第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法高等数学同济版下第八节多元函数的极值及其求法一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.的某去心邻域内有高等数学同济版下第八节多元函数的极值及其求法说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数, 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有存在高等数学同济版下第八节多元函数的极值及其求法时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数高等数学同济版下第八节多元函数的极值及其求法例例1.1. 求函数的极值.例例2.讨论函数及是否取得极值.在点(0,0)高等数学同济版下第八节多元函数的极值及其求法二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值( (大大) )( (大大) )高等数学同济版下第八节多元函数的极值及其求法例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成一个x24断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折才能使断面面积最大. 例例3 3.某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?高等数学同济版下第八节多元函数的极值及其求法