9 有理数的乘方1.1.熟熟记有理数乘方的定有理数乘方的定义.(.(重点重点) )2.2.会会计算一个算一个简单数的乘方数的乘方.(.(重点、重点、难点点) )3.3.能判断一个能判断一个负数乘方的符号数乘方的符号.(.(难点点) )一、乘方的概念一、乘方的概念1.1.乘方乘方: :求求n n个相同因数个相同因数a a的的积的运算叫做乘方的运算叫做乘方, ,乘方的乘方的结果叫做果叫做_,_,记作作:a:an n, ,读作作: :“_”或或“_”. .其中其中a a叫做叫做_,n_,n叫做叫做_._.2.2.乘方是一种特殊的乘法运算乘方是一种特殊的乘法运算(_(_相同相同),),它是由底数和指数它是由底数和指数的相的相对位置表位置表现出来的出来的, ,底数是底数是_,_,指数是相同因数的指数是相同因数的_._.单独一个数或字母独一个数或字母, ,可以看作可以看作这个数或字母的一次方个数或字母的一次方, ,如如a a1 1=a.=a.幂a a的的n n次次幂a a的的n n次方次方底数底数指数指数因数因数相同因数相同因数个数个数二、二、幂的符号的符号计算算:3:31 1=_,3=_,32 2=_,3=_,33 3=_,3=_,34 4=_;=_;001 1=_,0=_,02 2=_,0=_,03 3=_,0=_,04 4=_,0=_,05 5=_,0=_,06 6=_;=_;(-3)(-3)1 1=_,(-3)=_,(-3)2 2=_,(-3)=_,(-3)3 3=_,(-3)=_,(-3)4 4=_.=_.3 39 9272781810 00 00 00 00 00 0-3-39 9-27-278181【思考思考】1.1.中乘方算式中乘方算式, ,幂的符号随指数的的符号随指数的变化而化而变化化吗? ?提示：提示：不变不变, ,总是正的总是正的. .2.2.中乘方算式的中乘方算式的结果有什么特征果有什么特征? ?提示：提示：结果都是结果都是0.0.3.3.对比比两两组算式算式, ,说出它出它们的不同的不同? ?提示：提示：底数不同底数不同:底数是正数底数是正数,底数是负数底数是负数; ;幂的符号不同幂的符号不同: :中幂的符号都是正中幂的符号都是正,中幂的符号有正有负中幂的符号有正有负. .【总结总结】1.1.正数的任何次幂都是正数的任何次幂都是_._.2.02.0的任何正整数次幂都是的任何正整数次幂都是_._.3.3.负数的奇数次幂是负数的奇数次幂是_,_,负数的偶数次幂是负数的偶数次幂是_._.正数正数0 0负数负数正数正数 ( (打打“”或或“”) )(1)(-3)(1)(-3)4 4的底数是的底数是4,4,指数是指数是-3.( )-3.( )(2)-1(2)-120142014=1.( )=1.( )(3)(3)任意有理数的偶数次方都是正数任意有理数的偶数次方都是正数.( ).( )(4)(4)互互为相反数的两个数的平方相等相反数的两个数的平方相等.(.( ) )(5)-4(5)-43 3表示表示(-4)(-4)(-4)(-4)(-4).( )(-4).( )知识点知识点 1 1 有理数的乘方运算有理数的乘方运算【例例1 1】计算：计算：(1)(-5)(1)(-5)4 4.(2)-5.(2)-54 4. .【思路点拨思路点拨】确定底数确定底数幂的符号幂的符号计算绝对值计算绝对值. .【自主解答自主解答】(1)(1)原式原式=+(5=+(55 55 55)=625.5)=625.(2)(2)原式原式=-5=-55 55 55=-625.5=-625.(3)(3)原式原式 (4)(4)原式原式【总结提升总结提升】有理数乘方运算中的两点注意有理数乘方运算中的两点注意1.1.步骤步骤: :先确定底数和指数先确定底数和指数, ,再确定幂的符号再确定幂的符号, ,最后计算底数绝最后计算底数绝对值的积对值的积. .2.(-a)2.(-a)n n与与-a-an n的两个不同的两个不同: :(1)(1)底数不同底数不同, ,前者为前者为-a,-a,后者为后者为a.a.(2)(2)读法不同读法不同: :前者读为前者读为-a-a的的n n次方次方, ,后者读为后者读为a a的的n n次方的相反数次方的相反数. .知识点知识点 2 2 乘方在实际中的应用乘方在实际中的应用 【例例2 2】当你把当你把纸对折折1 1次次时, ,可以得到可以得到2 2层; ;对折折2 2次次时, ,可以得可以得到到4 4层; ;对折折3 3次次时, ,可以得到可以得到8 8层, ,(1)(1)计算算对折折5 5次次时层数是多少数是多少? ?(2)(2)你能你能发现层数与折数与折纸的次数的关系的次数的关系吗? ?(3)(3)如果每如果每张纸的厚度是的厚度是0.1mm,0.1mm,求求对折折1212次后次后纸的的总厚度厚度. .【解题探究解题探究】(1)(1)对折对折1 1次得到次得到2 2层即层即2 21 1层层; ;对折对折2 2次得到次得到4 4层即层即2 22 2层层; ;对折对折3 3次得到次得到8 8层即层即2 23 3层层; ;, ,那么对折那么对折5 5次时的层数是次时的层数是_( (层层).).(2)(2)由上可知对折由上可知对折n n次时的层数是多少次时的层数是多少? ?结合以上具体对折的次结合以上具体对折的次数与数与2 2的指数之间的关系的指数之间的关系, ,你能猜想出对折次数你能猜想出对折次数n n与与2 2的指数之间的指数之间的关系吗的关系吗? ?提示：提示：2 2n n相等相等2 25 5=32=32(3)(3)根据上述对折次数与根据上述对折次数与2 2的指数之间的关系可得的指数之间的关系可得: :对折对折1212次的次的层数为层数为2 21212= =_( (层层).).已知每张纸的厚度为已知每张纸的厚度为0.1mm,0.1mm,那么对折那么对折1212次后的厚度次后的厚度为为:4096:40960.1=0.1=_(mm)=(mm)=_(cm).(cm).40964096409.6409.640.9640.96【互互动探究探究】如果如果对折折3030次次纸的的总厚度会比珠穆朗厚度会比珠穆朗玛峰高峰高, ,你你相信相信吗? ?提示：提示：相信相信. .对折对折3030次之后次之后, ,纸的总厚度为纸的总厚度为:0.1mm:0.1mm乘以乘以2 23030后结后结果约为果约为107374m.107374m.【总结提升总结提升】利用有理数乘方解决实际问题利用有理数乘方解决实际问题1.1.从特殊到一般从特殊到一般, ,发现规律发现规律, ,揭示数学关系揭示数学关系, ,以幂的形式表示出以幂的形式表示出来来. .2.2.结合问题进行有关运算结合问题进行有关运算, ,当指数太大时当指数太大时, ,结果写为幂的形式结果写为幂的形式. .题组一一: :有理数的乘方运算有理数的乘方运算1.(20121.(2012玉林中考玉林中考) )计算算:2:22 2=(=() )A.1 B.2 C.4 D.8A.1 B.2 C.4 D.8【解析解析】选选C.2C.22 2=2=22=4.2=4.2.2.下列每下列每对数中数中, ,不相等的一不相等的一对是是( () )A.(-2)A.(-2)3 3和和-2-23 3 B.(-2) B.(-2)2 2和和2 22 2C.(-2)C.(-2)4 4和和-2-24 4 D.|-2| D.|-2|3 3和和|2|2|3 3【解析解析】选选C.(-2)C.(-2)4 4=(-2)=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=16,(-2)=16,-2-24 4=-2=-22 22 22=-16.2=-16.3.(20123.(2012自自贡中考中考) )一一质点点P P从距原点从距原点1 1个个单位的位的M M点点处向原点向原点方向跳方向跳动, ,第一次跳第一次跳动到到OMOM的中点的中点M M3 3处, ,第二次从第二次从M M3 3跳到跳到OMOM3 3的中的中点点M M2 2处, ,第三次从点第三次从点M M2 2跳到跳到OMOM2 2的中点的中点M M1 1处, ,如此不断跳如此不断跳动下去下去, ,则第第n n次跳次跳动后后, ,该质点到原点点到原点O O的距离的距离( )( ) 【解析解析】选选D.D.第一次跳完落地时，距原点距离为第一次跳完落地时，距原点距离为 ；第二次跳；第二次跳完落地时，距原点距离为完落地时，距原点距离为 ；第三次跳完落地时，距原点距；第三次跳完落地时，距原点距离为离为 , ,故第故第n n次跳完落地时，距原点距离为次跳完落地时，距原点距离为4.(20124.(2012葫芦葫芦岛中考中考) )计算算2 23 3的的结果是果是. .【解析解析】2 23 3=2=22 22=8.2=8.答案：答案：8 85.5.计算算7 7的正整数次的正整数次幂:7:71 1=7,7=7,72 2=49,7=49,73 3=343,7=343,74 4=2 401,7=2 401,75 5=16 807,=16 807,7 76 6=117 649,7=117 649,77 7=823 543,7=823 543,78 8=5 764 801,=5 764 801,归纳各各计算算结果中果中的个位数字的个位数字规律律, ,可得可得7 72 0142 014的个位数字的个位数字为. .【解析解析】由由7 7的正整数次幂的正整数次幂:7:71 1=7,7=7,72 2=49,7=49,73 3=343,7=343,74 4=2 401,=2 401,7 75 5=16 807,7=16 807,76 6=117 649,7=117 649,77 7=823 543,7=823 543,78 8=5 764 801,=5 764 801, ,可得个可得个位数字规律为位数字规律为: :每每4 4次一循环次一循环, ,又又2 0142 0144=5034=5032,2,所以所以7 72 0142 014的的个位数字为个位数字为9.9.答案：答案：9 96.6.计算：计算：【解析解析】题组二二: :乘方在乘方在实际中的中的应用用1.1.某种某种细菌在培养菌在培养过程中程中, ,细菌每半个小菌每半个小时分裂一次分裂一次( (由由1 1个分个分裂裂为2 2个个),),经过2 2个小个小时, ,这种种细菌由菌由1 1个可分裂个可分裂为( () )A.8A.8个个B.16B.16个个 C.4C.4个个D.32D.32个个【解析解析】选选B.B.由题意由题意,2,2个小时细菌可分裂个小时细菌可分裂4 4次次, ,所以所以2 24 4=16(=16(个个).).2 2一根一根1 m1 m长的绳子长的绳子, ,第一次剪去一半第一次剪去一半, ,第二次剪去剩下的一半第二次剪去剩下的一半, ,如此剪下去如此剪下去, ,第六次剪后剩下的绳子的长度为第六次剪后剩下的绳子的长度为( )( )【解析解析】选选C C第一次剪后剩下第一次剪后剩下 m m，第二次剪后剩下，第二次剪后剩下 ，第三次剪后剩下第三次剪后剩下 ，第六次剪后剩下的绳子的长度，第六次剪后剩下的绳子的长度为为 3.3.看下面的故事看下面的故事: :从前从前, ,有个有个聪明的乞丐明的乞丐, ,他要到了一他要到了一块面包面包. .他他想想, ,天天要天天要饭太辛苦太辛苦, ,如果第一天吃如果第一天吃这块面包的一半面包的一半, ,第二天再第二天再吃剩余面包的一半吃剩余面包的一半, ,依次每天都吃前一天剩余面包的一半依次每天都吃前一天剩余面包的一半, ,这样下去下去, ,就永就永远不用再去要不用再去要饭了了! !如果把整如果把整块面包看成整体面包看成整体“1 1”, ,那么第十天他将吃到面包的那么第十天他将吃到面包的. .【解析解析】第一天吃到的面包是第一天吃到的面包是 , ,第二天吃到的面包是第二天吃到的面包是 , ,第第三天吃到的面包是三天吃到的面包是 , ,第十天吃到的面包是第十天吃到的面包是答案：答案：4.4.你吃你吃过“手拉面手拉面”吗? ?如果把一个面如果把一个面团拉开拉开, ,然后然后对折折, ,再拉再拉开开, ,再再对折折, , ,如此往复下去如此往复下去, ,对折折1010次次, ,会拉出会拉出根面根面条条. .【解析解析】第一次对折得第一次对折得2=22=21 1( (根根),),第二次对折得第二次对折得2 22=22=22 2( (根根),),第三次对折得第三次对折得2 22 22=22=23 3( (根根),), ,第第1010次对折可拉出面条次对折可拉出面条2 21010=1024(=1024(根根).).答案：答案：102410245.5.你了解原子你了解原子弹爆炸的威力爆炸的威力吗? ?它是由它是由铀原子核裂原子核裂变产生的生的, ,首首先由一个中子先由一个中子击中一个中一个铀原子核使它裂原子核使它裂变为两个原子核两个原子核, ,同同时释放出两个中子放出两个中子, ,两个中子各自又两个中子各自又击中一个中一个铀原子核原子核, ,使每个使每个铀原子核裂原子核裂变产生两个原子核与两个中子生两个原子核与两个中子, ,产生的四个中子再分生的四个中子再分别击中一个原子核中一个原子核, ,如此如此产生生链式反式反应. .在短在短时间内迅速内迅速扩张, ,释放出巨大的能量放出巨大的能量, ,这就是原子就是原子弹爆炸的基本爆炸的基本过程程, ,那么那么经过5 5次裂次裂变会会产生生个原子核个原子核, ,经过5050次裂次裂变会会产生生_个原子核个原子核. .【解析解析】经过经过1 1次裂变会产生次裂变会产生2 2个原子核个原子核, ,经过经过2 2次裂变会产生次裂变会产生2 22=22=22 2个原子核个原子核, , ,经过经过5 5次裂变会产生次裂变会产生2 25 5=32=32个原子核个原子核, ,经过经过5050次裂变会产生次裂变会产生2 25050个原子核个原子核. .答案：答案：32322 250506.6.据美国社会学家詹姆斯据美国社会学家詹姆斯马丁的丁的测算算, ,在近十年在近十年, ,人人类知知识总量已达到每三年翻一番量已达到每三年翻一番, ,到到20202020年甚至要达到每年甚至要达到每7373天翻一番的天翻一番的空前速度空前速度! !因此因此, ,基基础教育的任教育的任务已不是已不是“教会一切人一切知教会一切人一切知识”, ,而是而是“让一切人会学一切人会学习”. .如果如果20032003年底人年底人类知知识总量量为a,a,从从20032003年底到年底到20092009年底是每三年翻一番年底是每三年翻一番, ,从从20092009年底到年底到20192019年底是每一年翻一番年底是每一年翻一番,2020,2020年是每年是每7373天翻一番天翻一番, ,试求求20202020年底人年底人类知知识总量量. .【解析解析】从从20032003年底到年底到20092009年底是每三年翻一番年底是每三年翻一番, ,那么一共翻那么一共翻了两番了两番; ;从从20092009年底到年底到20192019年底是每一年翻一番年底是每一年翻一番, ,一共翻了一共翻了1010番番;2020;2020年每年每7373天翻一番天翻一番, ,一共翻了一共翻了5 5番番; ;所以一共翻了所以一共翻了1717番番, ,每每翻一次就乘以翻一次就乘以2,2,所以所以20202020年底人类知识总量是年底人类知识总量是2 21717a.a.【想一想错在哪？想一想错在哪？】计算算:-3:-34 4. .提示：提示：底数判断错误底数判断错误! !