22双曲线双曲线 1知识与技能记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程2过程与方法会用待定系数法确定双曲线的方程与椭圆的标准方程比较，加以区分本节重点：双曲线的定义及其标准方程本节难点：双曲线标准方程的推导1对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的定义来理解2在理解双曲线的定义时，要注意到对“定值”的限定即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在”3类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是令b2a2c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2c2a2.1当用双曲线的定义来求解双曲线的标准方程时，可直接求出a、b，写出对应的方程，而无须由距离公式写出推导过程2利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应先判断焦点所在位置，不能确定时应分类讨论3已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式4当利用双曲线的定义求解轨迹方程问题时，要注意应用数形结合的思想方法5利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)确定焦点位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两坐标轴都有可能(3)确立参数的关系式：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组(4)解方程组：定形式，解上述方程组，得到参数a、b、c的值，代入所设方程即为所求1在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点之间的距离叫做双曲线的 2在双曲线的定义中，条件02a|F1F2|则动点的轨迹是 3双曲线定义中应注意关键词“ ”，若去掉定义中“ ”三个字，动点轨迹只能是双曲线焦点焦距两条射线不存在绝对值绝对值双曲线一支点评求双曲线的标准方程一般应先判定焦点所在的坐标轴，其次再确定a、b的值若已知双曲线经过两个定点，求双曲线方程，设所求双曲线方程为Ax2By21(AB0)，列出关于A、B的二元一次方程组，求出A、B既避免了讨论又降低了未知数的次数，大大减少所需的运算，体现了由繁至简的化归思想例2已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1与圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.|MA|MB|，|MC1|AC1|MC2|BC2|，|MC2|MC1|BC2|AC1|312.这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)这里a1，c3，则b28，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x21(x0)点评(1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简(2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支这一点要特别注意！已知ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使sinBsinC sinA.求点A的轨迹解析由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6.上式两边平方，得|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|3664100，由余弦定理，得点评在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点另外，还经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系，请同学们多加注意解析设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a.在F1PF2中，由余弦定理，得例4设声速是am/s.在相距10am的A、B两个哨所，听到一炮弹爆炸声的时间相差6s，且B处的声强是A处声强的4倍，试确定炮弹爆炸点P的位置，即确定P点到AB中点M的距离及PMB的大小(注：声强与距离的平方成反比)点评本题是实际问题，必须抽象为数学问题，建立数学模型后，利用所学知识解决本题符合双曲线的定义，故可利用双曲线方程求解例5已知双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，求k的值一、选择题1已知两定点F1(5,0)、F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|2a，则当a3和5时，P点的轨迹为()A双曲线和一直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线答案C解析当a3时，|PF1|PF2|2a6|F1F2|10，由双曲线定义知，P点轨迹是双曲线的右支当a5时，|PF1|PF2|2a10|F1F2|，P点轨迹是以F2为始点的一条射线2在方程mx2my2n中，若mn2或1m1 三、解答题7已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，13)，双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程