数学史是研究数学发展规律的科学数学史是研究数学发展规律的科学 1 初等数学理论体系形成时期初等数学理论体系形成时期中国古代数学的萌芽时期中国古代数学的萌芽时期巅峰时期（宋元）巅峰时期（宋元）第四章第四章 中国古代数学中国古代数学衰退时期（明清）衰退时期（明清）2 历史回顾：历史回顾： 距今约一万年前，我国进入新石器时代，公元前21（距今四千多年）世纪出现夏朝。约500年后由商朝代替。公元前1200年建立周朝，公元771年的周朝成为西周，以后进入春秋时代。我们介绍的萌芽时期就是从上古到春秋战国时期。 中国古代数学的萌芽时期（中国古代数学的萌芽时期（上古到春秋战国时期上古到春秋战国时期 ）3（一）旧石器时代没有留下数学资料 （二）新石器时代（约一万多年前）的数学知识 （1）最早的数目观念：从一和多到二、三等等。 （2）对几何形状的认识（陶纺轮；平行线，折线，三角形，长方形，圆，菱形，弧等） 对几何工具也有深刻认识，人们创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据史记夏本纪记载，夏禹治水时已使用了这些工具一、主要的数学成就（先秦数学）4567（三）记数的方法： 1.结绳和刻划 易.系辞下：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随之众寡。” 甲骨文中的数目字。甲骨文中最大的数目字当时已经达到“三万”。一、主要的数学成就（先秦数学）82.商代的干支纪年法 在商代的记数法中还有一种六十循环的办法，这就是主要用在历法上的所谓“天干地支”。天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。 从干、支的头一个字甲、子开始，依次各取一个，配成甲子、乙丑、丙寅、干或支取完了接着循环再取，直到癸亥，共取60次以后，又是出现甲子一个循环。9子子 丑丑 寅寅 卯卯 辰辰 巳巳 午午 未未 申申 酉酉 戌戌 亥亥甲111乙212丙3丁4戊5己6庚7辛8壬9癸10514131215242322213534333231454443424251555453526165646363727175747382818584849392919595040302060天干地支:60周期10 在中国的历史上，商代的帝王除去第一帝“汤”之外，其余各帝王的名字中第二个字都是十干中的某一个“干”字。如盘寅、武丁、祖甲、太丁、帝乙、帝辛（殷纣王）等。在甲骨文中有大量的干支表，这些干支表尽管都有些残损，但从排列上看，全是由上到下竖行排列，而且都是甲起头，10对一行，排列整齐，说明商代人已有了序数的概念。 思考：2013年癸巳年，2014年是（ ）年？ 2.商代的干支纪年法 113.算筹记数法和十进位值制 春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的 。12（四）乘法口诀： 从出土的文物来看，春秋战国时期的文献中已有乘法口诀。次序与现代不同，由“九九八十一”开始。因此又称乘法口诀或乘法表为“九九”，这种次序流行了一千六、七百年，直到南宋初才改为现今的顺序。一、主要的数学成就（先秦数学）13（五）周易的八卦和64卦： 周易是我国古代专讲卜筮（bushi）的书，约成书于殷商时期 ,包含数学内容最丰富的著作。易经中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用“”与“”表示阳爻和阴爻,构成八卦、六十四别卦。周易由易经和易传两部分组成。自汉代开始，许多算学家都热衷于将算法与周易相联系。 刘徽在九章算术注的序中就写道：“昔在包牺氏（伏羲）始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之术，以合六爻之变。”一、主要的数学成就（先秦数学）14（六）名家的思辨： 战国时期的诸子百家的名家，把“大一“定义为“至大无外”，“小一”定义为“至小无内”。 还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。这是世界数学史早期极限的数学思想之一。 一、主要的数学成就（先秦数学）15（七）墨经中的几何学： 墨家的代表作墨经记载了许多几何概念：（1）“平，同高也”。这是“平”的定义，可能是指平行线。（2）“直，叁也”。这是直线的定义，“叁”就是“三”，是说三个点共线的问题。（3）“中，同长也”这是线段中点的定义。（4）“圆，一中同长也”。“这是关于圆的定义。 此外墨经还有关于点、线、面、体的说明，以及它们之间的关系。 一、主要的数学成就（先秦数学）16从春秋战国时代起，数学在中国经过漫长岁月的发展，到西汉末年出现了数学专著九章算术 ，它的成书标志着我国传统数学理论体系初等数学理论体系的形成。中国初等数学理论体系的形成时期中国初等数学理论体系的形成时期（春秋战国时代到西汉末年）（春秋战国时代到西汉末年）比九章算术稍早且流传下来的一部重要的著作，严格的讲，它不是一本数学专著，是一部天文学专著，但是它包含了相当深刻的数学内容。17（一）周髀算经中国初等数学理论体系的形成时期中国初等数学理论体系的形成时期（春秋战国时代到西汉末年）（春秋战国时代到西汉末年）（1）复杂的分数乘除运算；（2）计算太阳远近，用勾股定理；（3）测量太阳的高、远。 关于勾股定理的证明最早是由三国时期的赵爽给出的，他是中国历史上首次对周髀算经进行认真研究和注释的学者。 “勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即为弦。”即a2+b2=c2。18周髀算经书影19（二）九章算术中国初等数学理论体系的形成时期中国初等数学理论体系的形成时期（春秋战国时代到西汉末年）（春秋战国时代到西汉末年） 西汉年间，中国有了专门的数学著作：许商算术、杜忠算术、算数书和九章算术，其中前两部著作早已失传。算数书在1984年从湖北张家山古墓中发掘出土的。据考证，算数书是公元前206年前179年的一部数学著作，它以实际应用问题的形式编纂。 九章算术是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本。20武英殿聚珍版丛书九章算术书影21宋刻本九章算术书影22九章算术主要内容 第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）第二章粟米（粮食交易的计算方法）第三章衰分（ cui,比例分配）第四章少广（开平方与开立方）第五章商功（体积计算）第六章均输（运输中的均匀负担）第七章盈不足（盈亏类问题计算）第八章方程（一次方程组解法与正负数）第九章勾股（勾股定理的应用）书中收集了246个应用问题的解法.全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出“术”。全书共有202个“术”。术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据. 23九章算术主要特点（1）采用按类分章的数学问题集的形式；（2）算式都是从筹算记数法发展起来的；（3）以算术、代数为主，很少涉及图形性质；（4）重视应用，缺乏理论阐述等。九章算术主要成就九章算术取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。24（三）刘徽成就中国初等数学理论体系的形成时期中国初等数学理论体系的形成时期（春秋战国时代到西汉末年）（春秋战国时代到西汉末年）1.几何方面的成就 出入相补原理（割补法、以盈补虚法） 割圆术：推导圆面积，周长，或圆周率；“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。 截割原理:推导体积2.代数方面的成就：开方理论、方程理论、级数理论（等差；等比）3.算术方面的成就：数系方面的贡献（正负数，无理数）、 比率方面的贡献、整勾股数的贡献.25中国初等数学理论体系的形成时期中国初等数学理论体系的形成时期（春秋战国时代到西汉末年）（春秋战国时代到西汉末年） 刘徽的地位：吴文俊：“从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论”。梅荣照：“刘徽是整个中国古代数学理论的奠基人”。 定位：如果按成就和创造性的大小来论，刘徽在中国的数学家中首推第一，另一位可以和他相提并论的是祖冲之。26（四）祖冲之与祖暅父子中国初等数学理论体系的形成时期中国初等数学理论体系的形成时期（春秋战国时代到西汉末年）（春秋战国时代到西汉末年）33岁时，祖冲之编制大明历，在祖冲之去世后的第10年，这部历法得以正式颁布。祖冲之作为地方官员，在发展辖区经济的过程中，亲自设计了各种机械，如指南车、快船。他还通晓音律，是位多才多艺的科学家。 27祖氏父子数学成就：在数学研究方面，密率（即祖冲之求得的率）是当时最好的结果，早于西方同样的发现近千年。祖氏父子对球体积公式的精确推导，完成了刘徽未完成的工作，创立的“祖暅原理”和方法具有很强的理论意义。在今日的中学教材中，“祖暅原理”仍是各种体积公式证明的基本原理。令人遗憾的是，祖冲之的著作缀术早已失传，其成就只散见于古代的典籍之中。28祖氏父子数学成就：据随书律历志记载，祖冲之求得的值的取值范围为3.141592 3.1415927。 由于史料中没有祖冲之推算这个值的记载，后人只能对其推导过程做出推测，一般认为它是利用刘徽的割圆术得到的。然而要想用此法得到上述结果，需要从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至24 576边形。这在当时的条件下是不易做到的。29祖氏父子数学成就：直到16世纪，德国人奥托与荷兰人安托尼兹又重新推演出祖率。为了纪念祖冲之这一贡献，20世纪的日本天文学家将自己发现的一颗行星以祖冲之命名。从东汉以来的四百多年中，有关球体体积的计算公式，经过张衡、刘徽等人的不懈研究，最后由祖氏父子推出，成为中国数学史上的一件大事。30（一）勾股章:定理的证明四、相关问题研究31（一）勾股章:定理的证明四、相关问题研究国国际际数数学学家家大大会会会会徽徽32（二）割圆术四、相关问题研究33（二）割圆术四、相关问题研究34（三）球体积的推导四、相关问题研究V球球 : V牟合方盖牟合方盖 = : 435V牟合方盖=V立方V阳马=r3r3=r3V球球 = V牟合方盖牟合方盖 = 36（四）盈不足四、相关问题研究“盈不足”章第1题：今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？ 37四、相关问题研究小学数学中的盈不足问题：(1)某校安排学生宿舍,如果每间5人,则有14人没有床位;如果每间7人,则多4个床位.该校有宿舍间,学生_人.(2)把一包糖果分给小朋友们,如果每人分10粒,正好分完;如果每人分16粒,则3人分不到,这包糖有_粒.（3）箱子里有若干只袜子,如果每次取7只,则剩下6只,如果每次取9只,则差8只.箱子里_只袜子（4）某校学生参加劳动,分成若干组,如果10人一组,正好分完,如果12人一组,差10人.参加劳动的有_人.38作业（任选一题）1.在春秋战国时期产生了那些重要的可与古希腊媲美的数学思想，试将他们做一下比较。2.九章算术主要内容有哪些，其具有世界意义的成就又有哪些？3.刘徽的九章算术注对于中国传统数学的形式具有十分重要的意义，试阐述他的主要数学成就？39宋元数学四大家:秦九韶，李冶，杨辉，朱世杰巅峰时期（宋元）巅峰时期（宋元）(960-1368)贾宪、刘益、沈括等都作出了重要贡献“四大家”的成就是以他们的成就为基础的。所以，四大家的成就代表的是当时中华民族所达到的科学文化水平。40秦九韶秦九韶(南宋南宋, 1202-1261)1.秦九韶南宋末年,生于四川安岳，曾在湖北、江苏等地做官，虽仕途坎坷，在数学研究上却是成就卓著。其代表著作是数学九章.在这本书中提出了“大衍求一术（中国剩余定理）”和“正负开方术”（即以增乘开方法求高次方程正根的方法），是非凡的数学创造。41孙子算经中的“物不数”：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？大衍求一术（中国剩余定理)（1）式2+（2）式3+（3）式2=233.正表示233是满足条件的一个解，为了求满足条件的最小解，233-357=233-105=128.233-2357=233-210=23.42l 大衍类大衍类大衍术数书九章数书九章数书九章数书九章(1247)(1247)l 天时类天时类l 田域类田域类l 测望类测望类l 赋役类赋役类l 钱谷类钱谷类l 营建类营建类l 军旅类军旅类l 市易类市易类43(1)大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术；大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术；(2)天时类，历法推算，雨雪量的计算；天时类，历法推算，雨雪量的计算；(3)田域类，土地面积；田域类，土地面积；(4)测望类，勾股、重差等测量问题；测望类，勾股、重差等测量问题；(5)赋役类，田赋、户税；赋役类，田赋、户税；(6)钱谷类，征购米粮及仓储容积；钱谷类，征购米粮及仓储容积；(7)营建类，建筑工程；营建类，建筑工程；(8)军旅类，兵营布置和军需供应；军旅类，兵营布置和军需供应；(9)市易类，商品交易和利息计算市易类，商品交易和利息计算数书九章442.杨辉南宋，数学家和数学教育家。杨辉一生留下了大量的著述：详解九章算法12卷(1261年)日用算法2卷(1262年)乘除通变本末3卷(1274年)田亩比类乘除捷法2卷(1275年)续古摘奇算法2卷(1275年)杨杨辉辉算算法法45贾宪：贾宪：黄帝九章算术细草黄帝九章算术细草(1050)杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形l 开方作法本源图开方作法本源图l帕斯卡帕斯卡论算术三角形，以及另论算术三角形，以及另外一些类似的小问题外一些类似的小问题 (1654)463.李冶（11921279）生于大兴府（今北京市），曾为金代词赋科进士，钧州（今河南禹州市）知州。他的数学专著测圆海镜（12卷）：设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段 。天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点 测圆海镜测圆海镜测圆海镜测圆海镜(1248)(1248)47天元术484.朱世杰（12491314）燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。主要著作是算学启蒙与四元玉鉴。四元玉鉴卷首四元玉鉴卷首四元玉鉴卷首四元玉鉴卷首“ “假假假假令四草令四草令四草令四草” ”之之之之“ “四象会元四象会元四象会元四象会元” ”天、地、人、物四元及常数项的算筹放置方法 49以元气居中，立以元气居中，立以元气居中，立以元气居中，立天元一于下，地天元一于下，地天元一于下，地天元一于下，地元一于左，人元元一于左，人元元一于左，人元元一于左，人元一于右，物元一一于右，物元一一于右，物元一一于右，物元一于上于上于上于上四元术四元术50朱世杰在四元玉鉴中给出了天、地、人、物四元及常数项的算筹放置方法，进而举例说明了如何用消去法,逐渐消去多元方程组中的未知数，最终得到一个只含一个未知数的一元高次方程的方法 这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖(Bezout)提出一般的高次方程组解法，才超过朱世杰。除了四元术以外，四元玉鉴中还有两项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和公式及等间距四次内插法公式，后者通常称为招差术此书代表着宋元数学的最高水平，美国科学史家萨顿(GSarton)称赞它“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪的杰出数学著作之一”。51明末和清末都出现了一股西学东渐的潮流，明末以徐光启为代表，清末则以李善兰等为代表。 自16世纪末，数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了几何原本的前6卷。徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，撰写了测量异同和勾股义两篇著作。邓玉函编译的大测2卷、割圆八线表6卷和罗雅谷的测量全义10卷是介绍西方三角学的著作。衰退时期（明清）衰退时期（明清）5253 社会方面的因素有：社会方面的因素有：1.1.长期闭关锁国，自给自足的封建落后经济，对长期闭关锁国，自给自足的封建落后经济，对数学的需要有限，使数学事业发展失去动力。数学的需要有限，使数学事业发展失去动力。2.2.四书、五经称霸，四书、五经称霸，“八股八股”之风盛行，之风盛行，耗尽了人们的天才和智慧，挤掉了数学的论坛。耗尽了人们的天才和智慧，挤掉了数学的论坛。特别是特别是“八股八股”风之害，使数学远离人们的头脑风之害，使数学远离人们的头脑，哪里还能容下关于数学的思维。，哪里还能容下关于数学的思维。54 3.知识分子地位低下，学术空气薄弱。俗知识分子地位低下，学术空气薄弱。俗称称“一官二吏三僧四道五医六工七猎八民九一官二吏三僧四道五医六工七猎八民九儒十丐儒十丐”，又称，又称“七匠八娼九儒十丐七匠八娼九儒十丐”，知识，知识分子真成了分子真成了“臭老九臭老九”。元、明、清，文字狱。元、明、清，文字狱几度兴起，知识界无发表意见的自由，在这几度兴起，知识界无发表意见的自由，在这样情况下，哪里谈得上研究数学。样情况下，哪里谈得上研究数学。 4.由于政治和经济因素，很少出现职业数学由于政治和经济因素，很少出现职业数学家，很难出现什么数学研究机构，学者不专，家，很难出现什么数学研究机构，学者不专，数学得不到官方及社会支持，必然影响数学数学得不到官方及社会支持，必然影响数学发展。发展。55 数学的内部因素有：数学的内部因素有： 1.中国古算多为具体的计算，中国古算多为具体的计算，忽视抽象的推理论证。这样，很难形成数学自身的。这样，很难形成数学自身的科学体系，很难建立各种数学成就之间科学体系，很难建立各种数学成就之间的联系，从而推动数学向前发展。的联系，从而推动数学向前发展。 2.中国古算的最薄弱环节是中国古算的最薄弱环节是缺乏适当的、系统的数学符号。 56 3.我国古代，各地区数学家之间我国古代，各地区数学家之间“鸡犬之声相鸡犬之声相闻，老死不相往来闻，老死不相往来” ，没有团体，缺乏交流，没有团体，缺乏交流，人们各自为战，集中不了群体的智慧，也是人们各自为战，集中不了群体的智慧，也是数学发展的障碍。数学发展的障碍。缺乏交流571 1 算法化特征算法化特征算筹为中国数学发展提供了技术工具，使中国在世界上最早采用了十进位值制记数法；使计算程序化和自动化 长期坚持走算法化的发展道路，限制了数学方法的流传和改进。影响了逻辑体系的发展，很难达到现代数学的发展水平 2 2 实用性思想实用性思想 数学著作都以社会生产和生活实践中的问题为纲，这些问题基本按社会、生活领域进行分类， 过分重实用，不利于抽象概念和命题的形成 中国传统数学的特点58 3 3 连续性特征连续性特征历代数学典籍体例的一致性数学的各分支发展的继承性计算工具使用的一贯性 不受外来数学文化的影响 59