无限脉冲响应数字滤波器的设计 学习目标学习目标理解数字滤波器的基本概念掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法掌握Butterworth低通滤波器特点理解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程7.1 数字滤波器的基本概念 1. 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 数数字字滤滤波波器器从从实实现现的的网网络络结结构构或或者者从从单单位位脉脉冲冲响响应应分分类类，可可以以分分成成无无限限脉脉冲冲响响应应(IIR)滤滤波波器器和和有有限限脉脉冲冲响响应应(FIR)滤滤波波器器。它它们的系统函数分别为：们的系统函数分别为： 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 按滤波器的功能分类： 低通 高通 带通 带阻P316317 2数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求 我我们们通通常常用用的的数数字字滤滤波波器器一一般般属属于于选选频频滤滤波波器器。假假设设数数字字滤滤波波器器的的传传输输函数函数H(e j)用下式表示：用下式表示： 低通滤波器的技术要求P348 图图7.1 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示通带内允许的最大衰减如将|H(ej0)|归一化为1，则：阻带内允许的最小衰减P349 图图7.2 3. 数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类： 经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。 设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 另一类设计方法是直接在时域或频域中进行设计，设计时需要通过计算机作辅助设计。P351 图图7.37.5 模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 设计方法设计方法: 先设计模拟低通滤波器，再通过频率变换的方法将低通滤波器转换为先设计模拟低通滤波器，再通过频率变换的方法将低通滤波器转换为其它类型的滤波器。其它类型的滤波器。 各种理想滤波器的幅频特性 1.1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有 Rp和As一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成： 和分别称为通带截止频率和阻带截止频率是通带中的最大衰减系数是阻带的最小衰减系数 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标Rp和As，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此 要求是稳定的，即极点落在s平面的左半平面。 要求极点落在s平面的右半平面。 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示： 图7.4 巴特沃斯幅度特性和N的关系 将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示： 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 为得到稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)： 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化为1，归一化后的Han(s)表示为 查查P370 表表7.2 7.3 7.4令,则N由下式表示： 关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照下式求出 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标p,Rp,st和As，求出滤波器的阶数N。 (2)确定滤波器极点。 (3)确定系统函数Ha(s)。 表 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 查查P370 表表7.2 7.3 7.4 例 已知通带截止频率fc=5kHz，通带最大衰减Rp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减As=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 求阶数N (2) 求极点 (3) 求系统函数 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000式中 a0=1.0000,a1=3.2361,a2=5.2361,a3=5.2361,a4=3.2361对于实际滤波器，其系统函数应将上式中的S换为7.7 冲激响应不变法（脉冲响应不变法） 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1)H(z)的频响应该模仿Ha(s)的频响，即：s平面的虚轴 映射到z平面 的单位圆 上。 (2) Ha(s)的因果稳定性通过映射后H(z)仍应保持，即：s平面的左半平面 应该映射到Z平面的单位圆内。 方法：先设计模拟低通滤波器的传输函数再按一定的转换关系将转换成数字滤波器的系统函数 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),其单位冲激响应是ha(t) 将Ha(s)用部分分式表示： 将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)： 对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 由上式可以看出：冲激响应不变法将s平面的极点 映射到z平面的映像极点为 。可以证明，用冲激响应不变法将模拟滤波器 转换成数字滤波器H(z)时，整个s平面映射到Z平面的映射关系为：设得到:则有: 表明：数字频率与模拟频率之间是线性关系，这是冲激响应不变法的优点之一。 =0, r=1 0, r0, r1 图7-15 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为：数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为：即，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。图 脉冲响应不变法的频率混叠现象只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即：才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。混叠：混叠：（1）一定存在，且在 的奇数倍处；（2）高通，带阻不适合用。缺点：缺点：频谱混叠优点：优点： 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好时域逼近良好； 例 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 极点为H(z)的极点为解 首先将Ha(s)写成部分分式：设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则高频抑制不够充分，已发生混叠。7.9 双线性变换法双线性变换法1、变换原理、变换原理 脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从s平面到平面是多值的映射关系多值的映射关系所造成的。 为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。 第一步先将整个s平面压缩映射到s1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使s平面与Z平面建立了一一对应的单值映射关系一一对应的单值映射关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象消除了频谱混叠现象 。模拟频率模拟频率模拟频率模拟频率和数字频率和数字频率和数字频率和数字频率之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系 式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。 为了将s平面的整个虚轴j压缩到s1平面j1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下的正切变换实现:再将s1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面： 从而得到s平面和Z平面的单值映射关系为： 将此关系解析延拓到整个s平面和s1平面，令j=s，j1=s1，则得 这种变换是s平面与Z平面之间的单值映射关系单值映射关系，都是两个线性函数之比两个线性函数之比，因此称为双双线性变换线性变换。如果为了使AF和DF的某一频率有对应关系，可引入待定常数c， （1）令s=j,z=e j，有 双线性变换法的频率变换关系二、逼近的情况二、逼近的情况（2）令s=+j 则： 可见，当可见，当0时，时，|z|0时，时，|z|1。即：即：s的左半平面映射到的左半平面映射到Z平面的单位圆内，平面的单位圆内，s的右半平面映射到的右半平面映射到Z平面的单位圆外，平面的单位圆外，s的虚轴映射到的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。波器也一定是稳定的。即：s平面上与Z平面的成非线性的正切关系，从而消除了频谱混叠现象。 三、优缺点分析：三、优缺点分析： 双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现主要的优点是避免了频率响应的混叠现象象。这是因为。这是因为s平面与平面与Z平面是平面是单值的一一对应关系单值的一一对应关系。s平面整个平面整个j轴单值地对应于轴单值地对应于Z平面单位圆一周，平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。即频率轴是单值变换关系。s平面上与Z平面的成非线性的正切关系， 在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。 双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题产生了新的问题：首先，一个首先，一个线线性相位的模性相位的模拟滤拟滤波器波器经经双双线线性性变换变换后得到后得到非非线线性相位性相位的数字的数字滤滤波器，波器，不再保持原有的不再保持原有的线线性相位了性相位了； 其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型分段常数型的，即某一频的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性）滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变。 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变， 然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。 双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中，s到z之间的变换是简单的代数关系，所以可以直接将变换关系式代入到模拟系统传递函数，得到数字滤波器的系统函数，即：频率响应也可用直接代换的方法得到 需要特别强调的是，若模拟滤波器Ha(s)为低通滤波器，应用变换得到的数字滤波器H(z)也是低通滤波器；也是高通滤波器；若为带通、带阻滤波器也是如此。若Ha(s)为高通滤波器，应用 变换得到的数字滤波器H(z) 在IIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好；而在其余情况下，大多采用双线性变换法。 例 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法将下图所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。 解 首先按照下图写出该滤波器的传输函数Ha(s)为 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图所示。 H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z); (b)H2(z) 数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性 利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步数字低通滤波器的步骤骤 (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率c、通带衰减RP、阻带截止频率st、阻带衰减As。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 采用脉冲响应不变法和双线性变换法，其边界频率的转换关系分别为(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。 解 (1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为 p=0.2rad,Rp=1dB; st=0.3rad,As=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,Rp=1dB; st=0.3rad/s,As=15dB 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N。 取取N=6根据阶数N=6，查表，得到归一化传输函数为去归一化，将s=s/c代入Han(s)中，得到实际的传输函数Ha(s) 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，得到： (2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,Rp=1dB; st=0.3rad,As=15dB 模拟低通的技术指标为 根据N=6，查表得到的归一化传输函数Han(s)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将s=s/c代入Ha(s)，得实际的Ha(s)， 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)： 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下： 取N=6P395 例例7.5例：设计一个一阶数字低通滤波器，3 dB截止频率为c=0.25，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。解：解： 数字低通滤波器的3 dB截止频率为c=0.25，相应的巴特沃思模拟滤波器的 3 dB截止频率是c，就有：模拟滤波器的系统函数为：将双线性变换应用于模拟滤波器，有：例：用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz （即采样周期为T=250 s），其3dB截止频率为fc=1 kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为：解：解： 首先，确定数字域截止频率c=2fcT=0.5。第二步，确定模拟滤波器的截止频率 第三步，将c代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s)，得：最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数