*三、向量的混合积三、向量的混合积 第三节一、向量的数量积一、向量的数量积二、向量的向量积二、向量的向量积 向量的数量积 向量积 第七七章 科学出版社一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,设非零向量的夹角为 ,称 记作数量积(点积) .实例实例. 位移为 s , 则力F 所做的功为规定当中至少有一个是零向量时,它们的数量积为零设一物体在常力 F 作用下,几何解释为一个向量的模与这向量在另一个向量方向上的投影的乘积科学出版社数量积的性质数量积的性质(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律为两个非零向量, 则有 (由几何性质可证)科学出版社数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时, 由于两向量的夹角公式 , 得科学出版社设求(1) 的夹角 . 解解:(1)(2)故例例1.科学出版社与三坐标轴的夹角为 , , 为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦. 例例2. 设其中证证:因为故方向角与方向余弦方向角与方向余弦是非零向量，证明向量垂直于垂直于科学出版社方向余弦的性质:科学出版社例例3. 和的模 、方向余弦和它的单位向量 解解: 求向量已知两点科学出版社例例4. 设点 A 位于第一卦限,解解:角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 已知科学出版社二、两向量的向量积二、两向量的向量积实例实例. 有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力设O 为杠杆L 的支点 ,科学出版社定义定义,定义向量方向 :(叉积，外积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,称引例中的力矩思考思考:S右图三角形面积科学出版社性质性质(2) 结合律(反交换律);(3) 分配律为非零向量, 则证明证明:可用混合积和数量积证科学出版社 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则科学出版社向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法科学出版社设求同时垂直于的单位向量解解:所求向量平行于 因此所求单位向量为例例5.科学出版社例例6. 求三角形 ABC 的面积 . 解解: 如图所示,已知三点科学出版社*三、向量的混合积向量的混合积定义定义. 已知三向量称数量混合积 .几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其科学出版社混合积的坐标表示混合积的坐标表示设科学出版社性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :科学出版社例例7. 已知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积 . 解解:为棱的平行六面体体积的故已知四面体的体积等于以向量科学出版社