为两个相邻的等势面，等势面法线方向为任意一场点任意一场点 P P 处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势方向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减小的方向。减小的方向。 把点电荷从把点电荷从P移到移到Q，电场力作功为：电场力作功为：，设，设的的方向与方向与相同，相同，ab上两式上两式比较得比较得在在直角坐标系中直角坐标系中另另一种理解一种理解电势沿等势面法线方向的变化率最大电势沿等势面法线方向的变化率最大电场强度在电场强度在 l 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与电场强度的微分关系。电场强度的微分关系。 例例求求（2，3，0）点的电场强度。点的电场强度。 已知已知解解286例13中学知识理解中学知识理解半径为半径为R ，带电量为带电量为q 的均匀带电球体的均匀带电球体解解 根据高斯定律可得：根据高斯定律可得：求求 带电球体的电势分布带电球体的电势分布例例+RrP对球外对球外一点一点P 对球对球内一点内一点P1 P1第五节第五节 静电场对导体和电介质的作用静电场对导体和电介质的作用 一、静电场对导体的作用一、静电场对导体的作用2. 静电平衡静电平衡导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导体处于说导体处于静电平衡状态静电平衡状态。 导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件 导体表面导体表面导体静电平衡时，导体上导体静电平衡时，导体上各点电势相等，即导体是各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。等势体，表面是等势面。1. 导体与绝缘体（半导体）导体与绝缘体（半导体）由导体的静电平衡条件和静电场的基本由导体的静电平衡条件和静电场的基本 性质，可以得出导体上的电荷分布。性质，可以得出导体上的电荷分布。（1） 静电平衡导体的内部处处不带电静电平衡导体的内部处处不带电证明：证明：在导体内任取体积元在导体内任取体积元由高斯定理由高斯定理体积元任取体积元任取导体中各处导体中各处 如果有空腔且空腔中无电荷如果有空腔且空腔中无电荷, ,可证明可证明电荷只分布在外表面。电荷只分布在外表面。 如果有空腔且空腔中有电荷如果有空腔且空腔中有电荷, ,则则在内外表面都有电荷分布，在内外表面都有电荷分布，内表面电荷与内表面电荷与 q 等值异号。等值异号。+q-3. 导体的电荷分布导体的电荷分布（2）静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系设导体表面电荷面密度为设导体表面电荷面密度为 P 是导体外紧靠导体表面的一点是导体外紧靠导体表面的一点, ,相应的相应的电场强度为电场强度为根据高斯定理根据高斯定理: :+ds+孤立孤立导体导体+导导体体球球孤孤立立带带电电5. 静电屏蔽静电屏蔽( (腔内、腔外的场互不影响腔内、腔外的场互不影响) )腔内腔内腔外腔外内表面内表面外表面外表面导体导体由实验可得以下定性的结论：由实验可得以下定性的结论： 在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部分电在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部分电荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。ABC4. 尖端放电尖端放电（处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布） 如图所示如图所示, ,导体球附近有一点电荷导体球附近有一点电荷q 。解解接地接地 即即由导体是个等势体由导体是个等势体O点的电势为点的电势为0 则则接地后导体上感应电荷的电量接地后导体上感应电荷的电量设感应电量为设感应电量为Q 0？例例求求两球半径分别为两球半径分别为R1、R2，带电量带电量q1、q2，设两球相距很远，设两球相距很远， 当用导线将彼此连接时，电荷将如何当用导线将彼此连接时，电荷将如何 分布？分布？解解设用设用导线连接后，两球带导线连接后，两球带电量为电量为R2R1如果两球相距较近，结果怎样？如果两球相距较近，结果怎样？例例思考思考已知导体球壳已知导体球壳 A 带电量为带电量为Q ，导体球导体球 B 带电量为带电量为q (1) 将将A 接地后再断开，电荷和电势的分布；接地后再断开，电荷和电势的分布；解解A与地断开后与地断开后, ArR1R2B-q电荷守恒电荷守恒(2) 再将再将 B 接地，电荷和电势的分布。接地，电荷和电势的分布。A 接地时，内表面电荷为接地时，内表面电荷为 -q外表面电荷设为外表面电荷设为设设B上的电量为上的电量为根据孤立导体电荷守恒根据孤立导体电荷守恒例例求求(1)(2)B 球圆心处的电势球圆心处的电势总结总结 ( (有导体存在时静电场的计算方法有导体存在时静电场的计算方法) ) 1. 静电平衡的条件和性质静电平衡的条件和性质: : 2. 电荷守恒定律电荷守恒定律3. 确定电荷分布确定电荷分布, ,然后求解然后求解ArR1R2B-q五、静电场中的电介质五、静电场中的电介质1.1.电介质对电场的影响电介质对电场的影响电介质电介质: : 绝缘体绝缘体( (放在电场中的放在电场中的) )电介质电介质电场电场 r实验实验 r 电介质的相对介电常数电介质的相对介电常数结论结论: : 介质充满电场或介质表面为等势面时介质充满电场或介质表面为等势面时+ +Q- -Q+-介质中电场减弱介质中电场减弱2.2.电介质的极化电介质的极化 束缚电荷束缚电荷无极分子无极分子有极分子有极分子 + + - -无外场时无外场时（热运动）（热运动）整体对外整体对外不显电性不显电性(无极分子电介质无极分子电介质)(有极分子电介质有极分子电介质)-+有外场时有外场时( (分子分子) ) 位移极化位移极化( (分子分子) ) 取取向极化向极化束缚电荷束缚电荷束缚电荷束缚电荷 无极分子电介质无极分子电介质 有极分子电介质有极分子电介质3.3.电介质的高斯定理电介质的高斯定理 电位移矢量电位移矢量 无电介质时无电介质时 加入电介质加入电介质 r+-+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 介电常数介电常数令：令： 通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷 的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。 比较比较4.4.介质中的电场能量密度介质中的电场能量密度 r+-+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -两平行金属板之间两平行金属板之间充满相对介电常数为充满相对介电常数为 r 的各向同性均匀的各向同性均匀电介质电介质, ,金属板上的自由电荷面密度为金属板上的自由电荷面密度为 0 0 。两金属板之间的电场强度和介质表面的束缚电荷面密度两金属板之间的电场强度和介质表面的束缚电荷面密度. .解解求求例例例例 平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。求求(1) 各电介质层中的场强各电介质层中的场强(2) 极板间电势差极板间电势差解解 做一个圆柱形高斯面做一个圆柱形高斯面同理，做一个圆柱形高斯面同理，做一个圆柱形高斯面 各电介质层中的场强不同各电介质层中的场强不同 相当于电容器的串联相当于电容器的串联平板电容器中充介质的另一种情况平板电容器中充介质的另一种情况由极板内为等势体由极板内为等势体考虑到考虑到 各电介质层中的场强相同各电介质层中的场强相同 相当于电容器的并联相当于电容器的并联例例 一单芯同轴电缆的中心为一半径为一单芯同轴电缆的中心为一半径为R1的金属导线，外层一金的金属导线，外层一金属层。其中充有相对介电常数为属层。其中充有相对介电常数为 r 的固体介质，当给电缆加的固体介质，当给电缆加一电压后，一电压后，E1 = 2.5E2 ，若介质最大安全电势梯度为若介质最大安全电势梯度为E 电缆能承受的最大电压？电缆能承受的最大电压？解解 用含介质的高斯定理用含介质的高斯定理求求 r 电容只与导体的几何因素和介电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关质有关，与导体是否带电无关三三. .导体的电容导体的电容 电容器电容器1. 孤立导体的电容孤立导体的电容单位单位: :法拉法拉( F )孤立导体的电势孤立导体的电势孤立导体的电容孤立导体的电容 + +QuE 求求半径为半径为R 的的孤立导体球的电容孤立导体球的电容. .电势为电势为电容为电容为R若若 R = Re , 则则 C = 714 F 若若 C = 1 10 3 F , 则则 R = ?C = 1 10 -3 F啊啊, ,体积体积还这么还这么大大! !1.8m9m通常，由彼此绝缘相距很通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器。近的两导体构成电容器。极板极板极板极板+ Q- Q u使两导体极板带电使两导体极板带电两导体极板的电势差两导体极板的电势差2. 电容器的电容电容器的电容电容器的电容电容器的电容 电容器电容的计算电容器电容的计算 Q电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。极板间介质。d US+Q-Q(1) 平行板电容器平行板电容器(2) 球形电容器球形电容器R1+Q-QR2ab(3) 柱形电容器柱形电容器R1R2l若若R1R2-R1 , ,则则 C = ?讨论讨论 uR1R2l 电容器的应用：电容器的应用：储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合等。储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合等。 电容器的分类电容器的分类形状：形状：平行板、柱形、球形电容器等平行板、柱形、球形电容器等介质：介质：空气、陶瓷、涤纶、云母、电解电容器等空气、陶瓷、涤纶、云母、电解电容器等用途：用途：储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合电容器等。储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合电容器等。AB四、电场能量四、电场能量 以平行板电容器为例，来计算电场能量。以平行板电容器为例，来计算电场能量。 +设在时间设在时间 t 内，从内，从 B 板向板向 A 板迁移了电荷板迁移了电荷 在将在将 dq 从从 B 板迁移到板迁移到 A 板需作功板需作功 极板上电量从极板上电量从 0 Q 作的总功为作的总功为 忽略边缘效应，对平行板电容器有忽略边缘效应，对平行板电容器有能量密度能量密度不均匀电场中不均匀电场中（适用于所有电场适用于所有电场）已知均匀带电的球体，半径为已知均匀带电的球体，半径为R，带电量为带电量为QRQ从球心到无穷远处的电场能量从球心到无穷远处的电场能量解解r求求例例取取体积元体积元