(1)在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标复习回顾复习回顾每一个允许值，由上述方程组所确定的点每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x, y)都在这都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方参数方程程 ，联系，联系x、y之间关系的变数叫做之间关系的变数叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。以是没有明显意义的变数。x 、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即 并且对于并且对于t的的 (1)在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 (2)相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。复习回顾复习回顾每一个允许值，由上述方程组所确定的点每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x, y)都在这都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方参数方程程 ，联系，联系x、y之间关系的变数叫做之间关系的变数叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。以是没有明显意义的变数。x 、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即 并且对于并且对于t的的思考思考1：圆心为原点，半径为：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？思考思考1：圆心为原点，半径为：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？思考思考1：圆心为原点，半径为：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？ 并且对于并且对于 的每一个允许值，由方程组的每一个允许值，由方程组所确定所确定的点的点P(x, y)，都在圆，都在圆O上上. 思考思考1：圆心为原点，半径为：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？ 并且对于并且对于 的每一个允许值，由方程组的每一个允许值，由方程组所确定所确定的点的点P(x, y)，都在圆，都在圆O上上. 思考思考1：圆心为原点，半径为：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？ 我们把方程组我们把方程组叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r的圆的的圆的参数方程，参数方程， 圆心为圆心为O1(a, b)、半径为、半径为r的的圆可以看作由圆心为原点圆可以看作由圆心为原点O、半、半径为径为r的圆平移得到，设圆的圆平移得到，设圆O1上上任意一点任意一点P(x, y)是圆是圆O上的点上的点P1(x1, y1)平移得到的，由平移公平移得到的，由平移公式，有式，有 圆心为圆心为O1(a, b)、半径为、半径为r的的圆可以看作由圆心为原点圆可以看作由圆心为原点O、半、半径为径为r的圆平移得到，设圆的圆平移得到，设圆O1上上任意一点任意一点P(x, y)是圆是圆O上的点上的点P1(x1, y1)平移得到的，由平移公平移得到的，由平移公式，有式，有又又 圆心为圆心为O1(a, b)、半径为、半径为r的的圆可以看作由圆心为原点圆可以看作由圆心为原点O、半、半径为径为r的圆平移得到，设圆的圆平移得到，设圆O1上上任意一点任意一点P(x, y)是圆是圆O上的点上的点P1(x1, y1)平移得到的，由平移公平移得到的，由平移公式，有式，有又又所以所以 圆心为圆心为O1(a, b)、半径为、半径为r的的圆可以看作由圆心为原点圆可以看作由圆心为原点O、半、半径为径为r的圆平移得到，设圆的圆平移得到，设圆O1上上任意一点任意一点P(x, y)是圆是圆O上的点上的点P1(x1, y1)平移得到的，由平移公平移得到的，由平移公式，有式，有(3)参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化x2+y2=r2(3)参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化x2+y2=r2注：注： 1.参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。与参数之间的关系。(3)参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化x2+y2=r2注：注： 1.参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。与参数之间的关系。 2.参数方程的应用往往是在参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难或直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。不可能体现时，通过参数建立间接的联系。 【例例1】已知圆方程已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将，将它化为参数方程。它化为参数方程。 【例例1】已知圆方程已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将，将它化为参数方程。它化为参数方程。解：解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， (x+1)2+(y-3)2=1， 【例例1】已知圆方程已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将，将它化为参数方程。它化为参数方程。解：解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， (x+1)2+(y-3)2=1，参数方程为参数方程为 【例例1】已知圆方程已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将，将它化为参数方程。它化为参数方程。解：解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， (x+1)2+(y-3)2=1，参数方程为参数方程为 【例例1】已知圆方程已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将，将它化为参数方程。它化为参数方程。解：解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， (x+1)2+(y-3)2=1，参数方程为参数方程为(为参数为参数) 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是 (1)如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 ，则，则点点P的坐标是的坐标是_练练 习习 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是 (1)如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 ，则，则点点P的坐标是的坐标是_练练 习习 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是 (1)如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 ，则，则点点P的坐标是的坐标是_练练 习习 2.选择题：参数方程选择题：参数方程表示的曲线是表示的曲线是( ) A.圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为2的圆的圆 B.圆心不在原点，但半径为圆心不在原点，但半径为2的圆的圆 C.不是圆不是圆 D.以上都有可能以上都有可能 2.选择题：参数方程选择题：参数方程表示的曲线是表示的曲线是( ) A.圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为2的圆的圆 B.圆心不在原点，但半径为圆心不在原点，但半径为2的圆的圆 C.不是圆不是圆 D.以上都有可能以上都有可能A(2)把圆方程把圆方程x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为化为参数方程为 _(2，-2)(2)把圆方程把圆方程x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为化为参数方程为 _(2，-2)1(2)把圆方程把圆方程x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为化为参数方程为 _(2，-2)1(2)把圆方程把圆方程x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为化为参数方程为 _(2，-2)1(2)把圆方程把圆方程x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为化为参数方程为 _xMPAyO 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题xMPAyO解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y)， 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题xMPAyO解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y)，圆，圆x2+y2=16x=4cosy=4sin的参数方程为的参数方程为 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题xMPAyO解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y)，圆，圆x2+y2=16可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)x=4cosy=4sin的参数方程为的参数方程为 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题xMPAyO解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y)，圆，圆x2+y2=16可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)由中点公式得：点由中点公式得：点M的轨迹方程为的轨迹方程为x=6+2cosy=2sinx=4cosy=4sin的参数方程为的参数方程为 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题xMPAyO解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y)，圆，圆x2+y2=16可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得：点由中点公式得：点M的轨迹方程为的轨迹方程为x=6+2cosy=2sinx=4cosy=4sin的参数方程为的参数方程为 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题xMPAyO 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y),xMPAyO 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y),由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)xMPAyO 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y),由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y),由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y),由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即即M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO 【例例2】如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动上的一个动点，点点，点A是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)。当点。当点P在圆上在圆上运动时，线段运动时，线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例题例题解：设解：设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即即M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上 【例例3】已知点已知点P(x，y)是圆是圆x2+y2-6x-4y+12=0上上动点，求动点，求 (1)x2+y2的最值，的最值， (2)x+y的最值，的最值， (3)P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。 【例例3】已知点已知点P(x，y)是圆是圆x2+y2-6x-4y+12=0上上动点，求动点，求 (1)x2+y2的最值，的最值， (2)x+y的最值，的最值， (3)P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。 解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即即(x-3)2+(y-2)2=1，用参数，用参数 方程表示为方程表示为 【例例3】已知点已知点P(x，y)是圆是圆x2+y2-6x-4y+12=0上上动点，求动点，求 (1)x2+y2的最值，的最值， (2)x+y的最值，的最值， (3)P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。 解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即即(x-3)2+(y-2)2=1，用参数，用参数 方程表示为方程表示为 【例例3】已知点已知点P(x，y)是圆是圆x2+y2-6x-4y+12=0上上动点，求动点，求 (1)x2+y2的最值，的最值， (2)x+y的最值，的最值， (3)P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。 解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即即(x-3)2+(y-2)2=1，用参数，用参数 方程表示为方程表示为由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P(3+cos，2+sin) 【例例3】已知点已知点P(x，y)是圆是圆x2+y2-6x-4y+12=0上上动点，求动点，求 (1)x2+y2的最值，的最值， (2)x+y的最值，的最值， (3)P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。 解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即即(x-3)2+(y-2)2=1，用参数，用参数 方程表示为方程表示为由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P(3+cos，2+sin)(1)x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos =14+2 sin( +).(其中其中tan =3/2)x2+y2的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。x2+y2的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。(2)x+y=3+cos+2+sin=5+ sin( + )x2+y2的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。(2)x+y=3+cos+2+sin=5+ sin( + )x+y的最大值为的最大值为5+ ，最小值为，最小值为5- 。 x2+y2的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。(2)x+y=3+cos+2+sin=5+ sin( + )x+y的最大值为的最大值为5+ ，最小值为，最小值为5- 。 x2+y2的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。(2)x+y=3+cos+2+sin=5+ sin( + )x+y的最大值为的最大值为5+ ，最小值为，最小值为5- 。 显然当显然当sin(+ )= 1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 1.圆的参数方程圆的参数方程2.参数方程与普通方程的概念参数方程与普通方程的概念3.圆的参数方程与普通方程的互化圆的参数方程与普通方程的互化4.求轨迹方程的三种方法：求轨迹方程的三种方法： 相关点点问题（代入法）；相关点点问题（代入法）； 参数法；参数法； 定义法定义法5.求最值求最值小小 结结